Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка

Таблица 11 - Параметры  линейного тренда, вычисленные графическим  методом  и методом МНК 

t(дни)	yt (т.р.)
1	10,2	10,344	10,326
2	10,8	10,738	10,723
3	10,4	11,132	11,120
4	11,9	11,526	11,517
5	12,2	11,920	11,914
6	12,5	12,314	12,311
7	13,1	12,708	12,708
8	12,4	13,102	13,105
9	13,6	13,496	13,502
10	14,3	13,890	13,899
11	14,9	14,284	14,296
12	13,8	14,678	14,693

 

2.8 Определение параметров нелинейной трендовой модели.

2.8.1 Предварительным условием выбора параболы для описания исходных данных является относительное постоянство разностей второго порядка по абсолютной величине. Проверим, можно ли описать изменения данных с помощью параболы второго порядка. Для этого необходимо рассчитать абсолютный цепной прирост уровней временного ряда  ∆_t или разности первого порядка , разности второго порядка . Расчет будет производиться по сглаженным данным, так как их колебание меньше, чем колебание исходных данных.

Так как по сглаженным данным первый и двенадцатый уровни отсутствуют, а для второго уровня отсутствует предыдущий, рассчитаем абсолютный прирост уровней ряда с третьего по одиннадцатый.

Абсолютный цепной прирост  третьего и последующих уровней  ряда рассчитаем по формуле:

                                            

                                               ₍₃₂₎

 

Рассчитанные значения приростов  занесем в графу 4 таблицы 12.

Условием выбора параболы для описания сглаженных данных является относительное постоянство разностей второго порядка по абсолютной величине

Определим их по формуле:

                                                 

                                                 (33)

Расчет начнем с четвертого уровня, так как он является первым, имеющим  предыдущий ряд, а закончим одиннадцатым рядом.

Рассчитанные значения приростов занесем в графу 5 таблицы 12.  

Анализ графы 5 показывает, что разности второго порядка по абсолютной величине относительно постоянны (0,2, 0,3 или 0,4). Это  позволяет предположить, что для описания исходных данных может быть использована и парабола. Но эта трендовая модель используется тогда, когда значения экономического показателя, в среднем, вначале возрастают (убывают), достигают максимального (минимального) значения, а затем – убывают (возрастает). У нас же, на лицо, наличие возрастающей тенденции, скорее свойственной для степенного или показательного тренда. 

  Расчеты внесем в таблицу 12, с расчетами прироста первого (графа 4) и второго порядков (графа 5):

 

Таблица 12 - Прирост первого и второго порядков

 

t(дни)	yt (т.р.)
1	2	3	4	5
1	10,2	-	-	-
2	10,8	10,47	-	-
3	10,4	11,03	0,56	-
4	11,9	11,50	0,47	-0,09
5	12,2	12,20	0,70	0,23
6	12,5	12,60	0,40	-0,3
7	13,1	12,67	0,07	-0,33
8	12,4	13,03	0,36	0,29
9	13,6	13,43	0,40	0,04
10	14,3	14,27	0,84	0,44
11	14,9	14,33	0,06	-0,78
12	13,8	-	-	-

 2.8.2 Степенной тренд используется тогда, когда темпы роста экономического показателя, в среднем, либо постепенно возрастают, либо постепенно убывают. Рассчитаем темпы роста для каждого уровня ряда, начиная со второго, по формуле:

                                                                    

                                                                        (34)

                                                                                                                               

                                                                   

                                                                                      

                                                                                                                                              

   

Рассчитанные данные  занесем в таблицу 13.

Таблица 13 – Цепные темпы роста

t(дни)	yt (т.р.)	,%
1	2	3
1	10,2	-
2	10,8	105,88
3	10,4	96,30
4	11,9	114,42
5	12,2	102,52
6	12,5	102,46
7	13,1	104,80
8	12,4	94,66
9	13,6	109,68
10	14,3	105,15
11	14,9	104,20
12	13,8	92,62

 

Анализ третьей графы таблицы 13 показывает, что по мере роста объема сбыта темп сбыта продукции остается относительно постоянным.

2.8.3 Показательный тренд используется при условии, когда экономический показатель имеет относительно постоянный цепной темп роста, который в среднем равен а₁.

Оценим возможность  описания данных, приведенных в таблице 13 с помощью показательного тренда. Так как цепные темпы роста, приведенные  в третьей графе таблицы 13, относительно постоянны, то исходные данные могут быть описаны с помощью показательного тренда.

2.9 Расчет параметров для показательного (экспоненциального) тренда.

С помощью таблицы 14 рассчитаем необходимые промежуточные данные:

Таблица 14- Промежуточные  данные показательного тренда.

t(дни)	yt (т.р.)	t2	lnyt	tlnyt
1	2	3	4	5
1	10,2	1	2,322388	2,322388
2	10,8	4	2,379546	4,759092
3	10,4	9	2,314806	7,025418
4	11,9	16	2,476538	9,906152
5	12,2	25	2,501436	12,507180
6	12,5	36	2,525729	15,154374
7	13,1	49	2,572612	18,008284
8	12,4	64	2,517696	20,141568
9	13,6	81	2,610070	23,490630
10	14,3	100	2,660259	26,602590
11	14,9	121	2,701361	29,714971
12	13,8	144	2,624669	31,496028
78	-	650	30,23411	201,128675

На основе данных итоговой строки определим параметры линеаризированной  модели показательного тренда lna₀ и lna₁:

                  (35)

                          (36)

Найдем значение a₀, пропотенцировав lna₀. Тогда . Найдем a₁, пропотенцировав величину lna₁. Тогда . В результате расчетов параметров показательный тренд будет иметь следующий конкретный вид: 

                                                

2.10Сравним  линейный и выбранный нелинейный  – показательный тренды.

В таблице 15 рассчитаем значения линейного и показательного трендов для каждого момента времени. Подставим соответствующие значения t в уравнения и .

Таблица 15 - Значения линейного и  показательного трендов 

t(дни)	yt (т.р.)
1	10,2	10,326	10,407
2	10,8	10,723	10,751
3	10,4	11,120	11,106
4	11,9	11,517	11,472
5	12,2	11,914	11,851
6	12,5	12,311	12,242
7	13,1	12,708	12,646
8	12,4	13,105	13,063
9	13,6	13,502	13,494
10	14,3	13,899	13,939
11	14,9	14,296	14,399
12	13,8	14,693	14,875

 

На рисунке 6 построим графики исходного временного ряда, линейную и показательную модели в одной системе координат.