Риски проектов и теория Г. Марковица

    2.3. Оптимальный портфель

    Заключительная  часть содержит информацию о том, как выбрать оптимальный для  инвестора портфель из эффективного множества.

    При нахождения оптимального портфеля необходимо взять во внимание такое понятие  как "полезность". Более высокие  значения полезности присваиваются  портфелям с высокой ожидаемой  доходностью, а низкие значение полезности присваиваются портфелям с высоким  риском. Формула полезности имеет  следующий вид:

    U = E(r) - 0.005 × A × σ2,                                         

    где E(r) - ожидаемая доходность,

          U - полезность,

          A - число, характеризующее отношение  инвестора к риску. 

    Число 0.005 в формуле позволяет выражать ожидаемую доходность и стандартное  отклонение в процентах, а не в  долях единиц. Согласно формуле можно  сказать, что полезность увеличивается  по мере роста ожидаемой доходности и уменьшается по мере роста риска. Размер, на который снижается полезность зависит от значения A, т.е. степени  отношения инвестора к риску. Чем выше значение A, тем более  консервативен инвестор, т.е. менее  склонен к риску. Нейтральные  к риску инвесторы имеют значение A=0.

    Если  про анализировать формулу можно  увидеть, что полезность "безрискового" актива (чаще всего это - T-Bills) является простой ставкой доходности этого "безрискового" актива, т.к. дисперсия  равна 0, а следовательно и нет  риска. Такой "безрисковый" актив  будет для нас критерием или  эталон (benchmark), с которым мы будем  сравнивать наши рисковые портфели.

    Пример

    Предстваим  следующую ситуацию: наш портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, но при этом риск (стандартное отклонение) 40%. "Безрисковый" актив, скажем ГКО (на сколько они безрисковы - решать вам), имеют доходность в 7%. Следовательно, премия над риском 13% (доходность портфеля - безрисковая доходность) Довольно не плохая премия, однако риск на столько  велик, что может заставить очень  консервативного инвестора купить исключительно ГКО. Таким образом  используя формулу 6.1, для довольно умеренного в отношении риска  инвестора с показателем A = 2 полезность нашего портфеля будет 20 - (0.005*2*40^2) = 4%, что  на целых 3% процента ниже безрисковой  доходности. В таком случае инвестор выберет безрисковый портфель, т.е. купит ГКО. Если в расчете использовать более высокие A (т.е. значения, характеризующие  высокую степень избегания риска), то получаются отрицательные значения полезности.

    Т.к. при выборе между рисковым портфелем  и безрисковым активом мы сравниваем полезность нашего портфеля со ставкой  по безрисковому активу, то можно сказать, что полезность портфеля является гарантированной эквивалентной доходностью для инвестора. Таким образом, гарантированная эквивалентная доходность портфеля - это доходность, которую безрисковые вложения должны гарантированного обеспечивать, чтобы быть равнопривлекательным рисковым портфелям. Иными словами, портфель привлекателен только в том случае, если его гарантированная эквивалентная доходность (полезность) выше безрисковой. 

    2.4. Кривые безразличия. 

    Прежде, чем приступить к выбору оптимального портфеля, нам надо познакомиться  еще с одним термином - "кривые безразличия" (indifference curves). Кривые безразличия - это кривые, которые строятся в  плоскости "стандартное отклонение - доходность" и отражают отношение  инвестора к риску и доходности.

    Пример

    Допустим  все свои средства инвестор держит в безрисковом активе, который  обеспечивает доходность в 5%. Уровень  избегания риска А = 4. Т.к. риск такого портфеля равен нулю, следовательно  полезность (U) = 5%. Теперь определим  ожидаемую доходность, которую инвестор будет требовать при том же уровне полезности (U=5), но приобретая теперь в рисковый портфель, с риском (стандартным  отклонением) 5%. Для этого воспользуемся  формулой:

    Требуемая E(r) = U + 0.005 × A × σ2 ,                                   

    где E(r) - требуемая ожидаемая доходность,

          U - полезность,

          A - число, характеризующее отношение  инвестора к риску. 

