Вклад ученых в развитие теории вероятности

Он был опубликован после смерти Якоба Бернулли в его книге «Искусство предположений» (1713). Через 200 лет та часть книги, что относилась к закону больших чисел, была переведена на русский язык Я.В.Успенским и издана в Петербурге под редакцией академика А.А.Маркова.

2.2 Муавр и Лаплас. Теорема Лапласа

Абрахам де Муавр (1667— 1754) — английский математик французского происхождения. Муавр открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что        для любого

Он первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов.Ему и Дж. Стирлингу принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга.

Помимо анализа, Муавр внёс большой вклад в теорию вероятностей. Доказал частный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Для дискретного случая использовал и глубоко исследовал последовательности, названные им рекуррентными (возвратными)[1].

Пьер-Симо́н Лапла́с (1749 —1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовершенствовал почти все отделы этих наук. Был членом Французского Географического общества.

В алгебре Лапласу принадлежит важная теорема о представлении определителей суммой произведений дополнительных миноров. Для разработки созданной им математической теории вероятностей Лаплас ввёл так называемые производящие функции и широко применял преобразование, носящее его имя (преобразование Лапласа)[2]. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

     Теория вероятностей явилась основой для изучения всевозможных статистических закономерностей, в особенности в области естествознания. До него первые шаги в этой области были сделаны Б. Паскалем, П. Ферма, Я. Бернулли и др. Лаплас привёл их выводы в систему, усовершенствовал методы доказательств, сделав их менее громоздкими; доказал теорему, носящую его имя (теорема Лапласа), развил теорию ошибок и способ наименьших квадратов, позволяющие находить наивероятнейшие значения измеренных величин и степень достоверности этих подсчётов. Классический труд Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» издавался трижды при его жизни – в 1812, 1814 и 1820 гг.; в качестве введения к последним изданиям была помещена работа «Опыт философии теории вероятностей» (1814), в которой в популярной форме разъясняются основные положения и значение теории вероятностей.

Теорема Лапласа, простейшая из предельных теорем[3] теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта теорема доказана П. Лапласом в книге "Аналитическая теория вероятностей" (1812). Один частный случай теоремы Лапласа был известен А. Муавру (1730), в связи с чем теорема Лапласа иногда называется теоремой Муавра — Лапласа. Формулировка теоремы Лапласа такова. Пусть при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого события Е равна р (0<р<1) и пусть m обозначает число испытаний, в которых событие Е фактически наступает; тогда вероятность неравенства

при достаточно большом числе испытаний n сколь угодно мало отличается от             .

Если обозначить через Xk случайную величину, принимающую значение, равное 1, при появлении события Е в k-ом испытании и значение, равное 0, при его непоявлении, то m представляется как сумма независимых случайных величин m = X1 + ...+ Xn. Это позволяет рассматривать теорему Лапласа как частный случай более общих предельных теорем теории вероятностей, в частности Ляпунова теоремы. Приближённые значения вероятностей, даваемые теоремой Лапласа, на практике используются как точные при npq порядка нескольких десятков и большем.

2.3 Вклад Гаусса

Гаусс Карл Фридрих (1777— 1855) немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию.

Первое крупное сочинение Г. по теории чисел и высшей алгебре — "Арифметические исследования" (1801) — во многом предопределило дальнейшее развитие этих дисциплин. Г. даёт здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов, первое доказательство квадратичного закона взаимности — одной из центральных теорем теории чисел. Г. даёт также новое подробное изложение арифметической теории квадратичных форм, до того построенной Ж. Лагранжем, в частности тщательную разработку теории композиции классов таких форм. В конце книги излагается теория уравнений деления круга (т. е. уравнений xn — 1 = 0), которая во многом была прообразом Галуа теории. Помимо общих методов решения этих уравнений, Г. установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он, впервые после древнегреческих учёных, сделал значительный шаг вперёд в этом вопросе, а именно: Г. нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой; в частности, решив уравнение х17—1 = 0, он дал построение правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки. Г. придавал этому открытию очень большое значение и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своём надгробном памятнике, что и было исполнено.

Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, открыв как бы заново за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.

В 1801 году вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса. Книга была издана на средства герцога и ему посвящена. В изданном виде книга состояла из семи частей. На восьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна была идти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, в частности — о биквадратичном законе взаимности. Полное доказательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября 1813 года.За пределами «Арифметических исследований» Гаусс, по существу, теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумывал и доделывал то, что было задумано в те годы.
  С наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону от чистой математики. Он много раз будет обращаться к ней, и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 году он опубликовал работу о гипергеометрической функции. Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел.
     Новым увлечением Гаусса стала астрономия. Ученый вычислил траекторию предполагаемой новой большой планеты. Немецкий астроном Ольберс, опираясь на вычисления Гаусса, нашел планету (ее назвали Церерой). Это была подлинная сенсация. 25 марта 1802 году Ольберс открывает еще одну планету — Палладу. Гаусс быстро вычисляет ее орбиту, показав, что и она располагается между Марсом и Юпитером. Действенность вычислительных методов Гаусса стала для астрономов несомненной.
     К Гауссу приходит признание. Одним из признаков этого было избрание его членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

2.4 Работы Пуассона

Пуассон Симеон Дени (1781—1840), французский учёный, член Парижской АН (1812), почётный член Петербургской АН (1826). Труды П. относятся к теоретической и небесной механике, математике и математической физике.

Ему принадлежит много результатов в области чистой математики, особенно в дифференциальном и интегральном исчислении (интеграл Пуассона, формула суммирования Пуассона и др.), в теории дифференциальных и разностных уравнений. Нельзя  не сказать о существенном вкладе Пуассона в теорию вероятностей. Вслед за Лапласом он уделял большое внимание применениям теории вероятностей в уголовном судопроизводстве. Один из его больших трактатов так и называется «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах».  В этой работе решались вполне конкретные и строгие математические задачи. В работах Пуассона очень часто видно стремление связать формальные математические рассуждения не только с естественными науками, но и с общественно важными вопросами. Таков и его трактат «О преимуществе банкира при игре в тридцать и сорок». Вряд ли нужно осуждать Пуассона за стремление «помочь обогащению банкиров». Сейчас теория игр, в том числе и азартных, стала самостоятельным и жизненно необходимым разделом математической науки.

Самым значимым открытием в теории вероятностей является распределение Пуассона. Так называется формула, позволяющая для многих задач вычислять распределение случайных величин. С помощью этой формулы можно, например, подсчитать вероятность того, что в коллективе, состоящем из 1999 человек, ровно k человек родились в тот же день, что и Пуассон (k = 0,1,2,3,4,....). Можно вычислить как распределены опечатки в какой-нибудь книге при условии, что существует постоянная вероятность того, что любая буква будет набрана наборщиком неправильно. Хорошо описывается формулой Пуассона и процесс радиоактивного распада, скажем, радия. Это лишь некоторые примеры задач, в которых мы используем формулу для распределения Пуассона для получения интересующего нас результата, либо сама природа случайных процессов приводит нас к зависимостям, описываемым этой формулой.

Значительны заслуги Пуассона в теоретической механике, в механике сплошных сред, теории теплопроводности, теории упругости. Он подробно исследовал задачу об отклонении снарядов от вертикальной плоскости, проведенной через направление ствола орудия. В астрономии он занимался исследованием устойчивости движения планет Солнечной системы, рассматривал задачи о возмущении планетных орбит и о движении Земли вокруг ее центра тяжести.

3.Третий  этап в развитии теории вероятностей

     Этот этап развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать имена Чебышева, Маркова, Ляпунова. В это время теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания, в первую очередь – в физике. Возникает статистическая физика, которая развивается в тесной связи с теорией вероятностей.

