Шпаргалка по "Эконометрике"

В случае линейной модели парной регрессии показатель остаточной дисперсии  определяется по формуле:

 

где

 

– это оценка модели парной регрессии с независимой переменной х1.

 

Если в линейную модель парной регрессии включить новую  независимую переменную х2, то можно  вычислить показатель остаточной дисперсии  для линейной модели регрессии с  двумя независимыми переменными:

 

где

 

– это оценка модели регрессии  с двумя независимыми переменными  х1 и х2.

 

Вне зависимости от качества построенной линейной модели двухфакторной  регрессии будет справедливо  неравенство вида:

 

Тогда величину

 

можно охарактеризовать как  долю сокращения остаточной дисперсии  за счёт включения в модель регрессии  новой независимой переменной х2. Чем больше величина данного показателя, тем сильнее дополнительная переменная х2 влияет на результативную переменную у и на качество модели регрессии в целом.

Для линейной модели двухфакторной  регрессии частный коэффициент  корреляции между независимой переменной х2 и результативной переменной у  при постоянном значении независимой  переменной х1 через показатель остаточной дисперсии определяется по формуле:

 

Для модели множественной  регрессии с n независимыми переменными  частный коэффициент корреляции (n-1) порядка независимой переменной х1 и результативной переменной у  при постоянном значении остальных  независимых переменных, включённых в модель, определяется по формуле:

 

Показатель остаточной дисперсии  результативной переменной и коэффициент  множественной детерминации связаны  отношением:

 

Если в формуле частного коэффициента корреляции выразить остаточную дисперсию результативной переменной с помощью коэффициента множественной  детерминации, то для модели множественной  регрессии с n независимыми переменными  частный коэффициент корреляции в общем виде можно определить по формуле:

 

Частные коэффициенты корреляции, вычисленные через показатель остаточной дисперсии или коэффициент множественной  детерминации, изменяются в пределах от нуля до единицы.

Частный коэффициент корреляции для модели множественной регрессии  в общем случае характеризует  степень зависимости между результативной переменной и одной из факторных  переменных при постоянном значении остальных независимых переменных, включённых в модель регрессии.

33. Коэффициент множественной  корреляции. Коэффициент множественной  детерминации

Если частные коэффициенты корреляции модели множественной регрессии  оказались значимыми, т. е. между  результативной переменной и факторными модельными переменными действительно  существует корреляционная взаимосвязь, то в этом случае построение множественного коэффициента корреляции считается  целесообразным.

С помощью множественного коэффициента корреляции характеризуется  совокупное влияние всех факторных  переменных на результативную переменную в модели множественной регрессии.

Коэффициент множественной  корреляции для линейной модели множественной  регрессии с n факторными переменными  рассчитывается через стандартизированные  частные коэффициенты регрессии  и парные коэффициенты корреляции по формуле:

 

где r (yxi) – парный (не частный) коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной xi

 

Коэффициент множественной  корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы. С его помощью  нельзя охарактеризовать направление  связи между результативной и  факторными переменными. Чем ближе  значение множественного коэффициента корреляции к единице, тем сильнее  взаимосвязь между результативной и независимыми переменными, и наоборот, чем ближе значение множественного коэффициента корреляции к нулю, тем  слабее взаимосвязь между результативной и независимыми переменными.

Коэффициентом множественной  детерминации R2 называется квадрат  множественного коэффициента корреляции:

 

Коэффициент множественной  детерминации характеризует, на сколько  процентов построенная модель регрессии  объясняет вариацию значений результативной переменной относительно своего среднего уровня, т. е. показывает долю общей  дисперсии результативной переменной, объяснённой вариацией факторных  переменных, включённых в модель регрессии.

Коэффициент множественной  детерминации также называется количественной характеристикой объяснённой построенной  моделью регрессии дисперсии  результативной переменной. Чем больше значение коэффициента множественной  детерминации, тем лучше построенная  модель регрессии характеризует  взаимосвязь между переменными.

Для коэффициента множественной  детерминации всегда выполняется неравенство  вида:

 

Следовательно, включение  в линейную модель регрессии дополнительной факторной переменной xn не снижает  значения коэффициента множественной  детерминации.

Коэффициент множественной  детерминации может быть определён  не только как квадрат множественного коэффициента корреляции, но и с  помощью теоремы о разложении сумм квадратов по формуле:

 

где ESS (Error Sum Square) – сумма  квадратов остатков модели множественной  регрессии с n независимыми переменными:

 

TSS (TotalSumSquare) – общая сумма  квадратов модели множественной  регрессии с n независимыми переменными:

 

Однако классический коэффициент  множественной детерминации не всегда способен определить влияние на качество модели регрессии дополнительной факторной  переменной. Поэтому наряду с обычным коэффициентом рассчитывают также и скорректированный (adjusted) коэффициент множественной детерминации, в котором учитывается количество факторных переменных, включённых в модель регрессии:

 

где n – количество наблюдений в выборочной совокупности;

h – число параметров, включённых  в модель регрессии.

При большом объёме выборочной совокупности значения обычного и скорректированного коэффициентов множественной детерминации отличаться практически не будут.

34. Проверка гипотезы о  значимости частного и множественного  коэффициентов корреляции

Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена  линейная модель множественной регрессии. Задача состоит в проверке значимости частных и множественного коэффициентов  корреляции.

