Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка

 

                              

                                (48)

Теперь по формуле  найдем расчетное значение величины t_p

 

                                

                                (49)

Чтобы найти  табличное  значение величины t_T, зададимся уровнем значимости  а=0,05, относительно которого определим доверительную вероятность γ=1−0,05=0,95, а также число степеней свободы k=12–1=11. Теперь, зная γ и k, определим t_T  по Стьюденту (см. приложение 2); t_Т = =2,201. Сопоставим расчетное t_p= - 0,0083 и табличное t_T=2,201 значения:

t_p < t_T или   -0,0083  < 2,201.

 

Сопоставление показывает, расчетное значение меньше табличного.

Это позволяет нам  сделать следующий вывод: с вероятность 0,95  (95%) нулевая гипотеза принимается и мы может утверждать:  математическое ожидание е_t =0.

Условие 4. Независимость  членов ряда друг от друга.

Это условие означает отсутствие автокорреляции во временном ряде е_t. Наличие в ряде автокорреляции проверяется с помощью критерия Дарбина–Уотсона.

Оценим наличие автокорреляции в ряде данных е_t, приведенных в графе 2 таблицы 20. Вначале в графу 3 внесем квадраты величины е_t, а в графе 4 – квадраты разницы между текущим и предыдущим значениями е_t. Так, для t=1  мы не можем найти требуемое значение квадрата разницы, так как  у нас нет значения е₀. А для t=2 требуемое значение квадрата разницы равно:

(е₂–е₁)²=(0,077 – (–0,126))²=0,041 и т.д.

 

Таблица 20 - Квадраты разницы между текущим и предыдущим значениями е_t.

t(дни)		е2t	(et –et-1)2
1	2	3	4
1	-0,126	0,016	-
2	0,077	0,006	0,041
3	-0,720	0,518	0,635
4	0,383	0,147	1,217
5	0,286	0,082	0,009
6	0,189	0,036	0,009
7	0,392	0,154	0,041
8	-0,705	0,497	1,203
9	0,098	0,10	0,645
10	0,401	0,161	0,092
11	0,604	0,365	0,041
12	-0,893	0,797	2,241
-	-0,014	2,789	6,175

Теперь по итоговым значениям  граф 3 и 4 определим расчетное значение критерия Дарбина–Уотсона d_p по формуле :

                                      

                                      (50)          

 

Расчетное значение критерия Дарбина–Уотсона оказалось больше двух, (следовательно, коэффициент попал  в область отрицательной автокорреляции), поэтому пересчитаем его для области с положительной автокорреляцией:

                                         

                                      (51)

Найдем табличное значение критерия Дарбина–Уотсона  d_T при n=12, и числе факторов в используемой трендовой модели V=1(мы использовали линейный тренд в котором всего один фактор – время).

 При  n=12 и V=1 в приложении 4 находим табличное значение критерия Дарбина–Уотсона d_T. Однако у нас n=12, а в таблице наименьшее значение n=15, поэтому возьмем табличное значение критерия Дарбина–Уотсона для n = 15. Его нижнее значение равно d₁=1,08, а верхнее d₂=1,36.

Сопоставим расчетное (1,786) и табличное (1,08; 1,36) значения критерия Дарбина–Уотсона. При этом могут  возникнуть три ситуации:

1)  d_p<d₁, что будет говорить о наличии в ряде автокорреляции;

2)  d_p>d₂, что будет говорить об отсутствии в ряде автокорреляции;

3)  d₁≤d_p≤d₂, что будет говорить о необходимости дополнительной

проверки наличия  в ряде автокорреляции.

Расчетное значение больше верхнего табличного, т.е. возникает вторая ситуация, когда d_p>d₂ или 1,786>1,36. С учетом этого мы может сделать вывод: с вероятностью 0,95(95%) в ряде е_t отсутствует автокорреляция.

Поскольку величина е_t отвечает четырем условиям:

1. Условие 1. Колебание величины е_t должно носить случайный характер. Это условие означает, что колебание (изменение) величины е_t не содержит элементов тенденции.
2. Условие 2. Распределение величины е_t соответствует нормальному распределению. 
3. Условие 3. Математическое ожидание величины е_t равно нулю.
4. Условие 4. Независимость членов ряда друг от друга. Это условие означает отсутствие автокорреляции во временном ряде е_t .

Можно утверждать, что выбранная  трендовая модель: адекватна тенденции, имеющей место во временном ряде.

 

 Рассчитаем точечную и интервальную прогнозную оценку с периодом упреждения, равным τ =1.

2.12.1 Точечный прогноз.

Определим  точечный прогноз  на 13-й день. Из условия задачи вытекает: период основания прогноза n=12, а период упреждения прогноза τ=1. Одновременно определим уровень значимости, а=0,05 (стандартное значение).

