Инженерная и компьютерная графика.Теория построения чертежей

    Наряду  с отмеченными достоинствами, метод  ортогонального проецирования имеет  существенный недостаток. Для того, чтобы получить представление о  пространственном геометрическом образе фигуры, приходится одновременно рассматривать две, три, а иногда и большее число проекций.

    В ряде случаев бывает необходимо, наряду с чертежом геометрической фигуры, выполненном в ортогональных  проекциях, иметь ее наглядное изображение. Также изображение может быть получено путем проецирования оригинала на специально выбранную плоскость. Такие проекции называются аксонометрическими. Название "аксонометрия" образовано из слов древнегреческого языка: "аксон" - ось, "метро" - измеряю.

      

    Аксонометрическая проекция есть прежде всего проекция только на одной плоскости.

    Если  взять точку А в прямоугольной системе координат с координатами ОХ=OY=OZ=ℓ (рисунок 45) и спроецировать ее на некоторую плоскость π₀, то координаты точки А, естественно, исказятся и будут равны ℓ_х, ℓ_y, ℓ_z. Они не равны ℓ и не равны между собой.

    Отношения называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

    Очевидно, принимая различное взаимное расположение натуральной (декартовой) системы координат и аксонометрической плоскости π₀ и задавая разные направления проецирования S, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэффициентов искажений вдоль этих осей.

    Справедливость  этого утверждения была доказана немецким геометром Карлом Польке.

    Теорема Польке. Три отрезка произвольной длины, лежащих в одной плоскости  и выходящих из одной точки  под произвольными углами друг к  другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.

    На  основании этой теоремы аксонометрические  оси и коэффициенты искажений  по ним могут выбираться произвольно.

    Однако  для унификации построений в инженерной практике используются стандартные аксонометрические проекции, часть которых мы и рассмотрим в этом разделе.

    Для начала дадим несколько определений:

1. если направление проецирования S перпендикулярно плоскости проецирования π₀, то такие проекции называются прямоугольными аксонометрическими;
2. если коэффициенты искажений равны по всем аксонометрическим осям (к_х=к_у=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется изометрией;
3. если коэффициенты искажений одинаковы для каких-либо двух осей (например, к_х=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется диметрией;
4. если коэффициенты искажений различны для всех осей (к_х≠к_у≠к_z), то такая аксонометрическая проекция называется триметрией;
5. независимо от вида для прямоугольных аксонометрических проекций между коэффициентами искажений существует следующая зависимость

к_х²+к_у²+к_z²=2.

          Данное определение  доказуемо, однако, в целях упрощения  изложения, принимаем эту формулу  без доказательств.

          Как было уже указано, в практике построений используется ограниченное число аксонометрических  проекций, которые стандартизированы и подлежат обязательному соблюдению.

          Рассмотрим некоторые, наиболее распространенные из них.

4.1 Прямоугольная изометрическая проекция

    Для изометрической проекции все коэффициенты искажений по аксонометрическим  осям равны между собой, т.е. к_х=к_у=к_z=к. Так как для прямоугольной аксонометрии

    к_х²+к_у²+к_z²=2,

    то  получаем

    3к²=2,

    отсюда  к=0,82. Такие коэффициенты искажений по осям называются натуральными.

          Для изометрии углы между осями одинаковы и равны 120^◦, обычно ось z принимают вертикальной (рисунок 46).

        
 

     На рисунке 47 показана изометрическая проекция куба с размерами ребер, равными "а".

          Как видно из рисунка, размеры куба по осям откладываются  уменьшенными по сравнению с оригиналом. Пользоваться такими коэффициентами искажений неудобно. Поэтому, для упрощения построений допускается принимать коэффициенты искажений по осям, равным единице (к_х=к_у=к_z=1), и откладывать по осям неискаженные размеры фигуры. Такие коэффициенты искажений называются приведенными. В этом случае, увеличение линейных размеров изображения по сравнению с действительными происходит в 1/0,82=1,22 раза.

      Изометрические оси обычно проводят с помощью транспортира, либо треугольника с углами 60^◦ и 30^◦. Те же углы можно построить с помощью циркуля (рисунок 48).

          Порядок построений следующий.