Рассмотрим процесс проверки значимости частных коэффициентов  корреляции.

Основная гипотеза состоит  в предположении о незначимости частных коэффициентов корреляции, т. е.

Н0:r(yxi/x1…xn-1)=0.

Обратная или конкурирующая  гипотеза состоит в предположении  о значимости частных коэффициентов  корреляции, т.е.

Н1:r(yxi/x1…xn-1)≠0.

Данные гипотезы проверяются  с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением t-критерия, которое определяется по таблице  распределения Стьюдента и называется критическим.

При проверке значимости частного коэффициента корреляции критическое  значение t-критерия определяется как tкрит( ;n–l–1), где а – уровень  значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых  по выборке параметров, (n–l–1) –  число степеней свободы, которое  определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида Н0:r(yxi/x1…xn-1)=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

 

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|›tкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости частного коэффициента корреляции отвергается, и между переменными xi и y существует корреляционная связь при постоянных значениях остальных переменных, включённых в модель регрессии.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно  критического значения t-критерия (определённого  по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза о незначимости частного коэффициента корреляции принимается, и между  переменными xi и y отсутствует корреляционная связь при постоянных значениях  остальных переменных, включённых в  модель регрессии. Следовательно, включение  независимой переменной xi в данную модель регрессии является необоснованным.

Рассмотрим процесс проверки значимости коэффициента множественной  корреляции.

Основная гипотеза состоит  в предположении о незначимости коэффициента множественной корреляции, т. е.

 

Обратная или конкурирующая  гипотеза состоит в предположении  о значимости коэффициента множественной  корреляции, т. е.

Н1:R(y,xi)≠0.

Данные гипотезы проверяются  с помощью F-критерия Фишера-Снедекора  через коэффициент множественной  детерминации.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице  распределения Фишера-Снедекора, и  называется критическим.

При проверке значимости коэффициента множественной корреляции критическое  значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2), где а – уровень  значимости, k1=l–1 и k2=n–l – число  степеней свободы, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых  по выборке параметров.

При проверке основной гипотезы вида Н0:R(y,xi)=0 наблюдаемое значение F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:

 

где R2(y,xi) – коэффициент  множественный детерминации.

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице  распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то с вероятностью а  основная гипотеза о незначимости коэффициента множественной корреляции отвергается, и он признаётся значимым. В этой ситуации включение в модель регрессии  всех исследуемых переменных считается  обоснованным.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого  по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл≤Fкрит, то основная гипотеза о незначимости коэффициента множественной корреляции принимается, и он признаётся незначимым. В этой ситуации построение модели регрессии на основе исследуемых переменных считается необоснованным.

35. Проверка гипотезы о  значимости коэффициентов регрессии  и модели множественной регрессии  в целом

Проверка значимости коэффициентов  регрессии означает проверку основной гипотезы об их значимом отличии от нуля.

Основная гипотеза состоит  в предположении о незначимости коэффициентов модели множественной  регрессии, т. е.

 

Обратная или конкурирующая  гипотеза состоит в предположении  о значимости коэффициентов модели множественной регрессии, т. е.

 

Данные гипотезы проверяются  с помощью t-критерия Стьюдента, который  вычисляется посредством частного F-критерия Фишера-Снедекора.

При проверке основной гипотезы о значимости коэффициентов модели множественной регрессии применяется  зависимость, которая существует между t-критерием Стьюдента и частным F-критерием Фишера-Снедекора:

 

При проверке значимости коэффициентов  модели множественной регрессии  критическое значение t-критерия определяется как tкрит(а;n-l-1), где а – уровень  значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых  по выборке параметров, (n-l-1) – число  степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида

 

наблюдаемое значение частного F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:

 

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия больше критического значения t-критерия (определённого по таблице  распределения Стьюдента), т. е.

tнабл≥tкрит, то основная  гипотеза о незначимости коэффициента  βk модели множественной регрессии  отвергается, и он является  значимым.

Если наблюдаемое значение t-критерия меньше критического значения t-критерия (определённого по таблице  распределения Стьюдента), т.е. tнабл<tкрит, то основная гипотеза о незначимости коэффициента βk модели множественной  регрессии принимается.

Проверка основной гипотезы о значимости модели множественной  регрессии в целом состоит  в проверке гипотезы о значимости коэффициента множественной корреляции или значимости параметров модели регрессии.

Если проверка значимости модели множественной регрессии  в целом осуществляется через  проверку гипотезы о значимости коэффициента множественно корреляции, то выдвигается  основная гипотеза вида Н0:R(y,xi)=0, утверждающая, что коэффициент множественной  корреляции является незначимым, и, следовательно, модель множественной регрессии  в целом также является незначимой.

Обратная или конкурирующая  гипотеза вида Н1:R(y,xi)≠0 утверждает, что  коэффициент множественной корреляции является значимым, и, следовательно, модель множественной регрессии в целом  также является значимой.

Данные гипотезы проверяются  с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице  распределения Фишера-Снедекора, и  называется критическим.

При проверке значимости коэффициента множественной корреляции критическое  значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2), где а – уровень  значимости, k1=l–1 и k2=n–l – число  степеней свободы, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых  по выборке параметров.