Министерство  высшего образования  Российской Федерации

Международный  университет  природы, общества и человека «Дубна»

филиал  «Протвино» 
 

Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  линейной алгебре  и аналитической  геометрии

 

на  тему: 

Исследование кривых и поверхностей второго порядка

 
 
 
 
 
 
 
 

                                                              
 
 

   

   Проверили: Доц. Соловьев В. О.

                                                                                                                    Ст. преп. Ёч В. Ф.

                   

Выполнила:    Сорокина М.С.

I курс группа ПИ071       

  
 

Протвино 2007

Оглавление:

 

1.  Цель, формулировка  задачи, исходные  данные, метод решения…….…...……….3

2.  Анализ кривой  второго порядка …………………………………….…………..….…5

3.  Построение графиков  кривой второго  порядка……………………….……....….….7

4.  Анализ поверхности  второго порядка…………………….…..……………..….…......9

5.  Исследование формы поверхности методом сечений ……………………………....11

6.  Построение графика поверхности второго порядка………………………………...14

7.  Выводы……………………………………………..……………………………………..15

8.  Список литературы………………..…………………..……………….…………..…....16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Цель, формулировка  задачи, исходные  данные

Цель курсовой работы:

Лучшее усвоение и углубление знаний по теме: «Кривые и поверхности второго порядка». 

Задание 1:

Для данного уравнения кривой второго порядка:

1)Определить тип кривой с помощью инвариантов.

2)Привести уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

3)Построить кривую в канонической и общей системах координат. 

Задание 2:

Для данного канонического уравнения поверхности второго порядка:

1)Вычислить инварианты.

2)С помощью инвариантов получить общее уравнение данной поверхности.

  3)Привести полученное общее уравнение поверхности к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

4)Исследовать форму поверхности методом сечений и построить полученные сечения.

5)Построить поверхность в канонической системе координат. 

Исходные данные:

Уравнение кривой второго порядка, уравнение поверхности второго порядка. 
 
 
 
 

Метод решения:

Задание 1:

Определяем тип кривой с помощью инвариантов. Приводим уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.  Строим кривые в общей и канонической системах координат.

Задание 2:

Вычисляем инварианты. С помощью инвариантов получаем общее уравнение данной поверхности. Приводим уравнение поверхности к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Исследуем форму поверхности методом сечений и строим полученные сечения. Строим поверхность в канонической системе координат. 
 
 
 
 

.

2. Анализ кривой  второго порядка 

1) С помощью инвариантов определить тип кривой: 

Рассмотрим уравнение кривой:

и сравним его с уравнением кривой второго порядка в общем виде:

 

Где  -  коэффициенты уравнения.

Тогда для данного уравнения имеем следующие равенства:

 

Известно, что инварианты I₁, I₂ , I₃ выражаются через коэффициенты общего уравнения второго порядка следующим образом:  

I₁=

,     I₂= ,        I₃= ,

и являются величинами, которые не меняются при переносе начала и повороте осей системы координат.

Итак, для рассматриваемой  кривой имеем: 

    I_{1= ,}

    I₂= ,    

     I₃= . 

По значениям инвариантов определяем, что это:

1)Центральная кривая, т. к. I₂ 0

2)Эллиптический тип, т. к. I₂ > 0

3) Эллипс, т. к.I₁I₃ < 0 

2) Преобразования параллельного  переноса и поворота: 

Параллельный  перенос:

 
 

Тогда получаем:

 

      

 

Выполним  поворот координатных осей, воспользовавшись формулами:

 

 
 

Выберем таким, чтобы коэффициент при был равен нулю:

               

 
 
 
 
 
 

Подставим в уравнение полученное значение , тогда получим:  

 

   - каноническое уравнение эллипса 

      

3. Построение графиков кривой второго порядка 
 

3)                                Эллипс в общей системе координат 

 
 
 
 
 

Эллипс  в канонической системе координат 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Анализ поверхности второго порядка 

1) Определить инварианты: 

Рассмотрим уравнение поверхности второго порядка:

и сравним его с общим видом уравнения поверхности второго порядка:

Тогда для данного уравнения имеем следующие равенства:

Инварианты поверхности высчитываются по следующим формулам:

  I₁= ,

  I₂= + + ,

  I₃= ,

   I₄=  

   I₄  

Найдём инварианты данного уравнения поверхности второго порядка:

I₁= , 

I₂= + + , 

I₃= ,  

I₄=

, , , что удовлетворяет условиям на инварианты для однополостного гиперболоида. 
 

2)С помощью инвариантов получить общее уравнение данной поверхности.

Зная инварианты, приведем  каноническое уравнение поверхности в общее.

Пусть , тогда значения инвариантов

не меняются.  

Получаем общее  уравнение поверхности: 

 

3)Привести общее уравнение поверхности к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. 

 

Так как в уравнении нет составляющей для поворота осей,  поэтому сразу произведем параллельный перенос:

                     

т.к. , то  

Тогда произведем параллельный  перенос координатных осей, воспользовавшись формулами:

 

Получаем:

 

 

 

 

 - это каноническое уравнение

                                  однополостного гиперболоида. 
 
 
 

5. Исследование формы  поверхности методом  сечений 

4) Исследовать форму поверхности методом сечений и построить полученные сечения. 

Сечение плоскостью z=0 
 
 

Сечение плоскостью x=0 

 
 
 

Cечение  плоскостью y=0

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Cечение  плоскостью x=1