Инженерная и компьютерная графика.Теория построения чертежей

          Если учесть, что  сторона угла параллельна плоскости  проекции, она называется либо горизонтальной (если параллельна плоскости π₁), либо фронтальной (если параллельна плоскости π₂), либо профильной прямой (если параллельна плоскости π₃), то можно сделать следующий вывод:

1. для того, чтобы построить перпендикуляр к горизонтальной прямой, необходимо, чтобы горизонтальная проекция перпендикуляра (ℓ₁) была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали (h₁). На рисунке 32 ℓ_1┴h_1.  Тогда независимо от расположения проекции ℓ₂ эти прямые в пространстве будут взаимно перпендикулярны (ℓ_1┴h₁);
2. для того, чтобы построить перпендикуляр к фронтальной прямой, необходимо, чтобы фронтальная проекция перпендикуляра (ℓ₂) была перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали (ƒ₂). На рисунке 33 ℓ_2┴ƒ_2. Тогда независимо от расположения ℓ₁ эти прямые в пространстве будут взаимно перпендикулярны (ℓ_┴ƒ).

      

     Эти особенности проецирования прямой угла широко используются при решении  геометрических задач.

    Например, две пересекающиеся между собой  горизонталь h и фронталь ƒ будут составлять плоскость γ. Если из некоторой точки А провести прямую ℓ (рисунок 34), перпендикулярную горизонтали и фронтали, то эта прямая будет перпендикулярна и плоскости γ. 
 

      

2.4 Взаимное положение двух плоскостей

     Две плоскости могут быть параллельными  либо пересекаться между собой.

    Если  плоскости β и γ параллельны между собой, то всегда в каждой из них можно построить две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости соответственно были параллельны двум прямым другой плоскости.

     На рисунке 35 плоскость β задана треугольником АВС, а плоскость γ – двумя пересекающимися прямыми “m” и “n”. Для того, чтобы плоскости β и γ были параллельны между собой, необходимо, чтобы прямые “m” и “n” были параллельны сторонам треугольника АВС, например m║АВ,  n║ВС.

    Прямые  “m” и “n” могут быть также параллельны любым другим прямым, лежащим в плоскости β(АВС).

    Если  плоскости заданы следами, то для  параллельности плоскостей их следы  должны быть параллельны между собой (рисунок 36), т.е. ƒ_0γ║ƒ_0β, h_0γ║h_0β.

    

    Если  следы плоскостей параллельны оси Х, то эти плоскости могут быть либо параллельны, либо пересекаться между собой (рисунок 37). Для определения параллельности нужно построить третий, профильный след.

    

 

    3 Лекция 3. Способы преобразования ортогональных проекций 

          Содержание  лекции:

    - рассмотрение двух наиболее распространенных  способов  преобразования ортогональных  проекций: способа замены плоскостей  проекций и способа вращения – на основании конкретных примеров.

    Цель лекции:

    - изучить методы преобразования  ортогональных проекций для использования их при решении геометрических задач.

    Решение геометрических задач значительно  упрощается, когда мы имеем дело с частным положением геометрических фигур относительно плоскостей проекций (либо перпендикулярно, либо параллельно ей).

    Переход от общего (произвольного) положения геометрической фигуры к частному может быть достигнут двумя путями:

1. выбором новой плоскости проекций, по отношению к  которой проецируемая фигура, не меняющая своего положения в пространстве, окажется в частном положении;
2. перемещением в пространстве проецируемой фигуры так,  чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве.

    Эти два способа преобразования проекций рассматриваются в данной лекции.

    3.1 Способ замены плоскостей проекций

     Ортогональные проекции на две взаимно  перпендикулярные (горизонтальную и  фронтальную) плоскости проекций позволяют  изобразить предмет сверху и спереди. В ряде случаев необходимо построить  вид предмета с другой стороны, чтобы более полно представить его форму и очертание. Дополнительные чертежи предмета могут быть построены способом замены плоскостей проекций.

    Пусть заданы точка А и система двух взаимно перпендикулярных плоскостей p₁ и p₂ (рисунок 38). Возьмем новую плоскость проекций p₄ перпендикулярно плоскости p₁ и спроецируем на нее точку А (проекция А₄). Получаем две системы плоскостей проекций: основную p₁ и p₂ и дополнительную p₁ и p₄ . Плоскость p₁ будет общей для обеих систем плоскостей проекций. Как видно из рисунка, высота точки А над плоскостью p₁ остается неизменной.

