Основы финансовой математики

 

Экономический смысл дисконтирующего множителя FM2(r,k). Он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего. Т.е. чему с точки зрения текущего момента равна одна денежная единица (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса k периодов спустя от момента расчета, при заданных процентной ставке (доходности) r (иногда учитывают также частоту начисления процента f). 

Пример. Найти текущее значение долга, полная сумма которого через три года составит 700 тыс. руб. Проценты начисляются  по ставке 9% в конце каждого года.

Решение. По формуле (4.15) и из Таблицы 4.2 имеем:

Р = 700 х 0.772 = 540.4 тыс.руб.

Глава 4. Основы финансовой математики

4.2. Денежные потоки: виды, оценка

4.2.1. Оценка денежного  потока

Один  из основных элементов финансового  анализа вообще и оценки инвестиционных проектов, в частности, - оценка денежного  потока С1, С2, ….., Сn, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов.

Элементы  потока С, могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором - потоком постнумерандо. На Рис.4.1. приведены примеры графического представления поток пренумерандо и постнумерандо для периода в шесть лет.

Рис. 4.1. Графическое представление потоков  пренумерандо и постнумерандо. 

На  практике большее распространение  получил поток постнумерандо, именно он лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка  денежного потока может выполняться  в рамках решения двух задач:

1) прямой, т.е. проводится оценка  с точки зрения будущего (реализуется  схема наращения);

2) обратной, т.е. проводится оценка  с точки зрения настоящего (реализуется  схема дисконтирования).

Прямая  задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток  представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного  денежного потока лежит формула (4.2).

Несложно  показать, что будущая стоимость  исходного денежного потока постнумерандо FV pst может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. в общем виде формула такова:

(4.16)

Обратная  задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного  потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в  различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется при помощи формулы (4.11). Основной результат  расчета - определение общей величины приведенного денежного потока. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока - постнумерандо или пренумерандо. Именно обратная задача является основной при оценке инвестиционных проектов.

В частности, приведенная стоимость  денежного потока постнуменрандо PV pst в общем виде может быть рассчитана по формуле:

(4.17)

Можно показать, что формулы (4.12) и (4.13) трансформируются следующим образом:

(4.18)

(4.19)

где FV pre - будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо;

FV pst - будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо;

PV pre - приведенная стоимость денежного потока пренумерандо;

PV pst - приведенная стоимость денежного потока постнумерандо.

Необходимо  отметить, что ключевым моментом в  рассмотренных схемах является предпосылка. что анализ ведется с позиции «разумного инвестора», то есть инвестора, не накапливающего полученные денежные средства в сундуке, подобно небезызвестному Плюшкину, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях, т.е. и при наращении, и при дисконтировании, предполагается капитализация по схеме сложных процентов. 

Пример. Рассчитать величину проведенного денежного  потока (постнумерандо) (тыс.руб.): 12, 15, 9, 25, если коэффициент дисконтирования = 12%

 

Глава 4. Основы финансовой математики

4.3. Оценка аннуитетов

Одно  из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах – понятие  аннуитета. Логика, заложенная в схему  аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

Аннуитет  представляет собой частный случай денежного потока. Это поток, в  котором денежные поступления в  каждом периоде одинаковы по величине. если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае:

С1 = С2 = … = Сn = A

Для оценки будущей и приведенной  стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с  тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут  быть существенно упрощены. В частности, для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (г) можно воспользоваться формулами (4.20) и (4.21):

(4.20)

(4.21)

где

(4.22)

Экономический смысл FM3(r,n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с точки зрения текущего момента величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что денежные суммы лишь начисляются, а изъять их можно по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r,n) часто используют в финансовых вычислениях. Поскольку легко заметить, что его значения в общем виде зависят лишь от r и n, они также затабулированы. (Таблица 4.3).

Таблица 4.3. Мультиплицирующий множитель FM3 (r,n)

 

Для решения обратной задачи оценки срочных  аннуитетов постнумерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитетных поступлений, можно воспользоваться формулами (4.23) и (4.24):

(4.23)

(4.24)

где

(4.25)

Экономический смысл FM4(r,n). FM4(r,n) называется дисконтирующим множителем для аннуитета. Экономический смысл заключается в следующем: он показывает, чему равна с точки зрения текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой г. Значения этого множителя также табулированы. (Таблица 4.4).

Таблица 4.4. Дисконтирующий множитель FM4 (r,n)