Шпаргалка по "Эконометрике"

Двусторонняя критическая  область характеризуется двумя  неравенствами вида:

L>lкр1 и L<lкр2,

где L – это наблюдаемое  значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки;

lкр1 – это положительное  значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения  данного критерия;

lкр2 — это отрицательное  значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения  данного критерия;

lкр1> lкр2.

Предположим, что вероятность  совершения ошибки первого рода или  уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, сумма вероятностей того, что значение статистического критерия L будет больше значения lкр1 или меньше значения lкр2, равна заданному уровню значимости, т.е. P(L>lкр1)+(L<lкр2)=a.

Выбор критической области  осуществляется исходя из вида конкурирующей  гипотезы Н1. При этом применяются  следующие правила:

1) правосторонняя критическая  область выбирается в том случае, если Н1:>;

2) левосторонняя критическая  область выбирается в том случае, если Н1:‹;

3) двусторонняя критическая  область выбирается в том случае, если Н1:≠.

Предположим, что заданы следующие  параметры:

1) статистический критерий L;

2) критическая область  W, где H0 отклоняется;

3) область принятия гипотезы

 

где H0 не отклоняется;

4) вероятность совершить  ошибку первого рода a;

5) вероятность совершить  ошибку второго рода β.

Тогда справедливо утверждение  о том, что выражение

 

является вероятностью того, что статистический критерий L попадёт  в критическую область, если верна  гипотеза H.

При построении критической  области учитываются два требования:

1) вероятность того, что  статистический критерий L попадёт  в критическую область, если  верна Н0, равна а:

 

данное равенство задаёт вероятность совершения ошибки первого  рода;

2) вероятность того, что  статистический критерий L попадёт  в критическую область (область  отклонения гипотезы Н0 в пользу  гипотезы Н1), если верна гипотеза  Н1:

 

данное равенство задаёт вероятность принятия правильной гипотезы.

Мощностью статистического  критерия называется вероятность попадания  данного критерия в критическую  область, при условии, что справедлива  конкурирующая гипотеза Н1, т. е.выражение 1-β является мощностью критерия.

Если уровень значимости уже выбран, то критическую область  следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования обеспечивает минимальную  ошибку второго рода, состоящую в  том, что будет принята неправильная гипотеза.

22. Проверка гипотезы о  значимости коэффициентов модели  парной регрессии

Проверкой статистической гипотезы о значимости отдельных параметров модели называется проверка предположения  о том, что данные параметры значимо  отличаются от нуля.

Необходимость проверки гипотез  о значимости параметров модели вызвана  тем, что в дальнейшем построенную  модель будут использовать для дальнейших экономических расчётов.

Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена  линейная модель парной регрессии. Задача состоит в проверке значимости оценок неизвестных коэффициентов модели, полученных методом наименьших квадратов.

Основная гипотеза состоит  в предположении о незначимости коэффициентов регрессии, т. е.

Н0:β0=0, или Н0:β1=0.

Обратная или конкурирующая  гипотеза состоит в предположении  о значимости коэффициентов регрессии, т.е.

Н1:β0≠0, или Н1:β1≠0.

Данные гипотезы проверяются  с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением t-критерия, которое определяется по таблице  распределения Стьюдента и называется критическим.

Критическое значение t-критерия зависит от уровня значимости и числа  степеней свободы.

Уровнем значимостиа называется величина, которая рассчитывается по формуле:

а=1-γ,

где γ – это доверительная  вероятность попадания оцениваемого параметра в доверительный интервал. Значение доверительной вероятности  должно быть близким к единице, например, 0.95, 0.99. Следовательно, уровень значимости а можно определить как вероятность  того, что оцениваемый параметр не попадёт в доверительный интервал.

Числом степеней свободы  называется показатель, который рассчитывается как разность между объёмом выборочной совокупности n и числом оцениваемых  параметров по данной выборке h. Для  линейной модели парной регрессии число  степеней свободы рассчитывается как (n-2), потому что по данным выборочной совокупности оцениваются только два  параметра – β0 и β1.

Таким образом, критическое  значение t-критерия Стьюдента определяется как tкрит(а;n-h).

При проверке основной гипотезы вида Н0:β1=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

 

где – оценка параметра  модели регрессии β1;

ω(β1) – величина стандартной  ошибки параметра модели регрессии  β1.

Показатель стандартной  ошибки параметра модели регрессии  β1 для линейной модели парной регрессии  рассчитывается по формуле:

 

Числитель стандартной ошибки может быть рассчитан через парный коэффициент детерминации следующим  образом:

 

где G2(y) – общая дисперсия  зависимой переменной;

r2yx – парный коэффициент  детерминации между зависимой  и независимой переменными.

При проверке основной гипотезы β0=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

 

где

 

– оценка параметра модели регрессии β0;

ω(β0) – величина стандартной  ошибки параметра модели регрессии  β0.

Показатель стандартной  ошибки параметра β0 модели регрессии  для линейной модели парной регрессии  рассчитывается по формуле:

 

При проверке основных гипотез  возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|›tкрит, то с вероятностью (1-а) или γ основная гипотеза о  незначимости параметров модели регрессии  отвергается.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно  критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|≤tкрит, то с вероятностью а или (1-γ) основная гипотеза о незначимости параметров модели регрессии принимается.

