Средняя арифметическая взвешенная применяется также при  вычислении общей средней для  всей совокупности из частных (групповых) средних. Например, одним из современных  индикаторов качества жизни населения  являются его вклады на счета государственных и коммерческих банков с целью получения дополнительных доходов. Располагая данными о числе вкладчиков и размере вклада за 1-й квартал 1995 г. по трем филиалам Сбербанка одного района города, определим средний размер вклада (на 30.03.95).

                                                           Таблица 6

           Для определения  среднего остатка вклада по трем филиалам в целом следует общую сумму остатков по вкладам для всех вкладчиков разделить на общее число вкладчиков. Использую таблицу, имеем формулу:

           где Х_i — среднее значение признака по каждой группе (в нашем примере — средний остаток по вкладу отдельного филиала);

     w_i  — веса средней (число вкладчиков по каждому филиалу).

           Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые  определяют ее широкое применение в  экономических расчетах и в практике статистического исследования.

           Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной А = А при А const.

           Свойство 2. (нулевое) Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: для первичного ряда и для сгруппированных данных (d_i — линейное (индивидуальные) отклонения от средней, т.е. ). Это свойство можно сформулировать следующим образом: сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений. Логически оно означает, что все отклонения от средней в ту или другую сторону, обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются.

           Свойство 3 (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: или

  , где , что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения (А), сколь угодно отличающегося от средней у выбранной единицы исследуемой совокупности.

           Для сгруппированных  данных имеем: или .

           Минимальное и нулевое  свойства средней арифметической применяются  для проверки правильности расчета  среднего уровня признака; при изучении закономерностей уровня ряда динамики; для нахождения параметров уравнения  регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

     Рассмотренные свойства выражают сущностные черты  средней арифметической. Существуют также расчетные (вычислительные) свойства средней арифметической, имеющие  прикладное значение:

                 Если значения признака каждой единицы совокупности (все усредняемые варианты) уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то и со средней арифметической произойдут аналогичные изменения;

                 если значения признака каждой единицы совокупности разделить  или умножить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится в А раз;

                 если вес (частоту) каждого значения признака разделить  на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.

           В настоящее время  вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность в связи с использованием ЭВТ при расчете обобщающих статистических показателей.  
 Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:

           Однако в статистической практике чаще применяется средняя  гармоническая взвешенная. Она используется, как правило, при расчете общей  средней из средних групповых.

           На основе имеющихся  данных по трем филиалам Сбербанка  города за 2-й квартал 1995 г. имеем (на 30.06.95) таблицу 

                                                            Таблица 7

           Для определения  среднего остатка вклада по трем филиалам в целом необходимо общую сумму  остатков по вкладам разделить на общее число вкладчиков. Число  вкладчиков по каждому филиалу вычисляется делением общей суммы остатков по вкладам на средний остаток по вкладу. Используя таблицу, расчет среднего остатка по вкладу в целом для всей совокупности банков выполним по формуле:

           Так как наблюдались одни и те же филиалы банков, можно проследить динамику среднего остатка по вкладам (или среднего вклада) во 2 квартале по сравнению с первым. Средний остаток по срочному вкладу с ежемесячной выплатой дохода увеличился на 49,7%((2,74/1,83)*100 - 100 %), что составило 910 тыс. руб. Причины, которые могли повлиять на это изменение, прежде всего количество вкладчиков, увеличение суммы вкладов, а также процентные ставки банка.

           Логическая формула  вытекает из сущности средней, ее социально-экономического содержания. Средняя величина признака — это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы, которую и называют логической формулой средней. 

           После того как записана логическая формула средней, которую  нужно вычислить, необходимо внимательно  рассмотреть имеющиеся для вычисления данные и заменить словесные обозначения  числителя и знаменателя логической формулы средней соответствующими цифровыми данными, после чего остается только провести необходимые вычисления.

           Этот принцип обеспечивает правильный выбор формы средней, а, следовательно, и правильное определение  величины средней. И еще одно важное свойство принципа логической формулы в том, что здесь не возникает проблема выбора весов средней.

           При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, и построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики (причем временные отрезки ряда динамики одинаковы). Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

           Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

           Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

        Список использованной литературы

1. Общая теория статистики, А.А. Спирин, О.Э Башина
2. Общая теория статистики, Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В. Н.
3. Общая теория статистики, Овсиенко В. Е .
4. Теория статистики, П.А. Шмойлова