    

    Изменяя уровень риска получаем требуемые  значения ожидаемой доходности для  поддержани уровня полезности равного 5% Теперь, для того, чтобы построить "кривую безразличия" необходимо по оси ординат отложить ожидаемую  доходность, а по оси абсцисс стандарное отклонение, т.е. риск. Таким образом, кривая безразличия инвестора, требующего полезности в 5% и с уровнем избегания  риска A=4, будет иметь следующий  вид: 

    

    Данные  кривые можно построить для любого инвестора. Например, для более консервативного  инвестора, с уровнем избегания  риска A=10, кривая будет иметь более  крутой угол наклона. Для менее консервативного  инвестора, кривая будет более пологой.

      

    Важно отметить два свойства кривых безразличия:

    все портфели, лежащие на одной заданной кривой являются равноценными для инвестора;

    инвестор  будет считать любой портфель, лежащий на кривой, которая находится  выше и левее, более привлекательным, чем любой другой портфель, который  находится на кривой расположенной  ниже и правее.

    Оптимальный портфель

    Далее можно приступить к нахождению оптимального портфеля и определению его состава. Для это нам понадобится наша эффективная граница, которая была построена в части 5. Ранее я  говорил, что предпочитаю не брать  на себя большие риски, поэтому давайте  построим кривые безразличия с уровнем  избегания риска A = 4 и уровнями полезности (U) 4.4, 7.5, 10.4

    

    Как видно из рисунка, кривая безразличия  с полезностью равной 7.5% коснулась  эффективной границы в точке  соответствующей ожидаемой доходности портфеля 1.83% и риску 6.45% (согласно графику). Теперь определим состав нашего оптимального портфеля.

    Зная  ожидаемую доходность портфеля, который  соприкоснулся с кривой безразлия, мы можем определить два так называемых "угловых" портфеля, с ожидаемыми доходностями, окружающими наш оптимальный портфель (ПортО), т.е. надо найти ближайший портфель, имеющий ожидаемую доходность выше оптимального (ПортВ) и ближайший портфель, имеющий ожидаемую доходность ниже (ПортН). ПортфельВ имеет ожидаемую доходность 1.85%, ПортфельН ожидаемую доходность 1.7%

    Используя значения ожидаемых доходностей  можно определить и состав оптимального портфеля. Для этого воспользуемся  формулой:

    ПортО= (ПортВ*Y)+(ПортН*(1-Y)), где Y доля ПортВ, а 1 - Y - доля ПортН в составе оптимального портфеля.

    1.83 = (1.85*Y)+(1.7*(1-Y)). Решая это уравнение,  получим Y = 0.87. Это означает, что  оптимальный портфель состоит  на 87% из портфеля с ожидаемой  доходностью выше оптимального (ПортфельВ)  и на 13% из портфеля, с ожидаемой  доходностью ниже оптимального (ПортфельН).

    Для определения состава оптимального портфеля относительно долей бумаг  произведем расчет, который и определит  его состав:

    

    Примечание. Суммарная доля активов в ПортфелеН  меньше 1, ввиду округления до сотых.

    Таким образом мы определили состав оптимального портфеля, который состоит из вложений на: 5% в акции РАО ЕЭС, 69% в акции  Лукойла и 26% в акции Сургута.

    Для проверки полученного результата можно  ввести значение доходности 1.83% в Solver и  вы получите риск 6.45% и состав оптимального портфеля.

    Для более рисковых инвесторов кривые безразличия  будут иметь, как я уже упоминал более пологий вид, которым будет  соответсвовать более высокий риск и как следствие более высокая  ожидаемая доходность. А определение  состава аналогично вышеописанному.

    Существует  возможность включения в портфель безрискового актива, скажем, государственнх облигаций. В принципе технология нахождения множества портфелей, построения эффективной  границы и выбора оптимально портфеля довольно схожи.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Практическая  часть

    Задача  №1.

    Представлены  к рассмотрению следующие инвестиционные предложения – проекты А, Б, В  и Г (табл.1). Составить оптимальную  инвестиционную программу, при требуемой  доходности170,5%, используя метод  временной оптимизации. 

    Денежный  поток проектов

    

    Из-за ограниченности инвестиционного бюджета (81500) одновременное финансирование проектов невозможно, однако, предлагается, что можно последовательно реализовать  каждый из этих проектов с отсрочкой  на один год.