По формуле  рассчитаем точечный прогноз:

 

                 

                           (52)

2.12.2 Интервальный прогноз.

Для расчета интервального  прогноза предварительно определим табличное значение критерия Стьюдента с уровнем значимости а и числом степеней свободы k=n−2. Так как мы выбрали а=0,05, доверительная вероятность γ=1−а=1−0,05=0,95, а число степеней свободы k=n−2=12−2=10. По приложению 2 при γ=0,95 и k=10 табличное значение критерия Стьюдента t_T=2,228. Находим стандартную ошибку тренда, взяв значение Σе_t² как итог графы 3 таблицы 19:

 

                              =                          (53)

Определим интервальный прогноз по формуле:

 

                         

                                    (54)

 

 

 

 

Отсюда верхняя граница  прогнозного интервала 15,09+1,381=16,471, а  нижняя   15,09-1,381=13,709. Таким образом, прибыль от продаж на 13-й день с  вероятностью γ=0,95 будет расположена в интервале от 13,709 … 16,471 руб.

Для расчета  интервального прогноза с использованием формулы

                                             

                                                (55)

определим К. Согласно исходным данным примера число уровней ряда n=12, а период упреждения прогноза τ=1, поэтому К= 2,1274 (приложение 6). Подставим найденное К в формулу (53) и получим интервальный прогноз

=15,09±0,528∙2,1274=15,09±1,123.

Отсюда верхняя граница  прогнозного интервала 15,09+1,123=16,213 руб., а нижняя   15,09-1,123=13,967 руб. Таким образом, прогноз прибыли от продаж на 13-й день с вероятностью γ=0,9 будет расположен в интервале 13,967 … 16,213 руб.  Обратите внимание: верхняя и нижняя границы прогнозного интервала отличаются от  полученных ранее. Причиной этого является то, что при расчете по формуле (53) был использован уровень значимости а=0,05, откуда доверительная вероятность γ=0,95, а при расчете по формуле (54) была  использована величина К, которая в приложении 6 рассчитана относительно уровня значимости а=0,1, откуда доверительная вероятность равна 0,9.

 

 

 

 

Задание 3. Прогнозирование на основе сезонного  цикла временного

ряда.

3.1 Построим таблицы 21 и 22 с исходными данными и с заданным вариантом прогнозирования (№23).

              

Таблица 21 – Объем   реализации продукции

фирмы АО "Лен"

Месяцы	Г о д ы
	2005	2006	2007
Январь	7851	8359	9603
Февраль	7105	7791	9003
Март	8147	8992	10153
Апрель	9386	9627	11440
Май	9731	10429	12234
Июнь	11091	11785	12941
Июль	12036	12685	13138
Август	12360	12514	13100
Сентябрь	11457	11883	12265
Октябрь	9423	10475	10805
Ноябрь	7875	8838	8941
Декабрь	8081	8742	9123

 

    Таблица 22 – Варианты прогнозирования

Варианты	Параметры вариантов прогнозирования
	Прогнозируемый месяц	Период  упреждения прогноза -t (год)	Модель уровня  ряда
23	Ноябрь	1	Мультипликативная.

3.2 На рисунке 8 построим график по исходным данным.

Водной системе координат  построим два  графика: сначала -  один по исходным данным, затем – другой график линейной трендовой модели и проведем его визуальный анализ.

Визуальный анализ графика  временного ряда показывает, что  исходный ряд содержит сезонную компоненту, так как характер колебания ряда стабильно повторяется из года в год и имеет приблизительно одинаковый характер изменения.  Можно предположить, что временной ряд   содержит тенденцию в виде тренда. Опишем его линейным трендом .

 

 

Рисунок 8. Объем реализации продукции фирмы АО «Лен»

3.3 Анализ методом коэффициента Кендэла.

Результаты занесем в таблицу 22.

Таблица 23 - Оценка наличия тенденции среднего уровня ряда в исходных данных

2005			2006			2007
t(дни)	yt (т.р.)	Pt	t(дни)	yt (т.р.)	Pt	t(дни)	yt (т.р.)	Pt
1	7851	-	1	8359	5	1	9603	12
2	7105	0	2	7791	1	2	9003	10
3	8147	2	3	8992	7	3	10153	16
4	9386	3	4	9627	10	4	11440	20
5	9731	4	5	10429	12	5	12234	25
6	11091	5	6	11785	15	6	12941	29
7	12036	6	7	12685	18	7	13138	30
8	12360	7	8	12514	18	8	13100	30
9	11457	6	9	11883	16	9	12265	26
10	9423	4	10	10475	13	10	10805	19
11	7875	2	11	8838	7	11	8941	9
12	8081	3	12	8742	7	12	9123	12
Итого								409