Вклад ученых в развитие теории вероятности

18

                                                     Введение

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и           операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и    первым попыткам математического анализа азартных игр (Кардано, Паскаль, Ферма и другие в XVI – XVII вв.). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Яков Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П.Л. Чебышёв, А.А. Марков и А.М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

1. Первый этап в истории развития теории вероятностей

     В этот период, начало которого теряется в глубине веков, ставились и примитивно решались задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей (работы Кардано, Пачоли, Тарталья). Происходит возникновение теории вероятностей как науки. Вырабатываются первые специфические понятия, устанавливаются первые теоремы. (Паскаль, Ферма, Гюйгенс). Этот период продолжается до начала XVIII века. В этот период теория вероятностей находят свои первые применения в демографии, страховом деле, оценке ошибок наблюдения.

     На первом этапе изучения случайных явлений внимание ученых было сосредоточено на трех задачах:

1) подсчет числа различных возможных исходов при бросании нескольких костей;

2) раздел ставки между игроками, когда игра прекращена где-то посередине;

3) определение числа бросаний двух или нескольких костей, при которых число случаев, благоприятствующих выпадению на всех костях одинаковых граней хотя бы при одном бросании, было большим, чем число случаев, когда это событие не появится ни разу.

1.1 Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья

Существенное продвижение в решении первичных задач теории вероятностей связано с именами итальянских ученых Кардано (1501–1575) и Тарталья (1499–1557). В рукописи «Книга об игре в кости» были решены многие задачи, связанные с бросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков. Он правильно подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти при бросании двух и трех костей. Кардано указал число возможных случаев появления хотя бы на одной из двух костей определенного числа очков. Кардано предложил рассматривать отношение 1/6 (вероятность выбрасывания заданного числа очков при бросании одной кости), 11/36 (вероятность получить хотя бы на одной из двух костей грань с заданным числом очков) которое мы теперь называем классическим определением вероятности. Кардано не заметил, что стоял на пороге введения важного понятия для всего дальнейшего развития большой главы математики, да и всего количественного естествознания. Рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее чисто арифметически, как доля случаев, чем как характеристика возможности появления случайного события при испытании.

1.2 Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей

Обычно считают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух         великих ученых Б. Паскаля (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665). От этой переписки сохранились лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма. В этой переписке еще отсутствует понятие вероятности, и оба ученых ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов. У этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и теорем о сложении и умножении вероятностей. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей. Толчком к появлению интересов Паскаля к задачам, приведшим к теории вероятностей, послужили встречи и беседы с придворным французского королевского двора шевалье де Мере, который интересовался литературой, философией и одновременно был страстным игроком. В этой страсти были истоки тех задач, которые он предложил Паскалю.

1)       Сколько раз нужно подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз двух шестерок, было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно?

2)       Как нужно разделить ставки между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков?

Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Решение Паскаля подробно излагается в письме:

«Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля».

Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по две выигранных партии и, следовательно, если они намерены произвести раздел, то каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.

Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проигрывает, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию, и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их все равно получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля».

Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. В обоих случаях рассуждения те же, что были приведены выше.

Ферма предложил следующее решение этой задачи:

Пусть до выигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В трех. Тогда для завершения игры достаточно сыграть максимум четыре партии. Возможные исходы представлены в виде таблицы:

В первых одиннадцати исходах выигрывает А, в последних пяти В. Таким образом, ставка между игроками должна быть разделена в отношении 11/5. Т.е. игрок А получит 11/16, а В получит 5/16 ставки. Очевидно, что Ферма, как и Паскаль, делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры. Однако, они и сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы.

Паскаль одновременно с размышлениями над проблемами, составившими содержание его переписки с Ферма, разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился «Трактат об арифметическом треугольнике», внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики. В этом трактате есть параграф, в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки. Правило, предложенное Паскалем, состоит в следующем: пусть игроку до выигрыша всей игры не хватает

Партий, а игроку партий, тогда ставка должна делиться между игроками в следующем отношении:

                                 1.3 Работа Х. Гюйгенса

Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказала работа Х. Гюйгенса (1629–1695). Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в 1655 г., где он познакомился с рядом видных ученых и услышал от них сведения относительно задач о разделе ставки в азартных играх, которые разрабатывались Паскалем и Ферма. Результатом явилась его работа, опубликованная в 1656 г. в виде дополнения к книге его учителя Схоутена «Математические этюды».

Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14 предложений. Эти предложения весьма различны по своему содержанию. Первые три являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал последующие решения.

Предложение 1. Если я имею равные шансы получить или , то это мне стоит .

Предложение 2. Если я имею равные шансы получить или , то это мне стоит столько же, как если бы я имел .

Предложение 3. Если число случаев, в которых получается сумма , равно , а число случаев, в которых получается сумма , равно , то стоимость моего ожидания равна .

Ясно, что этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины, принимающей два или три значения. Понятие вероятности у Гюйгенса еще не выделено, и он все время оперирует числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию. Гюйгенс говорил о стоимости, за которую он готов уступить свое право на получение выигрыша. Термин «ожидание» был введен в употребление Схоутеном при переводе.

Предложения 1 и 2 представляют собой ничто иное, как версию задачи о разделе ставки.

«Предположим, что я играю против другого лица на то, кто первым выиграет 3 партии, и что я уже выиграл 2 партии, а он 1. Я хочу знать, какая часть ставки причитается мне, когда мы хотим прервать игру и справедливо разделить ставки… Нужно заметить сначала, что достаточно принять во внимание число партий недостающих той и другой стороне. Так как верно, что если бы мы играли на то, кто выиграет 20 партий, и если бы я выиграл 19 партий, а мой противник 18, то я имел бы такое же самое преимущество, как и в изложенном случае, где при трех партиях я выиграл две, а он только одну, а это потому, что в обоих случаях мне недостает только одной партии, а ему двух. Затем, чтобы вычислить часть, причитающуюся каждому из нас, нужно обратить внимание на то, что произошло бы, если бы мы продолжали игру. Верно и то, что выиграв партию, я получил бы полностью сумму ставки, которую обозначу . Но если первую партию выиграет мой противник, то наши шансы станут равными, принимаю во внимание, что каждому из нас будет недоставать по одной партии; значит, каждый из нас имел бы право на , что согласно первому предложению, эквивалентно сумме половин, т.е. , так что моему сопернику остается ».

Предложения 4–9 работы Гюйгенса посвящены решению задач, связанных с безобидным делением ставки. Например, в предложении 8 рассмотрено деление ставки между тремя игроками, когда первому игроку недостает до выигрыша всей игры одной партии, а второму и третьему по две.

К концу 17 века завершался длительный период накопления первичных сведений о случайных событиях, точно поставленных задач и подходов к их решению.

2. Второй этап развития теории вероятностей

Данный этап начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 год). Здесь была доказана теорема Бернулли, которая дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона, теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания.

2.1 Якоб Бернулли. Закон больших чисел

     Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами. Но главная заслуга ученого в том, что он сформулировал и доказал частный случай важнейшей теоремы теории вероятностей - закона больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.