23. Проверка гипотезы о  значимости парного коэффициента  корреляции

Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена  линейная модель парной регрессии. Задача состоит в проверке значимости парного  коэффициента корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х.

Основная гипотеза состоит  в предположении о незначимости парного коэффициента корреляции, т. е.

Н0:rxy=0.

Обратная или конкурирующая  гипотеза состоит в предположении  о значимости парного коэффициента корреляции, т. е.

Н1:rxy≠0.

Данные гипотезы проверяются  с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим  значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

При проверке значимости парного  коэффициента корреляции критическое  значение t-критерия определяется как tкрит(a;n-h), где а – уровень значимости, (n-h) – число степеней свободы, которое  определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида Н0:rxy=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

 

где ryx – выборочный парный коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х, который рассчитывается по формуле:

 

ω(ryx) – величина стандартной  ошибки парного выборочного коэффициента корреляции.

Показатель стандартной  ошибки парного выборочного коэффициента корреляции для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

 

Если данное выражение  подставить в формулу для расчёта  наблюдаемого значения t-критерия для  проверки гипотезы вида Н0:rxy=0, то получим:

 

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т. е.

tнабл|>tкрит, то с вероятностью (1-а) или γ основная гипотеза  о незначимости парного коэффициента  корреляции отвергается.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно  критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т.е. |tнабл|≤tкрит, то с вероятностью а или (1-γ) основная гипотеза о незначимости парного коэффициента корреляции принимается. В этом случае корреляционная зависимость  между исследуемыми переменными  отсутствует, и продолжение регрессионного анализа считается нецелесообразным.

Применение t-статистики Стьюдента  для проверки гипотезы вида Н0:rxy=0 основано на выполнении двух условий:

1) если объём выборочной  совокупности достаточно велик  (n≥30);

2) коэффициент корреляции  по модулю значительно меньше  единицы:

0,45≤|ryx|≤0.75.

В том случае, если модуль парного выборочного коэффициента корреляции близок к единице, то гипотеза вида Н0:rxy=0 также может быть проверена  с помощью z-статистики. Данный метод  оценки значимости парного коэффициента корреляции был предложен Р. Фишером.

Между величиной z и парным выборочным коэффициентом корреляции существует отношение вида:

 

В связи с тем, что величина z является нормально распределённой величиной, то проверка основной гипотезы о незначимости парного коэффициента корреляции сводится к провреке основной гипотезы о незначимости величины z:

Н0:z=0.

Обратная или конкурирующая  гипотеза состоит в предположении  о значимости величины z, т. е.

Н1:z≠0.

Данные гипотезы проверяются  с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим  значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение критерия tкрит определяют по таблице нормального  распределения (z-распределения) с доверительной  вероятностью γ или (1-a).

При проверке основной гипотезы вида Н0:z=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

 

где β(z) – это величина стандартной ошибки величины z.

Показатель стандартной  ошибки величины z для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

 

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|>tкрит, то с вероятностью (1-а) или γ основная гипотеза о  незначимости парного коэффициента корреляции отвергается.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно  критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т.е. |tнабл|≤tкрит, то с вероятностью а или (1-γ) основная гипотеза о незначимости парного коэффициента корреляции принимается. В этом случае корреляционная зависимость  между исследуемыми переменными  отсутствует, и продолжение регрессионного анализа считается нецелесообразным.

24. Проверка гипотезы о  значимости модели парной регрессии.  Теорема о разложении сумм  квадратов

Проверка гипотезы о значимости линейной модели парной регрессии состоит  в проверке гипотез о значимости коэффициентов регрессии β0 и  β1 или значимости парного коэффициента детерминации r2yx.

Если проверка значимости модели парной регрессии в целом  осуществляется через проверку гипотез  о значимости коэффициентов регрессии, то выдвигаются основные гипотезы вида Н0:β0=0, или Н0:β1=0, утверждающие, что  коэффициенты регрессии являются незначимыми, и, следовательно, модель парной регрессии  в целом также является незначимой.

Обратные или конкурирующие  гипотезы вида Н1:β0≠0, или Н1:β1≠0  утверждают, что коэффициенты регрессии  являются значимыми, и, следовательно, модель парной регрессии в целом  также является значимой.

Если проверка значимости модели парной регрессии в целом  осуществляется через проверку гипотезы о значимости парного коэффициента детерминации, то выдвигается основная гипотеза вида H0:r2yx=0, утверждающая, что  парный коэффициент детерминации является незначимым, и, следовательно, модель парной регрессии в целом также является незначимой.

Обратная или конкурирующая  гипотеза вида H0:r2yx≠0, утверждает, что  парный коэффициент детерминации является значимым, и, следовательно, модель регрессии  в целом также является значимой.

Проверка выдвинутых гипотез  осуществляется с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим  значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение F-критерия определяется по таблице распределения  Фишера-Снедекора в зависимости  от: уровня значимости а и числа  степеней свободы k1=h-1 и k2=n-h, где n –  это объём выборочной совокупности, а h – число оцениваемых по данной выборке параметров.