Шпаргалка по "Эконометрике"

Помимо классического  метода наименьших квадратов для  определения неизвестных параметров линейной модели множественной регрессии  β0…βm используется метод оценки данных параметров через β-коэффициенты (коэффициенты модели регрессии в стандартных  масштабах).

 

Построение модели множественной  регрессии в стандартизированном  или нормированном масштабе означает, что все переменные, включенные в  модель регрессии, стандартизируются  с помощью специальных формул.

Посредством процесса стандартизации точкой отсчёта для каждой нормированной  переменной устанавливается её среднее  значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения  стандартизированной переменной принимается  её среднеквадратическое отклонение σ.

Факторная переменная х переводится  в стандартизированный масштаб  по формуле:

 

где xij – значение переменной xjв i-том наблюдении;

G(xj) – среднеквадратическое  отклонение факторной переменной xi;

 

Результативная переменная у переводится в стандартизированный  масштаб по формуле:

 

где G(y) – среднеквадратическое отклонение результативной переменной у.

Если между исследуемыми переменными в исходном масштабе является линейной, то процесс стандартизации не нарушает этой связи, поэтому стандартизированные  переменные будут связаны между  собой линейно:

 

Неизвестные коэффициенты данной функции можно определить с помощью  классического метода наименьших квадратов  для линейной модели множественной  регрессии. В этом случае минимизируется функционал F вида:

 

В результате минимизации  данного функционала получим  систему нормальных уравнений, переменными  в которой будут являться парные коэффициенты корреляции между факторными и результативной переменной. Такой  подход основывается на следующем равенстве:

 

Система нормальных уравнений  для стандартизированной модели множественной регрессии имеет  вид:

 

В связи с тем, что полученная система нормальных уравнений является квадратной (количество уравнений равняется  количеству неизвестных переменных), то оценки коэффициентов

 

можно рассчитать с помощью  метода Крамера, метода Гаусса или метода обратных матриц.

Рассчитанные из системы  нормальных уравнений β-коэффициенты в стандартизированном масштабе необходимо перевести в масштаб  исходных данных по формулам:

 

Рассмотрим метод Гаусса решения квадратных систем линейных уравнений. Суть данного метода заключается  в том, что исходная квадратная система  из n линейных уравнений с n неизвестными переменными преобразовывают к  треугольному виду. Для этого в  одном и уавнений системы оставляют  все неизвестные переменные. В  другом уравнении сокращают одну из неизвестных переменных для того, чтобы число неизвестных стало (n-1). В следующем уравнении сокращают  две неизвестных переменных, чтобы  число переменных стало (n-2). В результате данных преобразований исходная система  уравнений примет треугольный вид, первое уравнение которой содержит все неизвестные, а последнее  – только одну. В последнем уравнении  системы остаётся (n-(n-1)) неизвестных  переменных, т. е. одна неизвестная переменная, которая называется базисной. Дальнейшее решение сводится к выражению  свободных (n-1) неизвестных переменных через базисную переменную и получению  общего решения квадратной системы  линейных уравнений.

29. Соизмеримые показатели  тесноты связи

К соизмеримым показателям  тесноты связи относятся:

1) коэффициенты частной  эластичности;

2) стандартизированные частные  коэффициенты регрессии;

3) частный коэффициент  детерминации.

Если факторные переменные имеют несопоставимые единицы измерения, то связь между ними измеряется с  помощью соизмеримых показателей  тесноты связи. С помощью соизмеримых  показателей тесноты связи характеризуется  степень зависимости между факторной  и результативной переменными в  модели множественной регрессии.

Коэффициент частной эластичности рассчитывается по формуле:

 

где

 

– среднее значение факторной  переменной xi по выборочной совокупности,

 

– среднее значение результативной переменной у по выборочной совокупности;

 

– первая производная результативной переменной у по факторной переменной х.

Частный коэффициент эластичности измеряется в процентах и характеризует  объём изменения результативной переменной у при изменении на 1 % от среднего уровня факторной переменной xiпри условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Для линейной модели регрессии  частный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

 

где βi– коэффициент модели множественной регрессии.

