Массу Земли с достаточной точностью измерил в 1797 году Генри Кавендиш. Для этого он использовал крутильные весы со свинцовыми шариками на концах. Приближая к этим шарикам с разных сторон два больших свинцовых шара и зная их массы, по углу закрутки весов Кавендиш измерил, во сколько раз сила притяжение маленького шара к большому отличается от силы притяжения Земли. В итоге масса Земли получилась 6×1021 тонн, что близко к значению, принятому в настоящее время.

Теперь снова вспомним закон всемирного тяготения. Ускорение, сообщаемое тяготение Земли любому телу на ее поверхности, называется ускорением силы тяжести. Оно направлено примерно к центру Земли и по величине приближенно равна:

g = G*M/r2 (5)

где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, r — ее радиус. Если бы Земля не вращалась и имела форму шара со сферически–симметричным распределением масс внутри себя, то выражение (5) было бы точным. Однако на самом деле эти три условия не выполняются.

Направление силы тяжести для эллипсоидальной формы Земли немного отличается от направления на геометрический центр эллипсоида, совпадая с ним на экваторе и полюсах, и достигая максимальной величины отклонения (5’.7) на широтах +–45°. В то же время на экваторе величина силы притяжения из–за эллипсоидальности Земли на f/2 меньше, чем на полюсе, то есть примерно на 1/600 долю.

Кроме того, в ускорение силы тяжести входит центробежное ускорение, возникающее от суточного вращения Земли.Оно направлено перпендикулярно оси вращения, по радиусу r образованного параллелью круга и лежит в его плоскости.Центробежное ускорение равно w2*r, где w = 2*p/Т — угловая скорость вращения с периодом Т, причем для Земли нужно взять продолжительность звездных суток Т = 86146 с. На экваторе центробежное ускорение максимально: w2*r = 3.39 см/с2, что составляет 1/288 долю от гравитационного ускорения силы тяжести, равного на экваторе 983.42 см/с2.На экваторе центробежная сила прямо противоположна силе притяжения и поэтому вычитается из последней, что дает полное ускорение свободного падения g = 980.03 см/с2. На полюсах центробежная сила отсутствует и не дает боковой составляющей.

В промежуточных широтах центробежная сила пропорциональна радиусу параллели r = r*cos(ja), где r — текущее расстояние до центра Земли (радиус–вектор), а ja — геоцентрическая широта. Отличие ja от обычной географической широты j составляет j — ja = 11’.6*sin(2*j). Поэтому центробежное ускорение w2*r = w2*r*cos(ja) можно разложить на вертикальную составляющую w2*r*cos(ja)*cos(j) и горизонтальную w2*r*cos(ja)*sin(j), направленную по меридиану к экватору. Если пренебречь небольшим различием между ja и j, то горизонтальная составляющая центробежного ускорения w2*r*cos(j)*sin(j) будет максимальной на широте +–45°, достигая значения 1.7 см/с2, что в угловой мере соответствует отклонению отвеса на 5.’9 к югу. Вертикальная составляющая центробежного ускорения w2*r*cos(j) (если пренебречь различием между направлением отвесной линии и направлением на центр Земли) на экваторе даст w2*r,на широтах +–45° — 0.5*w2*r и нуль — на полюсах. Таким образом, на экваторе ускорение силы тяжести уменьшено на f за счет центробежной силы и на f/2 за счет уменьшения силы притяжения. В сумме эти два эффекта приводят к тому, что на экваторе ускорение силы тяжести на f/2+f = 1.5*f ~ 1/200 меньше, чем на полюсах.

Точную зависимость ускорения силы тяжести от высоты вывел в 1743 г. французский математик А. Клеро:

g = g0*(1+b*sin2(j)), b = (g0 — gp)/g0 (6)

где g0 — ускорение силы тяжести на экваторе, gp — на полюсе, а коэффициент b = 2.5*q — f (здесь q — отношение центробежного ускорения к ускорению силы тяжести на экваторе w2*r/g0 , f — сжатие Земли). В современных числовых значениях формула Клеро выглядит так:

g = 978.03*(1+0.00529*sin2(j)) (7)

Измерение ускорения силю тяжести в разных местах позволяет определить числовое значение b, а через него —сжатие Земли f, которое оказалось в хорошем согласии с измерениями дуг меридианов. Ускорение силы тяжести можно измерить несколькими способами, из них самый простой — по периоду качания маятника известной длины l:

T = 2*p*(l/g)1/2, откуда g = 4*p2*l/T2 (8)

Измерением и изучением распределения ускорения силы тяжести по поверхности Земли занимается специальный раздел астрономии — гравиметрия. Это распределение позволяет не только получить величину сжатия Земли,но и найти отклонения фигуры геоида от точного эллипсоида и, кроме того, получить важные сведения о внутреннем строении Земли.

Из величины ускорения силы тяжести легко получить массу и среднюю плотность Земли. Например, на широте 45° по формуле Клеро (7) g = 980.62 см/с2. Вертикальная составляющая центробежного ускорения на этой широте составит 0.5*w2*r = 1.7 см/с2. Отсюда ускорение силы притяжения на широте 45° получится 982.32 см/с2. Подставив эту величину и средний радиус Земли r = 6.370×108 см в фомулу Ньютона (5), получим массу Земли М = 5.98×1027 г. Среднюю плотность Земли можно вычислить, если разделить массу М на объем Земли, что даст 5.52 г/см3.