Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка

Рисунок 6. Исходный временной ряд, линейная и показательная модели

 

На основе визуального анализа очевидно совпадение реального тренда временного ряда с выбранным нелинейным трендом.

2.11 Сравнение трендовых моделей с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений:

 Определим с помощью  критерия наименьшей суммы квадратов  отклонений, какой из рассмотренных трендов (линейный или нелинейный) наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд.

Так как выбранные  тренды имеют одинаковое число параметров, то критерий наименьшей суммы квадратов  отклонений будет иметь вид:

                                       

.                                     (37)

 

Для проведения промежуточных расчетов построим таблицу 16.

Таблица 16 - Критерии наименьшей суммы квадратов отклонений

t(дни)	yt (т.р.)
1	2	3	4	5	6
1	10,2	10,326	10,407	0,016	0,043
2	10,8	10,723	10,751	0,006	0,002
3	10,4	11,120	11,106	0,518	0,498
4	11,9	11,517	11,472	0,147	0,183
5	12,2	11,914	11,851	0,082	0,122
6	12,5	12,311	12,242	0,036	0,067
7	13,1	12,708	12,646	0,154	0,206
8	12,4	13,105	13,063	0,497	0,440
9	13,6	13,502	13,494	0,010	0,011
10	14,3	13,899	13,939	0,161	0,130
11	14,9	14,296	14,399	0,365	0,251
12	13,8	14,693	14,875	0,797	1,156
-	-	-	-	2,789	3,109

 

Сравним значения критерия наименьшей суммы квадратов отклонений для линейного и показательного трендов. Для линейного тренда критерий равен 2,789 (итог графы 5), а для показательного тренда 3,109  (итог графы 6). Коэффициент  для линейного тренда меньше, чем для показательного, поэтому линейный тренд лучше аппроксимирует исходные данные. Следовательно, для прогнозирования необходимо взять линейный тренд.

2.12. Оценка адекватности выбранной трендовой модели.

Чтобы оценить  адекватность выбранной трендовой модели теоретическому тренду временного ряда, найдем  разность е_t между исходными данными у_t и нашей трендовой моделью :

                                                                                               ₍₃₈₎

Занесем результаты в  таблицу 17.

Таблица 17 – Разность между исходными данными трендовой моделью

t(дни)	yt (т.р.)
1	2	3	4
1	10,2	10,326	-0,126
2	10,8	10,723	0,077
3	10,4	11,120	-0,720
4	11,9	11,517	0,383
5	12,2	11,914	0,286
6	12,5	12,311	0,189
7	13,1	12,708	0,392
8	12,4	13,105	-0,705
9	13,6	13,502	0,098
10	14,3	13,899	0,401
11	14,9	14,296	0,604
12	13,8	14,693	-0,893
-	-	-	-

Построим график ряда отклонения е_t по данным графы 4 на рисунке7:

Рисунок 7. Ряд отклонения е_t

Визуальный анализ показывает, что колебание величины е_t не содержит элементов тенденции, т.е. носит случайный характер.

Оценим адекватность выбранной модели тренда исходному  ряду на основе анализа данных ряда отклонений е_t. Величина е_t должна отвечать следующим четырем условиям (требованиям):

Чтобы оценить адекватность выбранной модели тренда, величина е_t должна отвечать четырем условиям.

Условие 1. Колебание величины е_t должно носить случайный характер.

Проверим данное условие с помощью критерия поворотных точек.

Величина е_t считается поворотной,  если она соответствует одному из двух условий:

 

                             е_t-1< е_t >е_t+1  или е_t-1> е_t <е_t+1                                      (39)

Для этого на базе данных  графы 4 таблицы 16 определим поворотные точки и в графе 5 таблицы 17 проставим соответствующие им значения.

Рассматриваемые точки обозначим Р_t. Тем точкам, которые будут поворотными, присвоим значение Р_t=1. А тем точкам, которые не будут поворотными, присвоим значение Р_t=0. Затем определим общее число поворотных точек в ряде е_t:

Р=ΣР_t.                                                          (40)

Результаты расчетов занесем в таблицу 18.

