Шпаргалка по "Геометрия"

 1.Методы проекций:

Способы проецирования: 1.Центральное проецирование.

                                                                   S – центр проецирования

                                                                   ПI  - плоскость проекции 

                                                                А,В,С – точки пространства

                                                       SA,SB,SC – лучи проецирования

                                                          АI,Bi,Ci – проекции точек А,В,С  

2.Параллельное проецирование. 
 
 
 
 

Свойства  проекций: 1. Проекцией точки является точка.

             2. Проекцией прямой является прямая, если прямая совпадает с направлением проецирования, то проекция прямой является точка.

             3. Если точка пространства принадлежит прямой, то проекция точки лежит на соответствующей проекцией прямой. !        только для параллельного проецирования.

             4. Отрезок прямой проецируется в натуральную величину, если он параллелен плоскости проекции.

             5. Если отрезок пространства поделён  в каком-то соотношении, то  его проекции разделены в том  же соотношении.

             6. Плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций. Если плоская фигура перпендик. проекции, то она проецируется в прямую на эту же плоскость проекций.

Если плоская  фигура перпендикулярна плоскости  проекции, то она проецируется в  прямую на эту плоскость проекции.

             7. Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна плоскости проекций.

Виды: Если лучи проецирования перпендикулярны  плоскости проекций, полученные проекции называются ортогональными (прямоугольными). Если лучи проецирования расположены к плоскости проекции под произвольным углом, то проекция называется косоугольной.

С помощью  центральной проекции образуются перспективные  проекции.

С помощью  параллельной проекции образуются ортогональные  проекции, аксонометрические и проекции с числовыми отметками.

2. Ортогональные  проекции.

Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендик.) к этим плоскостям.

Направление осей координат: 
 
 
 
 

Расположение  в косоугольной горизонтальной изометрической проекции

Расположение  в косоугольной фронтальной изометрической и фронтальной диметрической  проекции

Расположение  в прямоугольной изометрической проекции

2.1. Точка в ортогональных проекциях. Образование комплексного чертежа.

                                                              П₁ – горизонтальная пл. проекции  

                                                                    П₂ – фронтальная пл. проекции

                                                                                                 П₃ – профильная пл. проекции 

                                                                                                                  А – точка пространства         

                                                                                             А₁(х;у) – горизонт. проекция т. А

                                                             А₂(х;z) – фронтальн. проекция т. А

                                                       А₃(у;z) – профильн. Проекция т. А

                                                            А_х, А_х, А_х – координатные точки

                      (АА₁) п П₁, (АА₂) п П₂, (АА₃) п П₃ – лучи проецирования       

     (А₁А_хА₂) п Х,(А₁А_уА₃) п У,(А₂А_zА₃) п Z – линии проекционной связи

!Точка, у которой все координаты отличны от нуля, находятся в пространстве, и называются точкой общего положения, она не изображается на эпюре.

!Точка, у которой хотя бы одна координата равна нулю, называется точкой частного положения.

!Положение точки в прстранстве: Если одна координата равна нулю, то точка лежит на плоскости проекций. (Х = 0 – П₃, У = 0 – П₂, Z = 0 – П₁).Если точка имеет две координаты равные нулю, то точка лежит на оси координат. Точки частного положения обязательно обозначаются на эпюре. пл. пр. делят пр-во на 8 част

Октанты: I. + + +      III. + – –         V. – + +      VII. – – –

                II. + – +    IV. + + –       VI. – – +      VIII. – + –

2.2. Прямая в ортогональных проекциях.

!Прямой общего положения называется прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Способы задания: 1. направление

                               2. луч

                               3. отрезок

!След прямой – это точка пересечения прямой с плоскостью проекций, которая является точкой частного положения. 
 
 

 

М(Z=0,М₂ € Х,М₁≡М) – горизонт. след прямой

N(У=0,N₁ € X,N₂≡N) – фронтальн. след прямой

             К₁   € а₁

             К₂  € а₂

Определение натуральной величину прямой: Способ прямоугольного треугольника – натуральная величина отрезка прямой – гипотенуза прямоугольного треугольника один катет, которого является проекцией прямой, а второй катет является разность координатных концов отрезков до заданной плоскости проекции взятая с другой проекцией прямой.

