Сущность и значение средней величины

           Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

           Например, выборочное обследование в одном из районов  Москвы 12 коммерческих пунктов обмена валюты позволило зафиксировать  различные цены за доллар при его  продажи (данные на 10 октября 1995 г. при биржевом курсе доллара — 4493 руб.)  
 

                                                                 Таблица 2

           В силу того, что данными  об объеме продаж в каждом обменном пункте мы не располагаем, расчет средней арифметической с целью определения средней цены за доллар нецелесообразен. Однако можно определить то значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. И такое значение носит название медианы.

           Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его  пополам.

           Расчет медианы  по несгруппированным данным производится следующим образом:

           1. расположим индивидуальные  значения признака в возрастающим  порядке: 

 

           2. определим порядковый  номер медианы по формуле:  

     

           В нашем случае:

     

           Это означает, что  медиана в данном случае расположена между шестым и седьмым значениями признака в ранжированном ряду, т.к. ряд имеет четное число индивидуальных значений. Таким образом, Ме равна средней арифметической из соседних значений: 4550, 4560.

     

           3. Рассмотрим порядок вычисления медианы в случае не четного числа индивидуальных значений.

           Допустим, мы наблюдали  не 12, а 11 пунктов обмена валюты, тогда  ранжированный ряд будет выглядеть  следующим образом (отбрасываем 12 пункт):

           Находим номер медианы:

      ,

     на  шестом месте стоит Х = 4560, который  и являются медианой Ме = 4560 руб.

           Мода — Это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

           В нашем случае модальной  ценной за доллар можно назвать 4560 руб. это значение повторяется 4 раза, чаще, чем все другие. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным  данным. Определить величину моды в первичном ряду в точном соответствии с данными правилом возможно только при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одно из индивидуальных значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности повторяется значительно чаще, чем все другие значения.

           Методология расчета  моды и медианы по сгруппированным  данным рассмотрим по таблице.

                                                                 Таблица 3

                       Группировка банков по величине их прибыли 

                              (данные 1994 года)  

          Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности — для данного  ряда распределения. В интервальном ряду распределения сразу можно  указать только интервал, в котором будут находиться только мода или медиана. Для определения их величины используются следующие формулы:

    

                где Х_Me — нижняя граница медианного интервала;

                 h — величина интервала; 

                 S_(-1) — накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

                 f_Me — частота медианного интервала.

          

     где Х — начало модального интервала;

           f_Mo — частота, соответствующая модальному интервалу;

           f_(-1) — предмодальная частота;

           f₍₊₁₎ — послемодальная частота.

           Используя данные примера, приведенные в таблице 3, рассчитаем медиану. По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале 5,5 — 6,4. Тогда 

     

           Таким образом, 50 % банков имеют прибыль менее 6,175 млрд. руб, а 50 % банков более 6,175 млд. руб.

           Наибольшая частота  соответствует также интервалу 5,5 — 6,4, т.е. мода должна находится в  этом интервале. Приведенная формула  моды может быть использована в вариационных рядах с равными интервалами.

     

           Таким образом, в  данной совокупности наиболее часто  встречается размер прибыли 6,10 млрд. руб. 

           СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ДРУГИЕ      СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ.

           В статистической практике из всех перечисленных видов средних  чаще всего используется средняя арифметическая. Ее расчет осуществляется по-разному для несгруппированных и сгруппированных данных. Рассмотрим пример.

           Требуется вычислить  средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6,4,5,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

        Как видно, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значения, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.

           Под средней арифметической понимается такое  значение признака, которое имело бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.

           Отметим, что в  этом примере одно и тоже значение признака встречается несколько  раз. Объединив данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведем расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.

                                                           Таблица 4 

     

           Легко заметить, что  средняя арифметическая взвешенная, по которой производился расчет в  рассмотренном примере, не имеет  принципиальных отличий от простой  средней арифметической (среднее, рассчитанные по разным формулам совпадают), просто суммирование f раз одного и того же значения признака (варианта) заменено в ней умножением варианта на f.

           Однако естественно, что при этом величина средней  зависит уже не только от величины индивидуальных значений признака (как в простой средней арифметической), но и от соотношения их весов (частот). Чем большие веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней и наоборот.

           При расчете средних  по сгруппированным данным следует  учитывать, что большое значение имеет обоснование и выбор веса при расчете средней арифметической взвешенной. Приведем пример. Имеются данные о доли экспорта в стоимости товарной продукции предприятий, выпускающие минеральные удобрения.

                                                           Таблица 5

           Средняя доля экспорта, исчисленная как средняя арифметическая взвешенная по числу предприятий, является формальной средней 

     

           Логически обоснованным можно считать выбор в качестве весов объемов товарной продукции  в каждой группе предприятий с  определенной долей экспорта, поскольку  доля экспорта получается деление объема экспорта на товарную продукцию предприятия.

     

           Теперь, в числители  мы получили общую стоимость экспортной продукции, а в знаменателе —  общую стоимость всей товарной продукции (6 предприятий). Таким образом, в  результате расчета определенна  средняя доля экспорта предприятий  исследуемой совокупности, равная 0,24 (24 %).