                         Таблица 18 – Поворотные точки

t(дни)	yt (т.р.)			Рt
1	2	3	4	5
1	10,2	10,326	-0,126	-
2	10,8	10,723	0,077	1
3	10,4	11,120	-0,720	1
4	11,9	11,517	0,383	1
5	12,2	11,914	0,286	0
6	12,5	12,311	0,189	1
7	13,1	12,708	0,392	1
8	12,4	13,105	-0,705	1
9	13,6	13,502	0,098	0
10	14,3	13,899	0,401	0
11	14,9	14,296	0,604	1
12	13,8	14,693	-0,893	-
-	-	-	-	7

 

Для проверки выполнения условия 1 выдвинем нулевую гипотезу Н₀: колебание величины  е_t носит случайный характер.

Чтобы проверить нулевую гипотезу, вначале определим математическое ожидание числа поворотных точек:

                         

                               (41)

и  его дисперсию

 

                      

                               (42)

Для проверки нулевой  гипотезы используем вероятность, равную 95%, при которой коэффициент доверия  равен 1,96. С помощью формулы проверим нулевую гипотезу:

                           

                       (43)

 

Расчет показывает, общее  число поворотных точек – 7 находится  в требуемом интервале. Это позволяет  сделать следующий вывод: с вероятностью 0,95 (95%)  колебание величины  е_t носит случайный характер и, следовательно,  отвечает данному условию.

Условие 2. Распределение величины е_t соответствует нормальному распределению.

Проверим распределение е_t на соответствие нормальному распределению. Вначале определим среднее квадратическое отклонение по формуле

                                                         ₍₄₄₎

 

Чтобы определить расчетное  значение критерия RS_p из графы 4 таблицы 17найдем максимальное е_max = 0,604 и минимальное е_min = -0,893 значения. Расчетное значение критерия RS_p найдем по формуле:

                      

              (45)

Следующим шагом  проверки условия 2 является нахождение табличного значения RS-критерия – RS_T по приложению 3. В таблице приводятся нижнее и верхнее значения RS-критерия для n=10 и n=20; а у нас n=12. Для нахождения нижнего и верхнего значений RS-критерия для n=12 используем линейную интерполяцию.

Найдем величину RS_12н:

Увеличение RS_nн при изменении n на 2 найдем по формуле:

Значение RS_nн при t=12 найдем по формуле:

Найдем величину RS_nв:

Увеличение RS_nв при изменение n на 2 найдем по формуле:

Значение RS_nв при n=12 найдем по формуле:

Для проверки условия 2 выдвинем  нулевую гипотезу Н₀: величина е_t соответствует нормальному распределению. Если расчетное значение критерия RS_р попадет в определенный интервал

                                        RS_nн< RS_р< RS_nв                                               (46)

2,772< 2,835< 3,978

Это позволяет нам  сделать следующий вывод: с вероятностью 0,95 (95%)  нулевая гипотезе принимается, т.е.  величина е_t соответствует нормальному распределению и, следовательно,  отвечает условию 2.

Условие 3. Математическое ожидание величины е_t равно нулю.

Для проверки данного условия выдвинем нулевую гипотезу Н₀: Ме_t=0, т.е. математическое ожидание е_t =0.

Определим  среднюю  арифметическую величину е_t, использовав итог графы 2 таблицы 18.

                          (47)

 

Затем рассчитаем и внесем в графу 3 таблицы 18 квадрат отклонения фактического значения е_t от ее среднего значения.

Так, для t=1 =(−0,126 – (-0,0012))² =0,016 и т.д.

Результаты  расчетов занесем таблицу 19:

      Таблица  19 - Квадрат отклонения фактического значения е_t от ее среднего значения

t(дни)	еt
1	2	3
1	-0,126	0,016
2	0,077	0,006
3	-0,720	0,517
4	0,383	0,148
5	0,286	0,082
6	0,189	0,036
7	0,392	0,155
8	-0,705	0,495
9	0,098	0,010
10	0,401	0,161
11	0,604	0,365
12	-0,893	0,797
-	-0,014	2,788

 

Далее определим среднее  квадратическое отклонение, использовав  итог графы 3 таблицы 18: