Шпаргалка по "Геометрия"

Свойство: 1. Одна проекция плоскости, проецирующаяся в линию произвольно расположенная относительно осей, совпадает со следом плоскости.

                  2. Два других следа проецирующих плоскостей перпендикулярны осям.

                  3. Уровенные плоскости являются  частными случаями проецирующих  плоскостей.

Взаимное  положение прямой и плоскости:

1. Прямая  II плоскости, если II любой прямой лежащей в этой плоскости. 
 
 
 
 

2. Прямая  пересекает плоскости для построения  точек пересечения прямой с  плоскостью: а) заключаем прямую  в плоскость(частного положения); б) строим линию пересечения  двух плоскостей(заданной и введенной); в) отмечаем точки пересечения заданной прямой с построенной линией пересечения двух плоскостей; г) с помощью конкурирующих точек определить видимость прямой относительно плоскости. 
 
 
 

3. Прямая  перпендикулярна плоскости, если  перпендик-на двум пересекающимся  прямым этой плоскости для решения задания прямой плоскости выбираются горизонталь и фронталь, тогда горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна фронтальной проекции фронтали. 
 
 
 

Взаимное  положение плоскостей:

1. Параллельные  плоскости. Если плоскости II, то две пересекающиеся прямые одной плоскости II двум пересекающимся прямым другой плоскости. 
 
 
 
 
 

2. Пересекающиеся  плоскости. Для построения линии пересечения двух плоскостей нужно найти две их общие точки и их соединить.

3.Перпендикулярные  плоскости. Если плоскости перпендикулярны, то одна из них проходит через перпендикуляр другой плоскости

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.4. Поверхности в  ортогональных проекциях.

Классификация поверхностей, примеры поверхностей.

1. Поверхности с плоскостью параллелизма представляют собой множество прямых ( образующих ), параллельных некоторой плоскости ( плоскости параллелизма ) и пересекающих две данные линии – направляющие. Если направляющими являются две кривые линии, то поверхность называется цилиндроидом. Если одна из направляющих – прямая линия, а вторая – кривая, то поверхность называется коноидом, если обе направляющие – прямые линии, то поверхность называется гиперболическим параболоидом.

2. Циклическая поверхность образуется при движении окружности постоянного или переменного радиуса. Т.к. каркас циклических поверхностей состоит из набора окружностей, то окружность может быть определена в пространстве: а) Тремя точками

            б) Плоскостью, центром и величиной радиуса

                         в) Двумя точками и прямой, расположенными в одной плоскости, если эта прямая и центр окружности инцидентны.

            г) Тремя касательными

            д) Сферой и пересекающей ее плоскостью

            е) Вектором, начало которого совпадает с центром окружности, направление перпендикулярно  плоскости окружности, а модуль равен радиусу

3. Поверхностью переноса называется поверхность, образуемая при поступательном перемещении одной кривой вдоль другой. Любая прямая, которая принадлежит фигуре, совершающей поступательное движение, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Поверхности параллельного переноса отвечают важному технологическому требованию – их можно формировать при помощи передвижной опалубки.

4. Винтовая поверхность образуется винтовым движением некоторой линии. Линия, совершающая винтовое движение, называется образующей поверхности. Если винтовое движение совершает прямая линия, то поверхность называется геликоидом. В зависимости от того, как расположена прямолинейная образующая винтовой поверхности относительно оси винта, различают: архимедову, эвольвентную и конволютную винтовые поверхности.

5. Развертывающейся поверхностью называется такая линейчатая  поверхность, которую можно без складок и разрывов развернуть на плоскость. Линейчатость поверхности – необходимый, но не достаточный признак развертываемости. К развертывающимся поверхностям относятся цилиндрическая, коническая и поверхность образованная множеством касательных к некоторой кривой.

Примеры поверхностей:

1. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма
2. Циклические поверхности
3. Поверхности параллельного переноса
4. Поверхности вращения
5. Винтовые поверхности
6. Развертывающиеся поверхности

Многогранные  поверхности. Пирамида – боковые грани представляют треугольник, ребра пересекаются в одной точке называемой вершиной. Если высота пирамиды перпендикулярна её основанию, то пирамида называется прямой. Если не перпендик., то называется наклонной пирамидой.

Призма –  боковые грани представляют собой параллелограмм. Ребра перпендикулярны между собой. Верхние и нижние основания призмы являются тем же прямоуг. Верхние и нижние грани могут быть II или не II между собой. Если ребра перпендик. основанию призма называется прямой. Если не перпендик. призма называется наклонной.

Поверхности вращения. Поверхность вращения общего вида задаётся движением плоской линией (кривой или прямой) при вращении её вокруг неподвижной оси.

Свойство: 1. Сечения поверхности вращения плоскостей перпендикулярны её оси, называются параллелями. II max радиуса – экватор, а II min радиуса – горловина.

                  2. Сечения поверхности вращения  плоскостей проходят через ось  вращения, называются меридианами.  Меридиан, принадлежащий плоскости  уровня, называется главным.

