Исследование математической модели гидропневматической задней подвески автомобиля

     Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамическ  их моделей, диаграмм и т. п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

     

     Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов.

            Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.

    Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные — на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как  кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

    При построении теоретических моделей  используют физический и формальный подходы.

    Физический  подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

    Формальный  подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

    Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным. 
 
 

    

    

    1.2 Обзор численных методов. Аппроксимация и интерполяция 
 

    С помощью математического моделирования  решение научно-технической  задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

    Графические методы в ряде случаев позволяют  оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

    При использовании аналитических методов  решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении       простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это очень редкие случаи.

    Главным инструментом для решения сложных  математических задач являются численные  методы, позволяющие свести решение  задачи к выполнению конечного числа  арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком сложных задач. [4]

    Модифицированный  метод Эйлера

    Простейшим  численным методом решения задачи Коши для обыкновенного ДУ является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой функции Y(x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов x=xi ( i=0,1,..), в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и высших порядков.  Однако преимущество отдается модификации метода Эйлера, которая называется методом Эйлера с пересчетом. Можно показать, используя разложение в ряд Тейлора, что этот метод имеет второй порядок точности. Его применение к

решению задачи Коши уменьшает в среднем значения погрешностей до величины (h*h) вместо (h) в обычном методе Эйлера.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

      y’  = f(x,y) (1.1)

с начальным  условием, выбрав шаг h, положим

                              x_i = x₀ + ih (i = 0,1,2…) (1.2)

     Согласно  методу Эйлера последовательные значения искомого решения вычисляются по приближенной формуле

      y_i+1 = y_i + hf_i, f_i = f(x_i, y_i) (1.3)

Одной из модификаций  метода Эйлера является усовершенствованный  метод с итерационной обработкой, при котором сначала определяется грубое приближение решения:

      y_i+1^* = y_i + hf_{i     ,} (1.4)

Исходя из которого находится направление поля интегральных кривых:

      f_i+1^* = f(x_i+1,y_i+1*), (1.5)

затем приближённо  полагают:

                                             (1.6)

      Геометрический  смысл заключается в том, что  значение y_i+1 определяется по методу Эйлера, но в качестве наклона касательной берётся усреднённое значение в крайних точках рисунок 1.1

Рисунок 1.1 – Модифицированный метод Эйлера 

     Вычислительная  схема модифицированного  метода Эйлера.

     Погрешность этого метода на каждом шаге порядка h³. Недостатками этого метода являются малая точность и систематическое накопление ошибок.                   

h = (b-a)/n

x₀ = a

x_i = x₀ + ih

y_i+1^* = y_i + hf(x_i, y_i)

                  y_i+1 = y_i + h(f(x_i, y_i) + f(x_i+1, y_i+1^*))/2 i = 0, n-1 (1.7) 

     Метод Рунге-Кутта

     Существуют  и другие явные одношаговые методы. Наиболее распространенным из них является метод Рунге – Кутта. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Метод Рунге – Кутта требует большого объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с большим шагом. Другими словами, для получения результата с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге – Кутта.

 Пусть  дано дифференциальное уравнение  первого порядка 

      y’=f(x,y) (1.8)

c начальным условием, выберем шаг h и для краткости введём обозначения:

      x_i = x₀ + ih и y_i =y (x_i) (i = 0, 1, 2,…) (1.9)

Рассмотрим числа:

k₁⁽ⁱ⁾ = hf(x_i, y_i),   k₃⁽ⁱ⁾ = hf(x_i + h/2, y_i + k₂⁽ⁱ⁾/2)

k₂⁽ⁱ⁾ = hf(x_i + h/2, y_i + k₁⁽ⁱ⁾/2),  k₄⁽ⁱ⁾ =  hf(x_i + h, y_i + k₃⁽ⁱ⁾)                        (1.10)

     Согласно  методу Рунге – Кутта последовательные значения y_i искомой функции y определяются по формуле:

      y_i+1 = y_i + Dy_i, (1.11)

где

                        Dy_i = (k₁⁽ⁱ⁾ + 2k₂⁽ⁱ⁾ + 2k₃⁽ⁱ⁾ + k₄⁽ⁱ⁾) (i = 1, 2,…) (1.12) 

     

     

     Геометрический  смысл заключается в том, что  величины k_j j=1,4 с точностью до множителя h определяют наклон касательной к интегральной кривой в

     соответствующих точках, а усреднённое по вышеизложенной формуле направление Dy_i даёт очередную точку (x_i+1, y_i+1)

Погрешность этого  метода на каждом шаге есть величина порядка  h⁵. 

Вычислительная  схема методa Рунге  – Кутта

h = (b-a)/n

x₀ = a

x_i = x₀ + ih

k₁ = hf(x_i, y_i)

k₂ = hf(x_i + h/2, y_i + k₁/2)

k₃ = hf(x_i + h/2, y_i + k₂/2)

k₄ =  hf(x_i + h, y_i + k₃)

                        y_i+1 =y_i +  (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6 i = 0, n-1 (1.13) 

     Метод Рунге-Кутта применяется также  при решении обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков [5].

Проведя сравнительную  оценку рассмотренных методов, приходим к выводу, что с уменьшением шага (h) локальная погрешность метода Эйлера снизится, однако при этом возрастает число узлов, что неблагоприятно повлияет на точность результатов. Поэтому метод Эйлера применяется сравнительно редко при небольшом числе расчетных точек. Наиболее употребительным одношаговым методом является метод Рунге – Кутта. 

    Аппроксимация и интерполяция

    Линейная  интерполяция осуществляется с помощью  встроенной функции linterp, имеющей следующий общий вид:

     

    linterp(VX,VY,x),

    где VX, VY – векторы координат узловых точек;

    x – значение аргумента, для которого будет получено интерполяционное значение функции y.

    Пример  показан на Рисунке 1.2

     

     Рисунок 1.2 – Пример использования функции Linterp

    В MathCAD для проведения кубической сплайн-интерполяции  предлагается три встроенные функции (VX, VY – вектора узловых точек):

    cspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

    pspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к параболической кривой;

    lspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к прямой.

    Интерполирующая функция строится с помощью стандартной  функции interp, имеющей следующий общий вид:

    

        interp(VK,VX, VY,x), где

    VK – вектор вторых производных сплайна в опорных точках;

    x – произвольная точка, в которой вычисляется значение интерполирующей функции.

    - создаются вектора VX и VY, содержащие координаты точек, через которые нужно провести кубический сплайн;