Основы финансовой математики

 

Экономический смысл множителя FM1(r,n) состоит в следующем:

он  показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке г.

Подчеркнем, что при пользовании финансовыми  таблицами необходимо следить за соответствием длины периода  и процентной ставки. Так, если за базисный период начисления процентов взят квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка. 

Пример. 250 тыс. руб. инвестированы на 4 года под 6% годовых. Нужно вычислить сложные проценты, начисленные к концу срока.

Решение. По формуле (4.7) имеем P=250 , FM1(r,n)=1.262, Fn=250x1.262=315.61924 (тыс.руб.)

Соответственно, сложные проценты – это та прибыль, которую получает инвестор. Она равна:

315.61924 – 250 = 65.61924 (тыс.руб.) 

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговаривается  величина годового процента и частота  начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по формуле

(4.8)

где r – объявленная годовая ставка;

m – количество начислений в году;

k – количество лет.

Пример. Найти наращенную сумму и сложные  проценты, если 140 тысяч рублей инвестированы  на два года по ставке 12% годовых  при начислении процентов:

по  годам;

по  полугодиям;

по  кварталам;

по  месяцам.

Решение. результаты вычислений по формуле (4.8) сведены в таблицу.

Из  решения видно. что при фиксированной годовой ставке с ростом количества начислений процентов в год абсолютный годовой доход растет. 

Достаточно  обычны финансовые контракты, заключаемые  на период, отличающийся от целого числа  лет. В этом случае проценты могут  начисляться одним из двух методов:

• по схеме сложных процентов:

(4.9)

• по смешанной схеме (используется схема  сложных процентов для целого числа лет и схема простых  процентов для дробной части  года):

(4.10)

где w- целое число лет;

f - дробная часть года.

Поскольку f<1, то (1+f*r)>(1+r)^f,наращенная сумма больше при использовании смешанной схемы. Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

схема сложных процентов:

(4.11)

смешанная схема:

(4.12)

где k - количество лет;

m - количество начислений в году;

г - годовая ставка;

f - дробная часть подпериода.

Различными  видами финансовых контрактом могут  предусматриваться различные схемы  начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается  номинальная процентная ставка, обычно годовая.

Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный  анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным  для любой схемы начисления. Таким  показателем является эффективная  годовая процентная ставка r_e, обеспечивающая переход от Р к F_n при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов и рассчитываемая по формуле:

(4.13)

Из  формулы (4.11) следует, что эффективная  ставка зависит от количества внутригодовых  начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка  cлужит критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений. 

Пример. Найти годовую эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной  ставке 16% годовых при поквартальном  начислении процентов.

Решение. Из формулы (4.13) имеем r=0.16 (16%), m = 4. r_e =

Годовая эффективная ставка приближенно  равна 17%.

Как уже отмечалось, наращенная сумма  увеличивается с ростом числа  начислений в год при фиксированной  годовй процентной ставке. Но коэффициент пересчета, то есть наращенная сумма на единицу инвестированного капитала, не превышает 2.72 (числа е – основания натурального логарифма.).

Поэтому, самая выгодная для инвестора  ситуация – это непрерывное начисление процентов.

При непрерывном начислении процентов  наращенная сумма задается экспоненциальной функцией:

(4.14)

где Р – основная (инвестированная сумма);

j – годовая ставка при непрерывном начислении процентов;

t – срок в годах. 

Пример. Найти наращенное значение, если 100 тыс. руб. инвестированы на 5 лет по номинальной ставке 25% годовых для:

а) начисления один раз в году;

б) начисления два раза в году;

в) непрерывные начисления процентов  по годовой ставке 25%.

Решение:

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для финансового  менеджера. Дело в том, что решение  о привлечении средств, например банковской ссуды на тех или иных условиях, принимают чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует  относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно  или умышленно внимание на природе  ставки обычно не акцентируют, хотя в  подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая  может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Глава 4. Основы финансовой математики

4.2. Денежные потоки: виды, оценка

Оценивая  целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является это вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложения в государственные  ценные бумаги, или нет. Используя  несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы при минимальном, «безопасном» уровне доходности.

Основная  идея этих методов заключается в  оценке будущих поступлений Fn, (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) сточки зрения текущего момента. При этом, сделав финансовые вложения инвестор обычно руководствуется тремя посылками:

а) происходит перманентное (постоянное) обесценение денег (инфляция);

б) темп изменений цен на сырье, материалы  и основные средства, используемые компанией может существенно отличаться от темпа инфляции;

в) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в  размере не ниже определенного минимума.

Базируясь на этих посылках инвестор должен оценить, какими будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело, исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Базовая расчетная формула для такого анализа вытекает из формулы (4.5) и  принимает вид:

(4.15)

где Fn- доход, планируемый к получению в n-м году;

P –  текущая (или приведенная) стоимость,  т.е. оценка величины Fn с точки зрения текущего момента;

г - коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается  в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет (Fn) с точки зрения текущего момента меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы).

Это означает также, чnо для инвестора сумма Р в данный момент и сумма Fn, через n лет одинаковы по своей ценности.

Используя эту формулу, можно приводить  в сопоставимый вид оценку доходов  от инвестиций, ожидаемых к поступлению  в течение ряда лет. Легко видеть, что в этом случае коэффициент  дисконтирования численно равен  процентной ставке, устанавливаемой  инвестором, т.е. тому относительному размеру  дохода, который инвестор хочет или  может получить на инвестируемый  им капитал.

Множитель

называется  дисконтирующим множителем, его значения также табулированы. (Таблица 4.2)

Таблица 4.2. Дисконтирующий множительFM 2 (r,к)