Пр.: 1. Сфера (шар). Образуется вращением окружности вокруг своей оси. Любая проекция сферы представляет собой окружность одного и того же радиуса.

       2. Тор. Образуется вращением вокруг  оси, не совпадающей с осью  окружности. Если ось вращения выходит за пределы окружности тор называется открытым. Если ось вращения находится внутри окружности, образуется закрытый тор. Тор-поверхность 4-го порядка.

       3. Конус. Если высота конуса  перпендик. основанию и совпадает  с осью вращения конуса, то конус называется прямым. Если высота конуса не совпадает с осью вращения, то конус называется наклонный.

       4. Цилиндр. Если ось вращения  перпендик. цилиндру, то цилиндр  называется прямым или проецирующим. Если ось вращения не перпендик., то цилиндр называется наклонным.

Принадлежность  точки и линии  поверхности. Точка принадлежит поверхности, если лежит на линии этой поверхности. Линия принадлежит поверхности, если проходит через точки этой поверхности.

Коническое  сечение – пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

               2) Секущая плоскость параллельна  одной из касательных плоскостей  конуса; в сечении получается  незамкнутая, уходящая в бесконечность  кривая - парабола, целиком лежащая  на одной полости.

               3) Секущая плоскость пересекает  обе полости конуса; линия пересечения  - гипербола - состоит из двух  одинаковых незамкнутых, простирающихся  в бесконечность частей (ветвей  гиперболы), лежащих на обеих полостях  конуса. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом а²z²= x² + y² (в Декартовой системе координат), где а = tg    ( a- угол между образующей конуса и его осью). Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае,

- если секущая  плоскость пересекает все образующие  конуса в точках одной его  полости, получаем эллипс,

- если секущая  плоскость параллельна одной  из касательных плоскостей конуса, получаем параболу,

- если секущая  плоскость пересекает обе полости  конуса, получаем гиперболу.

Построение  точек пересечения  прямой с поверхностями. Произвольная прямая поверхности n – го порядка пересекает в n точках для построения точек пересечения прямой с поверхностью нужно:

1. Заключить  прямую в плоскость, которая пересекает поверхность по наиболее простому сечению.

2. Построить  линию пересечения поверхности  с дополнительной плоскостью.

3. Отметить  точки пересечения заданной прямой  с построением линией пересечения поверхностей с плоскостью

4. Определить  видимость прямой.

Построение  линии пересечения  плоскости частного положения с поверхностями. (граф. раб. №1)

Построить три  проекции и прямоугольную диметрию линий пересечения комбинированной поверхности плоскостью частного положения.

Построение  линий пересечения  поверхностей. Поверхности n и m порядка пересекаются по линии m n порядка, для построения линии пересечения поверхности нужно найти необходимое количество общих точек для  обеих поверхностей, последовательно соединить их с учетом видимости, а затем определить видимость поверхности относительно друг другу.

Построение  разверток поверхностей. Для построения развёрток поверхности нужно знать натуральную величину рёбер или образующих, натуральную величину основания поверхности для построения усеченных разверток + натуральную величину фигуры сечения.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Способы  преобразования проекций.

3.1. Способ замены  плоскостей проекций. Сущность способа заключается в том, что геометрический образ пространства остается на месте, а плоскость проекций заменяется новыми, относительно которых геометрический образ будет занимать частное положение.

3.2. Способ вращения  вокруг проецирующих  прямых. Геометрический образ вращается вокруг проецирующей прямой до занятия им частного положения относительно одной из плоскости проекций, при этом не меняется угол наклона геометрического образа к одной из плоскостей проекций, а, следовательно, не меняется величина этой проекции геометрического образа.

4. Проекции с числовыми  отметками. При проектировки таких инженерных сооружений, как полотно железной или шоссейной дорог, плотины; дамбы; аэродромы, т.е. когда высота объекта существенно меньше его размеров на плане. Изображение плана ограничивается в методе проекций с числовыми отметками. Эти отметки, которые указывают расстояние в метрах от точек принадлежащих объекту до некоторой горизонтальной плоскости П₀ позволяют судить о размерах и положении изображенного объекта по высоте. На плоскость нулевого уровня осуществляют ортогональное проецирование геометрических фигур и реальных объектов. Полученные чертежи называют планами, на которых показывают линейный масштаб необходимый для решения метрических задач. Перед числовыми отметками точек, расположенных под плоскостью П₀, ставится знак минус. При выполнении графических построений нужно использовать свойства параллельных и ортогональных проекций, т.к. процесс создания планов сохраняет эти свойства.

4.1. Прямая в проекциях  с числовыми отметками.

Способы задания: кроме задания прямой двумя точками в проекциях с числовыми отметками прямую можно задать горизонтальной проекцией, отметкой одной из её точек и уклоном i=tg(фи) (фи-угол наклона прямой к плоскости нулевого уровня). Направление, в котором отметки прямой убывают, указывается стрелкой.

L – заложение прямой ( величина горизонтальной проекции измерений по масштабу)

  I – превышение или подъём (разность числовых отметок концов прямой)

l - расстояние м/у ближайшими целыми отметками на заложении прямой измеряется по масштабу