Для того чтобы рассчитать стандартизированные частные коэффициенты регрессии, необходимо построить модель множественной регрессии в стандартном (нормированном) масштабе. Это означает, что все переменные, включённые в  модель регрессии, стандартизируются  с помощью специальных формул. Посредством процесса стандартизации точкой отсчёта для каждой нормированной  переменной устанавливается её среднее  значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения  стандартизированной переменной принимается  её среднеквадратическое отклонение β.

Факторная переменная х переводится  в стандартизированный масштаб  по формуле:

 

где xij – значение переменной xj в i-том наблюдении;

G(xj)  – среднеквадратическое  отклонение факторной переменной xi;

 

Результативная переменная у переводится в стандартизированный  масштаб по формуле:

 

где G(y) – среднеквадратическое отклонение результативной переменной у.

Стандартизированные частные  коэффициенты регрессии характеризуют, на какую долю своего среднеквадратического  отклонения G(y) изменится результативная переменная у при изменении факторной  переменной х на величину своего среднеквадратического  отклонения G(x), при условии постоянства  всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированный частный  коэффициент регрессии характеризует  степень непосредственной или прямой зависимости между результативной и факторной переменными. Но в  связи с тем, что между факторными переменными, включёнными в модель множественной регрессии, существует зависимость, факторная переменная оказывает не только прямое, но и  косвенное влияние на результативную переменную.

Частный коэффициент детерминации используется для характеристики степени  косвенного влияния факторной переменной х на результативную переменную у:

 

где βi– стандартизированный  частный коэффициент регрессии;

r(xixj) – коэффициент частной  корреляции между факторными  переменными xi и xj.

Частный коэффициент детерминации характеризует, на сколько процентов  вариация результативной переменной вызвана  вариацией i-ой факторной переменной, включённой в модель множественной  регрессии, при условии постоянства  всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Стандартизированные частные  коэффициенты регрессии и частные  коэффициенты эластичности могут давать различные результаты. Это несовпадение может быть объяснено, например, слишком  большой величиной среднеквадратического  отклонения одной из факторных переменных или эффектом неоднозначного воздействия  одной из факторных переменных на результативную переменную.

30. Частные коэффициенты  корреляции для линейной модели  регрессии с двумя факторными  переменными

Частные коэффициенты корреляции используются для оценки зависимости  между результативной переменной и  одной из факторных переменных при  условии постоянства всех остальных  факторных переменных, включённых в  модель множественной регрессии. Таким  образом, частный коэффициент корреляции позволяет элиминировать влияние на результат всех факторных модельных переменных кроме одной.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции на основе линейной модели регрессии с двумя факторными переменными.

Общий вид модели двухфакторной  регрессии:

yi=β0+β1xi+β2zi+εi,

где yi – результативная переменная,

 

xi – первая факторная  переменная;

zi – второй факторная  переменная;

β0, β1, β2– неизвестные  коэффициенты модели регрессии;

εi – случайная ошибка модели регрессии.

Для определения степени  зависимости между результативной переменной yiи факторной переменной xi при постоянном значении факторной  переменой zi и результативной переменной yi и факторной переменной zi при  постоянном значении факторной переменной xi используются частные коэффициенты корреляции первого порядка, потому что они позволяют элиминировать  влияние только одного признака. Порядок  частного коэффициента корреляции характеризуется  количеством признаков, влияние  которых устраняется. Для модели парной регрессии рассчитывается коэффициент  корреляции нулевого порядка.

Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xiпри постоянном значении факторной переменой ziрассчитывается по формуле:

 

Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной ziпри постоянном значении факторной переменной xi рассчитывается по формуле:

 

Кроме влияния на результативную переменную, частный коэффициент  корреляции позволяет рассчитать степень  зависимости между факторными переменными.

Коэффициент частной корреляции между факторной переменной xi и  факторной переменной ziпри постоянном значении результативной переменной yi рассчитывается по формуле:

 

Рассмотренные коэффициенты частной корреляции изменяются в  пределах от минус единицы до единицы.

Частные коэффициенты корреляции также можно рассчитать через  коэффициент множественной детерминации.

Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xi при  постоянном значении факторной переменой zi:

 

где

 

– множественный коэффициент  детерминации двухфакторной модели регрессии.

Данный коэффициент корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы.

При проверке значимости частных  коэффициентов корреляции выдвигается  основная гипотеза о незначимости данных коэффициентов, например:

Н0:ryx/z=0.

Тогда конкурирующей или  альтернативной гипотезой будет  гипотеза вида:

Н1:ryx/z≠0.

Проверка выдвинутых гипотез  осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента.  Критическое значение t-критерия tкрит(а,n-h) определяется по таблице  распределения Стьюдента, где а  – уровень значимости, (n-h) – число  степеней свободы. Для модели двухфакторной  регрессии число степеней свободы  равно (n-3).

Наблюдаемое значение t-критерия рассчитывается по формуле (на примере  частного коэффициента корреляции между  результативной переменной yi и факторной  переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi):

 

Если |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза не отклоняется, и частный  коэффициент корреляции является незначимым. Следовательно, между переменными  х и у при постоянном значении переменой z корреляционная связь отсутствует.

Если |tнабл|>tкрит,  то основная гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей  гипотезы с вероятностью совершения ошибки первого рода а. В этом случае можно считать, что между переменными  х и у при постоянном значении переменной z существует корреляционная зависимость.

Частные коэффициенты корреляции позволяют сделать вывод об обоснованности включения переменной в модель регрессии. Если значение частного коэффициента корреляции мало или коэффициент  незначим, то связь между данной факторной переменной и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе  отсутствует, поэтому фактор можно  исключить из модели без ущерба для  её качества.

31. Частные коэффициенты  корреляции для модели множественной  регрессии с тремя и более  факторными переменными

Частные коэффициенты корреляции для модели множественной регрессии  с тремя и более факторными переменными позволяют определить степень зависимости между результативной переменной и одной из факторных переменных при постоянстве остальных факторных переменных, включённых в модель.

Для модели множественной  регрессии с тремя факторными переменными рассчитываются частные  коэффициенты, как первого, так и  второго порядка.

Общий вид модели трёхфакторной  регрессии:

yi=β0+β1x1i+β2x2i+β3x3i+εi,

где yi – результативная переменная,

 

x1i – первая факторная  переменная;

x2i – второй факторная  переменная;

x3i – третья факторная  переменная;

β0,β1,β2,β3 – неизвестные  коэффициенты модели регрессии;

εi  – случайная ошибка модели регрессии.

 

Частные коэффициенты корреляции первого порядка для модели трёхфакторной  регрессии строятся точно так  же, как и для модели двухфакторной  регрессии.

Частные коэффициенты корреляции второго порядка для модели трёхфакторной  регрессии строятся следующим образом.

Частный коэффициент корреляции между результативной переменной у  и факторной переменной х1 при  постоянстве факторных переменных х2 и х3:

 

Частный коэффициент корреляции между результативной переменной у  и факторной переменной х2 при  постоянстве факторных переменных х1 и х3:

 

Частный коэффициент корреляции между результативной переменной у  и факторной переменной х3 при  постоянстве факторных переменных х1 и х1:

 

Частные коэффициенты корреляции второго порядка построены с  использованием частных коэффициентов  корреляции первого порядка.

Следовательно, частный коэффициент  корреляции порядка t может быть построен через частный коэффициент корреляции (t-1) порядка. Формулы, построенные через  указанную взаимосвязь, называются рекуррентными.

При анализе модели множественной  регрессии с n факторными переменными, частный коэффициент корреляции (n-1) порядка рассчитывается по общей  формуле:

 

Частные коэффициенты корреляции, вычисленные по рекуррентным формулам, изменяются в пределах от минус единицы  до плюс единицы.

32. Построение частных  коэффициентов корреляции для  модели множественной регрессии  через показатель остаточной  дисперсии и коэффициент множественной  детерминации

Помимо рекуррентных формул, которые используются для построения частных коэффициентов корреляции для моделей множественной регрессии, возможно также построение этих показателей  с помощью показателя остаточной дисперсии.