3.1 Чебышев Пафнутий Львович

В теории вероятностей Чебышеву принадлежит заслуга систематического введения в рассмотрение случайных величин и создание нового приёма доказательства предельных теорем теории вероятностей — метода моментов (1845, 1846, 1867, 1887). Им был доказан больших чисел закон в весьма общей форме; при этом его доказательство поражает своей простотой и элементарностью. Исследование условий сходимости функций распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону Чебышев не довёл до полного завершения. Однако посредством некоторого дополнения методов Чебышева это удалось сделать А. А. Маркову. Без строгих выводов Чебышев наметил также возможность уточнений этой предельной теоремы в форме асимптотических разложений функции распределения суммы независимых слагаемых по степеням n¾1/2, где n — число слагаемых. Работы Чебышева по теории вероятностей составляют важный этап в её развитии; кроме того, они явились базой, на которой выросла русская школа теории вероятностей, вначале состоявшая из непосредственных учеников Чебышева.

В теории чисел он, впервые после Евклида, существенно продвинул (1849, 1852) изучение вопроса о распределении простых чисел. Он доказал, что функция p(x)— число простых чисел, не превосходящих х, удовлетворяет неравенствам

,

где а < 1 и b > 1 — вычисленные Чебышева постоянные (а = 0,921, b = 1,06). Исследование расположения простых чисел в ряду всех целых чисел привело его также к исследованию квадратичных форм с положительными определителями. Работа Чебышева, посвященная приближению чисел рациональными числами (1866), сыграла важную роль в развитии теории диофантовых приближений. Он явился создателем новых направлений исследований в теории чисел и новых методов исследований.

Наиболее многочисленны работы Чебышева в области математического анализа. Ему была, в частности, посвящена диссертация на право чтения лекций, в которой Чебышев исследовал интегрируемость некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах. Интегрированию алгебраических функций Чебышев посвятил также ряд других работ. В одной из них (1853) была получена известная теорема об условиях интегрируемости в элементарных функциях дифференциального бинома. Важное направление исследований по математическому анализу составляют его работы по построению общей теории ортогональных многочленов. Поводом к её созданию явилось параболическое интерполирование способом наименьших квадратов. К этому же кругу идей примыкают исследования Чебышева по проблеме моментов и по квадратурным формулам. Имея в виду сокращение вычислений, он предложил (1873) рассматривать квадратурные формулы с равными коэффициентами. Исследования по квадратурным формулам и по теории интерполирования были тесно связаны с задачами, которые ставились перед Чебышевым в артиллерийском отделении военно-учёного комитета.

Чебышев — основоположник т. н. конструктивной теории функций, основной составляющий элемент которой — теория наилучшего приближения функций. Простейшая постановка задачи Чебышева такова (1854): дана непрерывная функция f (x); среди всех многочленов степени n найти такой Р (х),чтобы в данном промежутке [a, b] выражение

было возможно меньшим.

Чебышев оставил яркий след в развитии математики. Труды его ещё при жизни нашли широкое признание не только в России, но и за границей.

3.2 Марков Андрей Андреевич

А. А. Марков (1856— 1922) является первооткрывателем обширного класса стохастических процессов с дискретной и непрерывной временной компонентой, названных его именем. Марковские процессы обладают следующим (марковским) свойством: следующее состояние процесса зависит, вероятностно, только от текущего состояния. В то время, когда эта теория была построена, она считалась весьма абстрактной, однако в настоящее время практические применения данной теории чрезвычайно многочисленны. Теория цепей Маркова[4] выросла в огромную и весьма важную область научных исследований — теорию марковских случайных процессов, которая в свою очередь представляет основу общей теории стохастических процессов. См. также цепи Маркова и неравенство Маркова. А. А. Марков существенно продвинул классические исследования предшественников, касающиеся закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей, а также распространил их и на цепи Маркова.