     Операцию перехода от одной системы  плоскостей проекций к другой легко  проследить и на эпюре (рисунок 39). Здесь дополнительная ось проекций x₁₃ (между плоскостями p₁  и p₃) соответствует положению горизонтально - проецирующей плоскости p₃.

     Линия связи А₁А₃ проходит перпендикулярно оси X₁₃, расстояние от точки А₃ до оси X₁₃ равно расстоянию от проекции А₂ до оси X₁₂ (координате Z_A).

     Аналогично можно заменить плоскость p₁ на новую плоскость проекции p₄ (рисунок 40).

      

    Здесь дополнительная проецирующая плоскость p₃ проходит перпендикулярно плоскости p₂ . Построение проекции точки А₃ проводим следующим образом:

    -  проводим ось проекций X₂₃, соответствующую положению плоскости p₃;

    -   из проекции А₂ проводим линию связи А₂А₃ перпендикулярно оси X₂₃;

    - откладываем на этой линии связи от оси X₂₃ отрезок, равный расстоянию от проекции А₁ до оси X₁₂ (Y_a) , получаем проекцию A₃.

    Замена  одной из плоскостей проекций не всегда может привести к решению поставленной задачи. Иногда приходится менять две и более плоскости проекций.

    Покажем, как определяются ортогональные  проекции точки А при последовательных заменах плоскостей проекций (рисунок 41).

     Пусть точка А задана в основной системе плоскостей проекций p₂/p₁ . Выбираем новую систему плоскостей проекций p₁/p₄ и построим проекцию А₄ точки А. Методика построения проекции А₄ дана выше (рисунки 38, 39).

     Заменяя в системе плоскостей проекций p₁/p₄ плоскость p₁ на плоскость проекций p₅, перпендикулярную плоскости p₄, получим третью систему плоскостей проекции p₄/p₅. На эпюре ось X₄₅ будет определять положение плоскости p₅ относительно плоскости p₄. Проводя из точки А₄ линию связи A₄A₅ перпендикулярно оси X₄₅ и отложив на ней от этой оси расстояние ℓ₁₄ , равное расстоянию от проекции А₁ до оси X₁₄, получим новую проекцию точки А₅.

          Метод замены плоскостей проекций позволяет получить новые, наиболее удобные для решения  задач проекции фигур по заданным неудобным.

     3.2 Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции.

    Данный  способ противоположен способу замены плоскостей проекций. Способ вращения также дает возможность строить множество чертежей, но в одной системе плоскостей проекций.

     Рассматриваемую фигуру при вращении вокруг оси можно приводить в любое нужное положение и строить его ортогональные проекции.

    Проследим, как будет изменяться положение  точки А при ее вращении вокруг оси “i” , перпендикулярной p₂ (рисунок 42).

    Точка А перемещается по дуге окружности в плоскости b (b^i, и следовательно, b║p₂ ), поэтому эта окружность проецируется на плоскость p₂ без искажения, а на плоскость p₁ - в отрезок прямой, параллельной оси X. Таким образом, если точка А перемещается вокруг оси i по дуге окружности радиуса R на некоторый угол j, то она займет положение А^’. При этом фронтальная проекция точки А₂ повернется вокруг центра O₂ на тот же угол j и займет положение А₂'. Горизонтальная проекция точки А₁ продвинется по прямой, параллельной оси X, и займет положение А₁'. На эпюре это будет выглядеть следующим образом (рисунок 43).

    

      

    Аналогично  можно показать вращение точки В (рисунок 44) вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости p₁. Здесь горизонтальная проекция точки В₁ перемещается по дуге окружности радиусом R, а фронтальная проекция - по прямой, параллельной оси X.

    Способ  вращения геометрических фигур вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций, широко используется при решении  геометрических задач.

 

     4 Лекция 4. Аксонометрические проекции

    Содержание  лекции:

    - рассмотрены способа построения стандартных аксонометрических проекций: изометрии и диметрии – на основании конкретных примеров.

    Цель лекции:

    - изучить способы построения стандартных  аксонометрических проекции: прямоугольных  и некоторых косоугольных изометрии  и диметрии, гранных поверхностей и окружностей.

    Ортогональные (прямоугольные) проекции находят широкое  применение в технике при составлении  чертежей. Это объясняется тем, что  выполнение чертежей с помощью ортогональных  проекций достаточно просто, при этом можно получить проекции, сохраняющие метрические характеристики оригинала.