    Метод временной оптимизации реализуется  по следующим направлениям:

    1.Рассчитывается NPV (чистый дисконтированный доход) по каждому проекту при условии, что финансирование осуществляется: 1-й вариант – в текущий момент времени; 2-й вариант – через один год; 3-й вариант – через два года; 4-й вариант – через три года.

    Ставка  дисконтирования – 25,4%. 

    Проект  А

    1в:  NPV = -81456 + 72444/1,254 + 46777/1,254² +23653/1,254³ = 18055,749 тыс.руб.

    2в:  NPV = -81456/1,254 + 72444/1,254² + 46777/1,254³ + 23653/1,254⁴ = 14398,5239 тыс.руб.

    3в:  NPV = -81456/1,254² + 72444/1,254³ + 46777/1,254⁴ + 23653/1,254⁵ = 11482,0765 тыс.руб.

    4в:  NPV = -81456/1,2541³ + 72444/1,254⁴ + 46777/1,254⁵ + 23653/1,254⁶ = 9156,3608 тыс.руб. 

    Проект  Б

    1в:  NPV = -65333 + 55542/1,254 + 39342/1,254² + 28331/1,254³ = 18344,4774 тыс.руб.

    2в:  NPV = -65333/1,254 + 55542/1,254² + 39342/1,254³ + 28331/1,254⁴ = 14628,7698 тыс.руб.

    3в:  NPV = -65333/1,254² + 55542/1,254³ + 39342/1,254⁴ + 28331/1,254⁵ = 11665,6857 тыс.руб.

    4в:  NPV =-65333/1,254³ + 55542/1,254⁴ + 39342/1,254⁵ + 28331/1,254⁶ = 9302,779647 тыс.руб. 

    Проект  В

    1в:  NPV = -72445 + 64332/1,254 + 47325/1,254² + 19444/1,254³ = 18811,884 тыс.руб.

    2в:  NPV = -72445/1,254 + 64332/1,254² + 47325/1,254³ + 19444/1,254⁴ = 15001,5024 тыс.руб.

    3в:  NPV = -72445/1,254² + 64332/1,254³ + 47325/1,254⁴ + 19444/1,254 = 11962,9205 тыс.руб.

    4в:  NPV = -72445/1,254³ + 64332/1,254⁴ + 47325/1,254⁵ + 19444/1,254⁶ = 9539,8091 тыс.руб. 

    Проект  Г

    1в:  NPV = -71555 + 58653/1,254 + 49543/1,254² 23666/1,254³ = 18724,6984 тыс.руб.

    2в:  NPV = -71555/1,254 + 58653/1,254² + 49543/1,254³ + 23666/1,254⁴ = 14931,9764 тыс.руб.

    3в:  NPV = -71555/1,254² + 58653/1,254³ + 49543/1,254⁴ + 23666/1,254⁵ = 11907,4772 тыс.руб.

    4в:  NPV = -71555/1,254³ + 58653/1,254⁴ + 49543/1,254⁵ + 23666/1,254⁶ = 9495,5959 тыс.руб. 

    2. Вследствие откладывания от финансирования возникают финансовые потери, определяемые как разница между NPV при различных вариантах реализации проектов.

    Проект  А

    1в:  FP1 = 0

    2в:  FP2 = NPV1 – NPV2 = 18055,479-14398,5239=3657,2251 тыс.руб.

    3в:  FP3 = NPV1 – NPV3 = 18055,479-11482,0765=6573,6725 тыс.руб.

    4в:  FP4 = NPV1 – NPV4 = 18055,479-9156,3608=8899,3882 тыс.руб. 

    Проект  Б

    1в:  FP1 = 0

    2в:  FP2 = NPV1 – NPV2 = 18344,4774-14628,7698=3715,7075 тыс.руб.

    3в:  FP3 = NPV1 – NPV3 = 18344,4774-11665,6857=6678,7917 тыс.руб.

    4в:  FP4 = NPV1 – NPV4 = 18344,4774-9302,7796=9041,6977 тыс.руб.

     

    Проект  В

    1в:  FP1 = 0