Основы финансовой математики

Глава 4. Основы финансовой математики

4.1.Процентные  ставки и методы  их начисления

4.1.1. Простейшие виды  финансовых сделок

Финансовые  вычисления, базирующиеся на понятии  временной стоимости денег, - один из краеугольных элементов финансового  менеджмента и используются в  различных его разделах. Наиболее интенсивно они применяются:

для оценки инвестиционных проектов,

в операциях на рынке ценных бумаг,

в ссудо-заемных операциях,

в оценке бизнеса и др.

Логика  построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее.

Простейшим  видом финансовой сделки является однократное  предоставление в долг некоторой  суммы PV с условием, что через  некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко:

либо  при помощи получаемого прироста

либо  путем расчета некоторого относительного показателя.

Абсолютные  показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным  коэффициентом - ставкой (r). Этот показатель рассчитывают отношением приращения исходный суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV (получим процентную ставку), либо FV (получим учетную ставку).

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины: FV, PV и ставка r. Две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма  и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом  наращения.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка (коэффициент дисконтирования), называется процессом дисконтирования.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к  будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему.

Необходимо  отметить, что в качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Глава 4. Основы финансовой математики

4.1.Процентные  ставки и методы  их начисления

4.1.2. Экономический смысл  финансовой операции  наращения

Экономический смысл финансовой операции наращения  состоит в определении величины той суммы, которой будет или  желает располагать инвестор по окончании  этой операции. Поскольку, как следует  из определения процентной ставки r,

и

(4.1)

то  видно, что время генерирует деньги или, что равнозначно, деньги имеют  временную ценность.

Эффективность подобной сделки может быть охарактеризована одной из двух величин:

темп  прироста:

(4.1а)

темп  снижения:

(4.1б)

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще название: «процент», «рост», «ставка процента», «норма доходности», а второй – «дисконт», «ставка  дисконтирования», «коэффициент дисконтирования». Обе ставки взаимосвязаны:

(4.2)

(4.3)

Экономический смысл дисконтирования заключается  во временном упорядочении денежных потоков различных периодов. Коэффициент  дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина РУ показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FY.

У ссудо-заемных операций, составляющих основу коммерческих вычислений, давняя история. Именно в этих операциях проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег.

Предоставляя  свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного  промежутка времени. Поскольку стандартным  временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант установления процентной ставки в виде годовой  ставки, когда подразумевается однократное  начисление процентов по истечении  года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного  начисления: схема простых и схема  сложных процентов. 

Пример. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через год должна получить 66 тыс руб. (номинальная стоимость векселя). В момент приобретения цена векселя составила 30 тыс руб. Определите доходность этой сделки, то есть размер процентной ставки.

Решение. По условию задачи: первоначальная сумма капитала, предоставляемого в  кредит, составляет 30 тыс. руб, номинальная – 66 тыс. руб. Доход владельца векселя составит 66 – 30 = 36 тыс. руб.

Отсюда:

Пример. Предприятие получило кредит на один год в размере 5 млн руб с условием возврата 10 млн руб. Чему в этом случае равна процентная ставка и коэффициент дисконтирования?

Решение. Из (4.1а) и (4.1б) имеем процентная ставка равна 100%, а дисконт равен 50%.

4.1.Процентные  ставки и методы  их начисления

4.1.3. Схема простых  процентов

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый  капитал равен Р, требуемая доходность - г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно растет на величину Р • г. Таким образом, размер инвестированного капитала через n лет (Rn) будет равен:

(4.4)

Пример. Вкладчик положил в банк, выплачивающий  в год 5%Ю сумму 1500 руб. какая сумма будет на счету у вкладчика через полгода, через три года, через пять лет и три месяца?

Решение. По формуле (4.4):

При расчете в качестве количества лет  использовалось значение 0.5 – для  полугода и 5.25 – для пяти лет и  трех месяцев.

Глава 4. Основы финансовой математики

4.1.Процентные  ставки и методы  их начисления

4.1.4. Схема сложных  процентов

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной  годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и  невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация  процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала к  концу n-го года будет равен

(4.5)

Пример. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8% сложных процентов. Клиент положил  в этот банк 20000 рублей. Какая сумма  будет на счету а) через пять лет; б) через шесть лет и три  месяца?

Решение. По формуле (4.5) находим ответы на поставленные вопросы:

Глава 4. Основы финансовой математики

4.1.Процентные  ставки и методы  их начисления

4.1.5. Использование схем  начисления процентов

Можно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

• более выгодна схема простых  процентов, если срок ссуды менее  одного года (проценты начисляются  однократно в конце периода);

• более выгодна схема сложных  процентов, если срок ссуды превышает  один год (проценты начисляются ежегодно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода  один год и однократном начислении процентов.

Схему простых процентов используют в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года.

В этом случае в качестве показателя n берут величину, характеризующую удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год).

Длина временных интервалов в расчетах может округляться: месяц - 30 дней; квартал - 90; полугодие - 180; год - 360 (или 365) дней.

Другой  весьма распространенной операцией  краткосрочного характера с использованием формулы простых процентов является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются формулами

или

(4.6)

где d - годовая дисконтная ставка в долях единицы;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т - количество дней в году;

f - относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что операция имеет смысл, когда число в скобках не отрицательно).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более  логично, поскольку в этой ситуации капитал, генерирующий доходы, постоянно  возрастает. Применяя простой процент, доходы по мере их начисления целесообразно  снимать для потребления или  использования в других инвестиционных проектах либо в текущей деятельности. 

Пример. Тратта (переводной вексель) выдана на 10000 рублей с уплатой 15 октября того же года. Владелец векселя учел его  в банке 15 августа по учетной ставке 10%. Сколько он получил? Сколько он получит, если срок уплаты по векселю 15 октября следующего года?

Решение. По условию FV= 10000, d=0.1, t= 60/360 (так как количество дней между 15 августа и 15 октября равно 60, а количество дней в году при банковском учете принимается равным 360). Поэтому, в первом случае владелец векселя получил:

Во  втором случае (учитывая, что число  дней между 15 августа и 15 октября  следующего года равно 360+60=420) владелец векселя получил:

Формула сложных процентов - одна из базовых  формул в финансовых вычислениях, поэтому  для удобства пользования значения множителя FM1(r,n), называемого мультиплицирующим множителем и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений г и n. В таблице 4.1 Приведены некоторые затабулированные значения мультиплицирующего множителя.

Тогда формулу алгоритма наращения  по схеме сложных процентов можно  переписать так:

(4.7)

FM1(r,n) -мультиплицирующий множитель.

Таблица 4.1. Факторный множитель FM1(r,n)