1. Проводим вертикальную ось Z₀ и отмечаем на ней точку "О".
2. Из точки "О", как из центра, проводим окружность любого, по возможности большего радиуса и отмечаем на вертикальной оси точку "1".
3. Из точки "1", не изменяя раствора циркуля, делаем на дуге окружности засечки (точки "2" и "3").
4. Соединив центр "О" с точками "2" и "3", строим оси Х₀ и У₀.

      

    В качестве примера на рисунке 49 приведена  ортогональная проекция пирамиды (а) и ее изометрическая проекция (б). Для упрощения построений начало аксонометрических осей (точку 0) расположили в центре основания пирамиды.

    В практике построений часто приходится строить изометрические проекции окружностей. Рассмотрим ее построение. Чтобы иметь  наглядное представление о расположении и величине осей эллипсов, последние вписаны в грани куба с размерами, равными диаметру окружности d (рисунок 50).

     Рассмотрим построение эллипса на верхней грани куба. Как видно  из рисунка, для построения эллипса  известны 8 ее точек. Расстояние между  точками 1 и 5, 3 и 7 (вдоль изометрических осей) равно диаметру окружности (отложены без искажения, т.к. приведенные коэффициенты к_х, к_у, к_z равны единице). Большая ось эллипса (между точками 2 и 6) равна 0,71d. Соединив плавной линией полученные 8 точек, строим эллипс, который является изометрической проекцией окружности диаметром d.

          Аналогично строим эллипсы на остальных гранях куба.

          Расстояния между  точками для построений эллипсов следующие.

4.2. Прямоугольная диметрическая  проекция

    Для диметрических проекций к_х=к_z=к. Если взять к_у=0,5к, то получим

    к²+ к²+0,25к²=2,

    отсюда  к=0,94.

          Тогда к_х=к_z=0,94, к_у=0,47.

          Следовательно, в  прямоугольной диметрической проекции по двум осям (Х₀ и Z₀) получается сокращение линейных размеров до 0,47ℓ от фактического (ℓ). Такие коэффициенты искажений называются натуральными.

          Для диметрических  проекций ось Z₀ располагают, как правило, вертикально. Углы между осями будут следующими (рисунок 51).

          Приближенно диметрические  оси можно построить, если принять  tg7^◦10≈1/8, tg41^◦25'=7/8.

    Тогда диметрические оси можно построить, как показано на рисунке 52.

    Ось Y₀ может быть проведена также как биссектриса угла x₀oz₀. Эту биссектрису можно провести также с помощью циркуля (рисунок 53).

    Из  точки О проведем дугу окружности произвольным радиусом. На пересечении ее с осями х₀ и z₀ отмечаем точки А и В. Далее из точек А и В делаем две засечки этим же радиусом, через пересечение которых (точку Т) пройдет биссектриса ОТ, продолжение которой и будет осью Y₀.

 

    

     Указанными выше коэффициентами искажений  и диметрическими осями пользоваться неудобно. Поэтому на практике разрешается  пользоваться приведенными коэффициентами искажений по осям (к_х=к_z=1, к_у=0,5).

    Для построения диметрической проекции окружности впишем ее также в грани  куба размерами, равными d.

 

    

    

    На  рисунке 54 показан пример построения окружности в диметрической проекции.

    Как видно из рисунка, здесь также  известны 8 точек, соединив которые, можно построить диметрическую проекцию окружности.

    Расстояния  между точками для построения эллипсов следующие:

    4.3. Некоторые косоугольные аксонометрические проекции

    При построении прямоугольных аксонометрий все три натуральные координатные плоскости подвергаются искажению, а на практике часто бывает полезным построение такой аксонометрической  проекции, в которой хоты бы одна из координатных плоскостей не искажалась. Для этого пользуются косоугольным проецированием.

      
 
 
 

      
 
 
 
 

    Из  числа стандартных косоугольных аксонометрических проекций остановимся  прежде всего на двух видах:

1. косоугольная диметрия с приведенными коэффициентами искажений по осям. Углы между диметрическими осями здесь будут такими, как показано на рисунке 55. Коэффициенты искажения по осям такие: к_х=к_z=1, к_у=0,5. Такая проекция иногда называется "кабинетной проекцией".

    

 

    

    

    Такой косоугольной диметрией удобно пользоваться, когда возникает необходимость построения проекции окружности, расположенной параллельно плоскости х₀оz₀. В этом случае диметрическая проекция окружности изобразится неискаженной (рисунок 56), т.к. к_х=к_z=1, а угол х₀оz₀=90^◦;