Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Ноября 2012 в 19:41, шпаргалка
Шпаргалки по "Астрономии" для физического факультета
Движение материальной точки под действием силы притяжения (задача двух
тел)
Эта задача решается путем интегрирования дифференциальных уравнений движения,
получаемых из основного уравнения динамики материальной точки (2.14), в котором
сила F есть сила притяжения. Мы не будем интегрировать эти уравнения, так как с
этим учащийся познакомится в курсах теоретической астрономии и небесной механики
Остановимся лишь на результатах решений.
Если неподвижная масса М, сосредоточенная в точке С, стала притягивать к себе в
некоторый момент материальную точку т с силой, обратно пропорциональной квадрату
расстояния, то ускорение точки т будет направлено по прямой тС, а ее дальнейшее
движение будет зависеть от расстояния и от величины и направления скорости v0,
которые она имела в начальный момент (в момент начала действия притяжения массой
М).
Если скорость v0 > 0, но не превосходит некоторого предела vc , то точка т будет
двигаться по эллипсу, в одном из фокусов которого будет находиться точка С (рис.
30). Плоскость эллипса будет проходить через точки С, т и направление скорости
v0 .
Форма и
размеры эллипса будут
малых v0 эллипс будет сильно сжатым, его большая ось будет лишь немного больше,
чем Cm, и точка С будет находиться в фокусе, далеком от m. Если скорость v0
будет близка к скорости vc , но меньше ее, то эксцентриситет эллипса будет мал,
его большая полуось будет лишь немного меньше, чем Cm, точка С приблизится к
центру эллипса, но останется в фокусе, далеком от m.
Если начальная скорость v0 = vc и будет направлена перпендикулярно к линии Cm,
то точка m будет двигаться по кругу радиуса См.
Если v0 > vc , но не превосходит некоторого предела vп = vc sqrt(2), то точка т будет
двигаться по эллипсу, но точка С при этом будет находиться в фокусе, близком к
m, а большая ось эллипса будет тем больше, чем ближе v0 к vп .
Если v0 = vп = vc sqrt(2), то точка т будет двигаться по параболе, обе ветви которой
уходят в бесконечность, приближаясь к направлению, параллельному оси Ст. По мере
того как точка т будет удаляться от тела М, ее скорость будет стремиться к нулю.
Если v0 > vп , то точка т будет двигаться по гиперболе, ветви которой уходят в
бесконечность и, при очень большой начальной скорости, приближаются к
направлению, перпендикулярному к оси Ст. По мере того как точка т будет
удаляться по гиперболе, ее скорость будет стремиться к некоторой постоянной
величине.
Наконец, в предельных случаях, когда v0 = беск;, точка m будет двигаться по прямой
mb, а когда v0 = 0, то по прямой mС.
Скорость v точки т на любом расстоянии r от точки С получается из формулы
V2 =G(M+m)(2/r-1/a) (2.18)
где а - большая полуось эллипса. Эта формула называется интегралом энергии.
Если точка m движется по кругу, т.е. r = а, то из уравнения (2.18) следует
Vc=sqrt((G(M+m))/r) (2.19)
а если точка m движется по параболе, то а = беск; и
Vп=Vсsqrt(2)(2.20)
Скорость vc называется круговой скоростью, а Vп - параболической скоростью.
Скорость эллиптического движения vэ заключена в пределах 0 < vэ < vп , а
гиперболическая скорость vr > vп . Гиперболическая орбита определяется теми же
шестью элементами, что и эллиптическая (см. § 41), только вместо большой полуоси
а = беск; дается перигельное расстояние q. Параболическая орбита определяется пятью
элементами: i, δ, w, t0 и q, так как для параболы а = беск; и е = 1.
Движение искусственных
Запуском 4 октября 1957 г. первого в мире советского искусственного спутника
Земли человечество открыло новую эру в своей истории - эру создания
искусственных небесных тел.
Хотя искусственные небесные тела подчиняются тем же законам, что и естественные,
некоторые особенности их орбит и условия, определяющие характер их движения,
заслуживают отдельного рассмотрения.
Искусственные спутники Земли (ИСЗ) выводятся на орбиту с помощью
многоступенчатых ракет. Последняя ступень ракеты сообщает спутнику определенную
скорость на заданной высоте. Тело, запущенное горизонтально на высоте h от
поверхности Земли, станет ИСЗ, если его скорость в этот момент окажется
достаточной.
Если скорость запуска точно равна круговой скорости на данной высоте h, то тело
будет двигаться по круговой орбите.
Если эта скорость превышает круговую, то тело будет двигаться по эллипсу, причем
перигей этого эллипса окажется в точке выхода на орбиту.
Если же сообщенная скорость несколько меньше круговой, а высота h достаточно
большая, то тело также будет двигаться по эллиптической орбите, но в этом случае
точка выхода на орбиту станет апогеем.
Масса искусственного спутника ничтожно мала в сравнении с массой Земли и ею
можно пренебречь; тогда круговая скорость vc на расстоянии r = R + h от центра
Земли согласно (2.19) и (2.25) будет Vc=sqrt(f m /(R+h))=sqrt(gR2/(R+h))
где т - масса Земли, R - ее радиус, g - ускорение силы тяжести у поверхности
Земли, h - высота точки запуска спутника от поверхности Земли.
У воображаемого спутника, движущегося по окружности у самой поверхности Земли (h
= 0), при R = 6,370 ·108 см и g = 981 см/сек2 скорость должна быть равна
v1к = 7,91 км/сек.
Скорость v1к называется первой космической скоростью относительно Земли. Однако
из-за наличия вокруг Земли атмосферы спутник, движущийся у самой ее поверхности,
реально существовать не может. Поэтому запуск ИСЗ производится на некоторой
высоте h (h > 150 км). Круговая скорость на высоте h меньше первой космической
скорости v1к и определяется из уравнения (2.27) или по формуле Vc=V1k*sqrt(R/(R+h))
.Элементы орбиты ИСЗ зависят от места и времени его запуска, от величины и
направления начальной скорости. Связь между большой полуосью а орбиты спутника и
его начальной скоростью v0 , согласно интегралу энергии (2.18), определяется
формулой V20 =Gm(2/r0-1/a
)где r0 - расстояние точки выхода ИСЗ на орбиту от центра Земли.
Обычно запуск ИСЗ производится горизонтально, точнее, перпендикулярно к
радиальному направлению. Эксцентриситет орбиты е при горизонтальном запуске
равен e=1-q/a
где q - расстояние перигея (ближайшей точки орбиты от центра Земли).
В случае эллиптической орбиты (рис. 35) q = а (1 - е) = R + hП , где hП -
линейная высота перигея над поверхностью Земли. Расстояние апогея (наиболее
удаленной точки орбиты от центра Земли) Q = a (l + e) = R + hA , где hA -
высота апогея над земной поверхностью. Если запуск произведен в перигее (чего
может и не быть), то r0 = q = R + hП .
Зависимость формы орбиты ИСЗ от начальной скорости, с которой он выведен на
орбиту, показана на рис. 36. Если в точке К спутнику сообщена горизонтальная
скорость, равная круговой для этого расстояния от центра Земли, то он будет
двигаться по круговой орбите (I). Если начальная скорость. в точке К меньше
соответствующей круговой, то спутник будет двигаться по эллипсу (II), а при
очень малой скорости по эллипсу (III), сильно вытянутому и пересекающему
поверхность Земли; в этом случае запущенный спутник упадет на поверхность Земли,
не совершив и одного оборота. Если скорость в точке К больше соответствующей
круговой,
но меньше соответствующей
по эллипсу (IV).
Примерное расположение эллиптической орбиты спутника в пространстве показано на
рис. 37. Здесь i - наклонение орбиты спутника к экватору Земли, < - восходящий
узел орбиты, > - нисходящий узел, П - перигей орбиты, А - апогей орбиты, ^ -
проекция точки весеннего равноденствия на земном экваторе, W - прямое
восхождение восходящего узла, w - угловое расстояние перигея от восходящего
узла.
Период обращения ИСЗ определяется по третьему закону Кеплера (2.23). Он равен T=2πa3/2/sqrt(Gm )или, если иметь в виду (2.25), T= 2πa3/2/Rsqrt(g)
Если а выражать в километрах, то при R = 6370 км и g = 981 см/сек2 период
обращения
спутника получится в минутах
из следующей формулы:T=1,659*10-4
Основных причин, изменяющих орбиту ИСЗ, две: действие экваториального утолщения
Земли и
влияние сопротивления
возмущения восходящего узла DW и перигея Dw, которые легко учитываются по
формулам небесной механики. Вторая причина вызывает уменьшение большой полуоси
а, т.е. высоты h, и изменение формы орбиты. Поскольку плотность атмосферы быстро
падает с высотой, основное сопротивление и уменьшение скорости спутник
испытывает вблизи перигея. Вследствие этого высота апогея орбиты спутника с
каждым оборотом заметно уменьшается (высота перигея уменьшается гораздо
медленнее). В результате уменьшается большая полуось и эксцентриситет орбиты;
орбита спутника постепенно округляется. Когда высота апогея становится сравнимой
с высотой перигея, спутник испытывает торможение и теряет свою скорость вдоль
почти всей орбиты, уменьшение высоты апогея и перигея происходит еще быстрее, и
спутник, приближаясь по спирали к поверхности Земли, входит в плотные слои
атмосферы и сгорает. Так как спутник с каждым оборотом снижается, то его
потенциальная энергия уменьшается, часть ее переходит в кинетическую энергию.
Это приращение кинетической энергии с избытком покрывает энергию движения,
которая теряется при торможении. Поэтому скорость спутника не уменьшается, а
наоборот, увеличивается, в то время как орбита уменьшается. Следовательно, по
мере снижения спутника его период обращения вокруг Земли сокращается.
Описанное возмущенное движение спутника дано в первом приближении. В
действительности элементы орбиты спутника испытывают более сложные и
разнообразные возмущения. Сжатие Земли, отличие гравитационного поля от поля
сферически-симметричной притягивающей массы, вызывают не только вековые
возмущения долготы восходящего узла <, и расстояния перигея от узла w. Они
являются также причиной их периодических возмущений, а также эксцентриситета е
(правда,
весьма умеренных) и малых
Наличие атмосферы вызывает не только вековое уменьшение большой полуоси а и
эксцентриситета е. Боковое давление на спутник, создаваемое вращающей
атмосферой, приводит к монотонному изменению i, знак которого определяется
направлением движения спутника на орбите. Атмосфера обусловливает также малые
периодические изменения < и w.
Наконец, возмущающие действия Луны и Солнца вызывают малые периодические