Разработка методики расчёта неопределённости измерения кислотности горчицы пищевой

 
 
 

       2.4 Анализ корреляций 

       Две входные величины могут  быть независимы или связаны  между собой, то есть взаимозависимы или коррелированны. В концепции неопределенности имеется в виду корреляция "логическая", а не математическая. На сколько эффект корреляции должен приниматься в расчет, зависит от соответствующего измерения, от знаний о методе измерения и от проведенной оценки взаимных зависимостей входных величин.

     Может существовать значительная корреляция между двумя входными величинами, если при их определении используют один и тот же измерительный прибор, физический эталон измерения или справочные данные, имеющие значительную стандартную неопределенность. Например, если поправка на температуру, необходимая для оценки одной входной величины X_i получается с помощью некоторого термометра и такая же поправка на температуру, необходимая для оценки входной величины X_J тоже получается с помощью этого же термометра, то две входные величины могут быть значительно коррелированны.

      Мерой взаимной зависимости или корреляции двух случайных величин 
является ковариация. Ковариация, связанная с оценками двух входных величин 
X_i и X_J может устанавливаться равной нулю или рассматриваться как пренебрежимо малая, если

      а) обе входные величины X_i и X_J являются независимыми друг от друга, на  
пример, если они в различных, независимых один от другого экспериментах многократно, но не одновременно наблюдались или если они представляют (описывают) результирующую величину различных, независимых друг от друга проведенных исследований;

      б) одна из входных величин X_i и X_J может рассматриваться как константа;

      в) исходя из наших знаний и предположений просто не имеется никаких оснований для корреляции между входными величинами X_i и X_J.

      Если  две входные величины Х_i и Х_J  являются коррелированными в определенной степени, то есть они являются зависимыми друг от друга тем или иным

способом, то при оценивании суммарной стандартной неопределенности среди вкладов неопределенностей входных величин должна учитываться их ковариация, которая оценивается по следующей формуле:

                         

                             u(x_i ,  х_J ) = u(x_i )u(x_J )r(x_i , x_J )     (i ≠ j),                                 (2.5) 

      где   u(x_i )u(x_J ) – стандартные неопределённости;

              r(x_i , x_J ) – коэффициент корреляции.

      Для расчёта коэффициента корреляции используются согласованные пары измерений (x_ik, x_jk); k = 1, ..., n. 

       

                               r(x_i , x_J ) = .                                         (2.6) 

2.5 Расчёт оценки выходной величины 

     Оценка  выходной величины У, обозначаемая у, является результатом измерения величины, значение которой необходимо установить при проведении измерения. Эту оценку получают из уравнения (2.7), заменяя входные величины X_i их оценками х_i. 

                                              y = f(x₁, x₂, ..., x_N).                                                     (2.7)  

2.6 Расчёт стандартной неопределённости выходной величины 

     Стандартная неопределенность выходной величины У, обозначаемая и(у), представляет собой стандартное отклонение оценки выходной величины или результата измерений и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине У. Стандартная неопределенность выходной величины У получается путем суммирования стандартных неопределенностей входных величин u(х_i) (и их ковариаций в зависимости от обстоятельств), оцененных то типу А или по типу В, используя обычный метод суммирования или объединения стандартных отклонений. Поэтому стандартная неопределенность выходной величины У является суммарной или комбинированной стандартной неопределенностью, обозначаемой u_с(у).

     Применяемый для суммирования стандартных неопределенностей  метод в терминах концепции неопределенности называется Законом распространения неопределенностей, а в просторечии "корень из суммы квадратов".

     В случае некоррелированных входных  величин суммарная стандартная  неопределённость рассчитывается по формуле 

                                               u_c (y) = ,                                                (2.8)

     где - частная производная функции f по аргументу x_i;

            u(x_i) – стандартная неопределённость, оценённая по типу А или В.

     В случае коррелированных входных  величин 

          u_c (y) = ,          (2.9) 

     где определяется по формуле (2.5). 

     Частные производные называются коэффициентом  чувствительности с_i и показывают, как выходная величина изменяется с изменением входных оценок х_i:             .

     С учётом с_i формулы преобразуются в следующие выражения:

     - в случае некоррелированных входных  величин  

                                       u_c (y) = ;                                     (2.10) 
 

     - в случае коррелированных входных величин 

     u_c (y) =  

где определяется по формуле (2.6).

     Величина  u_i (y) (i=1,2,..., N) является вкладом в стандартную неопределенность, связанную с оценкой у выходной величины, который получается из стандартной неопределенности, связанной с оценкой входной величины x_i по следующей формуле: 

                                             u_i(y) = c_iu(x_i).                (2.11) 

     Если  функция модели f является суммой или разностью некоррелированных входных величин X_i. Например, у = (х₁ + х₂ +…), то суммарная стандартная неопределённость u_c (y) определяется выражением 

                                              u_c (y) = .                                            (2.12) 

     Если  функция модели f является произведением или отношением некоррелированных входных величин Х_i, то суммарная стандартная неопределённость u_c (y) определяется из выражения 

                                         ,                                          (2.13) 

     где u(x_i) / x_i – неопределённости параметров, выраженные в виде относительных стандартных отклонений. 

     2.7 Расчёт расширенной неопределённости 

     Расширенную неопределённость U получают путём умножения стандартной неопределённости выходной величины u_c (y) на коэффициент охвата k

                                                       U = k u_c (y).                                                           (2.14)

     В случае указания расширенной неопределенности результат измерений выражается в виде интервала Y = у ± U, который можно также записать в виде   (у - U ≤ Y ≤ у + U). Данная запись означает, что наилучшей оценкой значения, приписываемого измеряемой величине, является у, и что интервал от у - U до    у + U содержит, можно ожидать большую часть распределения, значении, которые можно с достаточным основание приписать величине Y.

     При выборе коэффициента охвата следует  учитывать:

     - требуемый уровень достоверности;

     - информацию о предполагаемом  распределении;

     - информацию о количестве наблюдений, использованных для оценки случайных эффектов.

      В случаях, когда измеряемой величине может приписываться нормальное распределение вероятностей, коэффициент  охвата k определяется как квантиль нормированного нормального распределения  при уровне доверия P (табл. 2.2). 

    Таблица 2.2 - Значения коэффициента охвата k , который создает интервал,  

             имеющий уровень доверия р при допущении нормального распределения 

 

     Часто на практике принимают k = 2 для интервала, имеющего уровень доверия    95 % и k = 3 для интервала, имеющего уровень доверия 99 %.

     Если  все стандартные неопределённости, оценённые по типу А, определялись на основании ряда наблюдений, количество которых менее 10, то распределение вероятностей результата измерения описывается распределением Стьюдента (t-распределением) с эффективной степенью свободы .

     В общем случае k = t_p(v_eff), где t_p(v_eff) – квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы  v_eff и уровнем доверия P. Эффективное число степеней свободы рассчитывается по формуле 

                                            ,                                                      (2.15) 

     где = n – 1 – число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины для оценивания неопределённостей по типу А (n – число результатов измерений); = ∞ для определения неопределённости по типу В.

     Когда вклад источника неопределенности входной величины, имеющей прямоугольное распределение, в суммарную стандартную неопределенность, является доминирующим, то есть значение такого вклада больше, чем суммарная стандартная неопределенность всех остальных входных величин (в три раза и более), то в этом случае для р = 95 % k_p = 1,65, а для р = 99 %   k_p= 1,71. Примером такой ситуации является калибровка показывающих цифровых приборов с низкой разрешающей способностью при условии, что конечная разрешающая способность – единственный доминирующий источник в бюджете неопределенности.

     Когда распределение вероятностей результата измерения описывается распределением Стьюдента (t-распределением) с эффективной степенью свободы v_eff (это происходит в том случае, когда стандартная неопределенность входной вели-

чины  обладает недостаточной надежностью), критерий надежности в общем полностью выполняется, если все стандартные неопределенности, оцененные по типу А, определялись на основании ряда повторных наблюдений, количество которых более 10.

     Во всех остальных случаях, в которых принятие нормального распределения хорошо не обосновано,необходимо добывать информацию о действительном распределении вероятностей значений выходной величины, и из него определять значение коэффициента охвата, который соответствует необходимой вероятности охвата. 

     2.8 Представление конечного результата