Министерство  образования Саратовской области

Саратовский государственный социально-экономический  университет

Региональный  конкурс творческих работ школьников

«Вектор будущего – 2011»

Реферат работы на тему

«Методы решения систем линейных уравнений средствами табличного процессора MS Excel»

(направление  «Использование информационных  технологий для  решения прикладных  задач»)

            Выполнила:

                                    ученица 11 «Б» класса

                                    МОУ «СОШ №8» Волжского  района

                                    г. Саратова

                                    Щербакова Елизавета  Владимировна

            Руководитель работы:

            учитель математики и информатики

            Карнаухова Оксана Сергеевна

Саратов

2011

Оглавление 

 

Введение

     Миллионы  людей занимаются математическими  расчетами, иногда в силу влечения к  таинствам математики и ее внутренней красоте, но чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

     Многие  задачи практики приводят к необходимости  решать системы линейных уравнений. К таким задачам можно отнести, например, конструирование инженерных сооружений, обработку результатов измерений, решение задач планирования производственного процесса и ряд других задач техники, экономики и научного эксперимента.

     Решение уравнений — одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение  систем уравнений является необходимым элементом решения задачи.

     Проблема  численного решения линейных уравнений  интересует математиков уже несколько  столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило, Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

     В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и стали предприниматься активные попытки для увеличения их точности.

     Вплоть  до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

     Существует  множество классов уравнений  и систем уравнений, которые решаются аналитически – выводом соответствующих формул. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены таким способом.

     Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют  получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических  методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельствами: недостаточным уровнем математического образования того, кто решает уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.

     Целью моей работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений и построение компьютерной модели этих решений с помощью табличного процессора MS Excel.

     Для достижения этой цели передо мной были поставлены следующие задачи:

1. изучить литературу по данной теме;
2. ознакомиться с численными методами решения систем уравнений – методом Крамера и методом Гаусса;
3. создать компьютерные модели решения системы линейных уравнений разными способами в MS Excel;
4. сравнить имеющиеся численные методы решения систем линейных уравнений, выявить их достоинства и недостатки.

1. Теоретическая часть

1.1. Численные методы  решение систем  линейных уравнений

1.1.1. Система линейных  уравнений

      Системой  уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

     Линейные  системы двух уравнений  с двумя неизвестными. Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными называется система вида

      Решением  системы уравнения с двумя  неизвестными x и y называется такая пара (х₀;у₀), которая является решением каждого уравнения системы.

      Решить  систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

     Из  школьного курса алгебры нам известно три способа решения уравнений:

1. графический;
2. метод сложения;
3. метод подстановки.

      На  уроках алгебры отрабатываются навыки решения систем линейных уравнений  этими методами. Но часто в повседневной практике можно встретиться с  задачами, в которых нужно найти три или более неизвестных. В этом случае нам на помощь приходят численные методы решения систем уравнений. А для быстроты решения системы уравнений с несколькими неизвестными удобнее воспользоваться компьютерной программой.

1.1.2.Матричное представление системы линейных уравнений. Определитель матрицы

      Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.

      Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:

      Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число .

     Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число

Пример 1: Найти определители матриц и .

Решение: .

Система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными

(1)

     Систему (1) можно записать в матрично-векторной  форме А Х = В,

, ,

где А – матрица коэффициентов;

В – расширенная матрица;

Х – искомый компонентный вектор.

1.1.3. Решение систем уравнений методом Крамера

     Пусть дана система линейных уравнений  с двумя неизвестными:

     Рассмотрим  решение систем линейных уравнений  с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера.

     Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:

где x₁, x₂ – корни системы уравнений, D – главный определитель системы, Dx₁, Dх₂ – вспомогательные определители.

     Главный определитель системы определяется:

     Вспомогательные определители:

     Решение систем линейных уравнений  с тремя неизвестными по методу Крамера. Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:

     Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:

где x₁, x₂, x₃ – корни системы уравнений, D – главный определитель системы, Dx₁, Dx₂, Dx₃ – вспомогательные определители.

     Главный определитель системы определяется:

     Вспомогательные определители:

1. Составить табличку (матрицу) коэффициентов при  неизвестных и вычислить основной определитель D.
2. Найти дополнительный определитель D_x, получаемый из D заменой первого столбца на столбец свободных членов.
3. Найти дополнительный определитель D_y, получаемый из D заменой второго столбца на столбец свободных членов.
4. Найти дополнительный определитель D_z, получаемый из D заменой третьего столбца на столбец свободных членов. Если основной определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5.
5. Найти значение переменной x по формуле D_x/D.
6. Найти значение переменной у по формуле D_y/D.
7. Найти значение переменной z по формуле D_z/D.
8. Записать ответ: х=…; у=…, z=….

Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Решение:

Ответ: x₁=2; x₂=3

Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

 

Решение.

Ответ: x=1, y=2, z=3.

1.1.4. Решение систем уравнений методом Гаусса

       Наиболее  распространенным методом решения  систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного  исключения неизвестных.

       Метод последовательного исключения неизвестных  Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных  методов решения линейных систем. Этот метод известен в различных  вариантах уже более 2000 лет. Он относится  к числу прямых методов.

       Процесс решения по методу Гаусса состоит  из двух этапов, называемых прямым и  обратным ходом. На первом этапе система  приводится к треугольному виду; на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной  треугольной системы.

       Сущность  этого метода состоит в том, что  посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной.

       При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее  приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 3. Решить систему уравнений по методу Гаусса. 

Решение.

1. Уравнение (1) разделим на a₁₁, т.е. на 2, получим уравнение (4).