Угол между  натуральной величиной отрезка  и его проекций определяет угол наклона  прямой к плоскости проекций.

Прямые  частного положения. !Прямые перпендикулярные или параллельные одной из плоскостей проекций называются прямые частного положения.

I. Уровенные прямые – прямые параллельные одной из плоскости проекций.

а) горизонтальная прямая (h) – прямая II горизонтальной плоскости проекций (П₁). 
 
 

б) фронтальная прямая (f) – прямая II фронтальной плоскости проекций (П₂). 
 
 

в) профильная прямая (p) – прямая II профильной плоскости проекций (П₃). 
 
 

II. проецирующие Прямые перпендикулярные одной плоскости проекций иди II двум другим.

а) горизонтальная прямая – перпендик. П₁, II П₂ и П₃ 
 
 

б) фронтальная прямая – II П₁ и П₃, перпендик. П₂ 
 
 

в) профильная прямая – перпендик. П₃, II П₁ и П₂ 
 
 

Взаимное  положение прямых:

1. Параллельные  прямые. Если прямые в пространстве  II, то II их одноимённые проекции.

2. Пересекающие  прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии проекционной связи и является проекциями одной и той же точки.

3. Скрещивающие  прямые. Если прямые в пространстве скрещиваются, то точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи и являются конкурирующими точками.

4. Конкурирующие точки – точки лежащие на одном проецирующем луче. Из пары конкурирующих точек на плоскости видима та, у которой больше координаты определения расстояния до заданной плоскости проекций.

Z_A<Z_B =  B₁ – видима

У_F >У_K = F₂ – видима  
 
 
 
 
 
 

2.3.Плоскость  в ортогональных  проекциях.

Способы задания: 1. Тремя точками не лежащими на одной прямой.

                              2. Прямой и точкой ей не принадлежащей.

                               3. Двумя II прямыми.

                               4. Двумя пересекающимися прямыми.

                           5. Плоской фигурой однозначно определяющаяся треугольником, параллелограммом и трапецией

                           6. Следами. След плоскости – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. Для того чтобы построить след плоскости нужно построить след двух прямых лежащих в этой плоскости.

Главные линии плоскости: 1. Горизонталь (h) – горизонтальная прямая лежащая в плоскости

  2. Фронталь (f) – фронтальная прямая лежащая в плоскости.

  3. Линии  наибольшего ската – прямая  плоскости перпендикулярна горизонтали. 
 
 
 
 
 
 

!Прямая лежит в плоскости, если проходит через две точки этой плоскости.

!Точка принадлежит плоскости, если лежит на прямой плоскости.

Плоскости частного положения: Плоскости II или перпендикулярны одной из плоскостей проекций.

I. Уровенные плоскости – плоскости II одной из плоскостей проекций:

а) горизонтальная плоскость II П₁ 
 
 
 
 

б) фронтальная  плоскость II П₂ 
 
 
 
 
 

в) профильная плоскость II П₃ 
 
 
 
 
 

Свойство: 1. Одна проекция плоскости проецируется в натуральную величину.

            2. Две другие проекции плоскости  проецирования II какой-либо оси и совпадающие со следами плоскости.

II. Проецирующие плоскости. Плоскости II одной из плоскостей проекций:

а) горизонтально  проецирующая плоскость перпендик. П₁ 
 
 
 
 
 

Свойство: Горизонтальные проекции точек, линий, плоских фигур принадлежат горизонтальной проецирующей плоскости лежат на вырожденной проекции плоскости, совпадает с горизонтальным следом плоскости.

б) фронтально проецирующая плоскость перпендик. П₂ 
 
 
 
 
 

Свойство: Фронтальные проекции точек, линий, плоских фигур принадлежат фронтальной проецирующей плоскости, лежат на вырожденной проекции плоскости, совпадает с фронтальным следом плоскости.

в) профильно  проецирующая плоскость перпендик. П₃