Исследование математической модели гидропневматической задней подвески автомобиля

    

    - вычисляется вектор VK с использованием одной из перечисленных функций;

    - вычисляется множество произвольных  значений интерполирующей функции  в нужном количестве точек  с помощью стандартной функции  interp.

Пример показан  на Рисунке 1.3

     

     Рисунок 1.3 – Пример использования функции interp

    Если  интерполируемая функция гладкая, то можно найти ее значения вне  пределов изменения функции с помощью стандартной функции предсказания.

    Общий вид функции предсказания следующий:

    predict (V, m, n), где

    n – количество предсказанных значений;

    V – вектор исходных данных;

    m – размерность вектора V.

    MathCAD позволяет проводить линейную  регрессию общего вида, в которой  аппроксимирующая функция задается  линейной комбинацией функций,  причем сами функции f_i(x) могут быть нелинейными:

    

                                         (1.14)

    Линейная  регрессия общего вида реализуется  с помощью функции linfit:

    linfit(VX, VY,F),где

      VX, VY – координаты исходных точек;

    F  - вектор, содержащий функции f_i(x) , записанные в символьном виде.

    Функция linfit еще называется функцией аппроксимации по методу наименьших квадратов.

    Результатом работы функции linfit является вектор коэффициентов К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения  исходных точек с координатами VX, VY, минимальна.

  Вектор  VX должен быть возрастающим.

Пример показан  на Рисунке 1.4

           

     Рисунок 1.4 – Пример использования функции Linfit

     Полиномиальная  регрессия позволяет аппроксимировать зависимость полиномом произвольной степени.

      Вычисление коэффициентов полинома  осуществляется с помощью встроенной функции regress, которая имеет следующий общий вид:

          regress(VX, VY, n), где

    VX, VY – вектора с координатами исходных данных,

    n – порядок полинома (первые три возвращаемые коэффициенты служебные, а далее искомые значения, расположенные по возрастанию степени полинома).

    Для построения аппроксимирующей зависимости  можно воспользоваться либо встроенной функцией

    interp(VK,VX, VY,x),

     либо функцией

(1.15) 

    где VK – вектор коэффициентов, рассчитанных функцией regress;

    x – рассчитываемая точка.

    Для проведения регрессии необходимо что бы вектор VX был возрастающим и количество его элементов было больше степени полинома на 1. Функция regress определяет единственный приближающий полином, элементы которого вычисляются по всей совокупности точек.

    Для выполнения нелинейной регрессии общего вида необходимо определить параметры произвольной аппроксимирующей функции, при которой обеспечивается минимальная среднеквадратичная ошибка.

    Для этого используется встроенная функция genfit, имеющая следующий общий вид:

      genfit(VX,VY,VS,F),где

    VS - вектор, который задает начальные приближения элементов вектора K, рассчитываемых итерационным способом;

    F - вектор, который содержит искомую функцию и ее частные производные по параметрам K_i в аналитическом виде:

      

                          (1.16) 

1.3 Решение дифференциальных уравнений в MathCAD 
 

    Для решения  дифференциальных уравнений   с начальными условиями  система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

     rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

     Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

     Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

     Ниже  приведено описание стандартной  функции rkfixed с указанием параметров функции [6].

     rkfixed(y, x1, x2, p, D)

     Аргументы функции:

       y – вектор начальных условий из k элементов (k – количество уравнений в системе);

     x1 и x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

     p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

     D – вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

     

     Результатом работы функции  является  матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

     При решении дифференциального уравнения  первого порядка нужно создать  вектор начальных условий из одного элемента Y₁, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y,  границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D.

       В результате получается матрица  z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

     При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D. В результате получается матрица s, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.

           Для решения уравнения  с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

                        (1.17)

     

     Решение дифференциальных уравнений  первого порядка

     Последовательность  действий для решения дифференциального уравнения первого порядка такова:

     сформировать  вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN);Определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:

     набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомой функции (независимая переменная), второй  – имя вектора, содержащего искомую  функцию (можно использовать  имя вектора начальных условий), например, D(x,Y);Набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения   вектор-функция будет определятся следующим образом: ( если ORIGIN=0, подставлять );

     присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:

     первый  – имя вектора начальных условий,

     второй  – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

     третий  – правая граница интервала, на котором  ищется решение, в виде числовой константы,

     четвертый – количество точек, в которых  ищется решение,

     пятый – имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;

     

     например:  ,

     (в  результате получится матрица  Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой функции);

     вывести матрицу, содержащую решение ДУ с  помощь оператора «=», например: Z = ;

     построить график найденной функции (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат – столбец (если ORIGIN=0, набирать соответственно и ).

Линейная  регрессия общего вида реализуется  с помощью функции  linfit:

    linfit(VX, VY,F),где

      VX, VY – координаты исходных точек;

    F  - вектор, содержащий функции f_i(x) , записанные в символьном виде.

    Функция linfit еще называется функцией аппроксимации по методу наименьших квадратов.

    Результатом работы функции linfit является вектор коэффициентов К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения исходных точек с координатами VX, VY, минимальна.

      2 Алгоритмический анализ задачи

     2.1 Полная  постановка  задачи

 
 

     Исследование  математической модели гидропневматической задней подвески автомобиля

1. С использованием системы MathCAD рассчитать значение функций перемещения, скорости и ускорения гидропневматической задней подвески  под воздействием начальных значений перемещения и скорости без учета возмущающей силы. Построить графики этих функций.
2. Исследовать влияние идеализированной высоты столба газа на максимальную амплитуду колебаний для задней подвески. Провести не менее 6 – 10 опытов, полученные результаты представить в виде графиков.
3. Вычислить аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований предыдущего пункта. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.
4. Вычислить значение времени, при котором функция перемещения достигает минимума

 
 

           2.2 Описание математической модели

    

                   Рисунок 2.1-Упрощенная расчетная схема а) передней и б) задней подвески автомобиля

 

     Движение задней подвески автомобиля  описывается системой нелинейных  дифференциальных уравнений вида: