Разработка математической модели химико-технологический процессов

     Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором  решений одномерных задач, к которым  принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусе и в сфере.

 

2. Составление математической модели теплообменного процесса в прямоугольных координатах

     Рассмотрим  симметричный процесс нагрева бруска полимера, в этом случае температура  будет функцией координаты х и времени t. 

Рис. 2.1 Процесс нагрева тела 

     Для вывода уравнения теплопроводности введем следующие предпосылки:

• количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу для нагрева на ΔТ, равно

где С – теплоемкость, γ – плотность, кг/м³, V – объем.

• Количество тепла, протекающее через поперечное сечение за момент времени Δt, пропорциональна площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном сечению и промежутку времени  Δt.

где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м²К

     Выделим (рис. 1.1) участок бруска сечением с  абсциссой x+Δx и составим для него уравнение теплового баланса. 
 
 
 
 

Поскольку , то при х=x+Δx значение частной производной

     Взяв  разность величин входящего Q и выходящего Q₁ тепловых потоков, получим количество тепла ΔQ, сообщенное выбранному участку за время Δt.

     С другой стороны, за этот же промежуток времени температура изменилась на величину , поэтому по формуле (2.3) сообщенное количество тепла равно

     Приравнивая выражения (2.4) и (2.3) получим , сократив общие множители, получим следующее уравнение

     Уравнение (2.5) является математической модель процесса нагрева тела в прессе в прямоугольных координатах.

     Для определения температуры в каждой точке необходимо дополнить уравнение 2.5 граничными и начальными условиями. Считаем, что Т_П – температура плит пресса, Т₀ – начальная температура материала, Т текущая температура в заданной точке сечения.

     Тогда получим следующие начальные  условия:

• При t=0 → T=T₀;
• При t=∞ → Т=Т_П;
• x=0 → T=T₀;
• x=S → T=T_П;

     Для  получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующих уравнение (2.5), разобьем материал на ряд слоев одинаковой толщины h.

     Будем считать, что точки на оси Х расположены на небольшом расстоянии и температура для каждой из этих точек – функция времени. Частная производная приближенно может быть выражена через значения функции T_j(t) в точке x_j и в двух соседних точках T_j-1(t) и T_j+1(t) следующей формулой

если  рассматривать n точек (узлов) в материале, то получим систему их n дифференциальных уравнений. Примем n=5, тогда система будет выглядеть следующим образом:

     Моделирование процесса сводиться к решению  системы дифференциальных уравнений.

     Для достижения стабильности решения системы  дифференциальных уравнений, шаг интегрирования по времени dt должен удовлетворять условию , где k – температуропроводность материала.

1. Выбор и описание численного метода решения уравнения  модели

     Для решения дифференциального уравнения  теплопроводности бесконечного цилиндра  воспользуемся методом сеток, суть которого заключается в разбиении координатной плоскости на равные части и вычислении значения искомой функции в узлах образуемой сетки. Используя значения функции в крайних точках можно последовательно вычислить её значение в любой части координатной плоскости.

1. Метод сеток для уравнения  параболического типа

     В качестве уравнения параболического  типа остановимся на уравнении теплопроводности для однородного стержня  :

и(х, t) - температура и t - время . В дальнейшем для простоты будем полагать а = 1 (к такому случаю всегда можно прийти путем введения нового времени (τ=а²·t).

     Итак, рассмотрим уравнение . Пусть, кроме того, в начальный момент времени t = 0 задано распределение температуры u(x,0) =f(x) и законы изменения температуры в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах стержня х = 0 и х = l:

     Требуется найти распределение температуры и=и(х, t) вдоль стержня в любой момент времени t. Решим эту смешанную задачу методом сеток [6], [7]. Для этого рассмотрим пространственно-временную систему координат (рис. 2.2). В полуполосе t≥0, 0≤x≤l построим прямоугольную сетку

Рис. 2.2 

     x = i·h (i = 0, 1, 2, ..., п), t=j·k (j=0, 1, 2, ...),

где - (n - целое) - шаг вдоль оси Ох и k=σ·h² (σ - постоянная)- шаг вдоль оси Ot, вообще говоря, различны. Величина σ будет выбрана ниже. Введя обозначения

x_i = i·h t_j=j·k  u_ij=u(x_i,t_j)

     и заменяя уравнение (2.8) конечно-разностным уравнением, будем иметь (2.9)

     Отсюда

     Из рассмотрения формулы (4) ясно, что, зная значения функции и(х, t) в точках j-го слоя t=j·k, с помощью этой формулы можно вычислить значения и(х, t) в точках следующего (j+1)-гo слоя t = (j+1)k (рис. 2.3). При вычислении пользуются четырьмя соседними узлами - явная схема вида (схема 1).

     Рис. 2.3

     Таким образом, исходя из начального слоя t = 0, значения и(х, t) для которого определяются из начального условия

u(x_i, 0) =f(x_i) (i = 0, 1, 2, ..., п),

и используя  значения функции и(х, t) в крайних узлах (0, t), (l, t,) (j = 0, 1, ...), определяемые граничными условиями

по формуле (2.10) последовательно вычисляем:

(i = 0,1,….n)

т. е. находим  значения искомой функции и (х, t) во всех узлах полуполосы.

     Остается разумно выбрать величину σ. При этом будем исходить из требования, чтобы ошибка при замене дифференциального уравнения (2) конечно-разностным уравнением (3) была наименьшей. 

     Будем считать, что точки (узлы в материале) расположены на небольшом расстоянии и температура для каждой из этих точек – функция времени. Частная производная приближенно может быть выражена через значения функции T_j(t) в точке x_j и в двух соседних точках T_j-1(t) и T_j+1(t) следующей формулой

     Если  задать интервал времени dt, тогда распределение температуры по длине материала значение температуры в материале в следующий момент времени t+dt получается:

Данная  рекуррентная формула вычисляется  для всех m интервалов времени. В результате получаем температурное поле – повременное изменение температуры в материале с расстоянием.

2. Составление программы и решение  её на ЭВМ

     Программа решения уравнения математической модели методом сеток составлена в математическом процессоре MathCad 13 с применением встроенных методов программирования.

1. Определение исходных данных относительно варианта задания

  

  

2. Исходя из критерия сходимости решения уравнения выбираем интервал отсчета времени dt

3. Задаем  начальные и граничные условия  в сетке

4. Используя формулу (2.11) производим рекуррентные вычисления в сетке для каждого момента времени с интервалом dt для всех точек в материале:

Полученные значения распределения температуры по толщине материала:

Более наглядно эту информацию можно изобразить на графике

где 1 – температура после 5-ти секунд, 2 – температура через ¼ всего  времени моделирования, 3 – температура после 5 отсчетов времени от начала моделирования.

Полученное  температурное поле для всего  времени моделирования – 5 сек  и m=2000 интервалов отсчета времени.

5. Анализируем полученное температурное поле. Необходимо найти значение времени, при котором материал полностью прогреется до температуры плиты пресса. Значение времени получим из матрицы заполненной сетки Т, искомым значением будет номер столбца, в котором значение элемента в последней строке больше или равно , где ΔТ - приближенное значение температуры.