Сущность и значение средней величины

           Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той  же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

           Сочетание общих  средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно  однородные совокупности. Расчленяя  массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп.

           Теория диалектического  материализма учит, что не одно явления  не останется неизменным, что все  в мире меняется, развивается. Меняются и те признаки, которые характеризуются  средними, а, следовательно, и сами средние.

           В общественной жизни  происходит не прерывный процесс  нарождения нового. Носителем нового качества сначала являются единичные  объекты, а затем количество этих объектов увеличивается, и новое  становится массовым, типичным.

           Отклонения от средней и противоположные стороны являются результатом борьбы противоположностей, одна из которых должна поддерживаться, другая, наоборот, преодолеваться.

           Каждая средняя  величина характеризует изучаемою  совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон так, изменения доходов торговых предприятий характеризуют показатели среднего оборота на одно предприятия, среднего размера дохода на одно предприятия, среднего уровня доходности и др.

           Тогда общая тенденция  видна более отчетливо, т.е. здесь  нет уже действия тех разнообразных  условий, которые определяли размер дохода каждого предприятия.  

                 ВИДЫ  СРЕДНИХ МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА.

           В практике статистической обработки материала возникают  различные задачи, имеются особенности  изучаемых явлений, и поэтому  для их решения требуются различные  сведения.

           Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы — групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

           Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Традиционно  более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.

           Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления. В частности, при изучении рождаемости большое значение имеет характеристика этого процесса по общественным группам населения региона.

           Групповые средние используются для изучения закономерности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вывод о наличии и направлении взаимосвязи между группированным (факторным) признаком и результативном показателем.

           Групповые средние  широко применяются также при  определении имеющихся использованных резервов производства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются  и индивидуальные значение признака.

           Существуют две  категории средних величин:

     1.Степенные  средние К ним относятся:

     1. средняя арифметическая 

     2. средняя гармоническая 

     3. средняя геометрическая

           2.Структурные  средние

     1. мода 

     2. медиана

           Выбор того или иного  вида средней производится в зависимости  от цели исследования, экономической сущности в усредняемого характер имеющихся исходных данных.

           Рассмотрим пример. Известны значения месячной заработной платы рабочих бригады за октябрь 1995 года

                                                                 Таблица 1

     Требуется определить среднюю месячную заработную плату рабочих бригады (X)

           Общая сумма заработная плата всех рабочих 

          

           Это определяющий показатель, исчисленный как сумма индивидуальных значений заработной платы Х каждого рабочего, другими словами — это фонд оплаты их труда который может быть записан алгебраически:

     

           Определяющий показатель, выраженный математическим, называется определяющей функцией.

            Определяющей  функции соответствует уравнение  средних, где индивидуальная заработная  плата каждого рабочего заменена  средней заработной платой, по  сколько такая замена не сказывается  на общей сумме оплаты труда  всех рабочих бригады — определяющего показателя:

     

                 Зная определяющую функцию и уравнение средних 

     

 или  

      получаем формулу:

           Где Х_i — индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности;

                 n — число единиц  совокупности.

       Таким образом, средняя месячная заработная плата одного рабочего бригады вычисляемая  по формуле:  

           Если бы все единицы  изучаемой совокупности развивались  под действием одних общих  условий и на них не действовали  никакие “случайные“ факторы, то величина признака у каждой единицы — индивидуальное значение месячной заработной платы — была бы одинаковой, равной 855 тыс. руб. и обеспечивала величину итогового показателя: 855 тыс. руб.*10 чел. = 8550 тыс. руб.

           Итак, при выборе вида средней величины обычно исходят из логической сущности усредняемого признака и его взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем. Величина итогового показателя не должна изменятся при замене индивидуальных значений признака средней величины.

           Способность средних  величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

           Общая формула степенной  средней записывается следующим  образом:  
 

     

           С изменением показателя степени К выражение данной функции меняется, и в каждом отдельном случае приходим к определенному виду средней.

           Запишем формулы  степенных средних, придавая К значения: -1,0,1,2.

           При К = -1 получим  среднюю гармоническую величину:

     

           При К = 0 получим  среднюю геометрическую величину:

     

     Для раскрытия неопределенности прологарифмируем обе части степенной средней:

     

     и подставим К = 0, получим 

     

     т.е. неопределенность типа 0 / 0.

           Для ее раскрытия  используем правило Лопиталя и найдем (lim (ln X)) как предел отношения производных по k числителя и знаменателя в правой части равенства

     При k ® 0

           

     Таким образом, при k= 0,

     

     после потенцирования

     

           При К = 1 получим  среднюю арифметическую:

           

           При К=2 среднюю квадратическую:

     

     и т.д. для любой степени.

           Приведенные выше формулы простых средних применяются в случае, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются.

           Однако, когда в  практических исследованиях отдельные  значения изучаемого признака встречаются  несколько раз у единиц исследуемой  совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных средних и имеют и имеют следующий вид:

           средняя гармоническая:

     

           средняя геометрическая:

     

           средняя арифметическая:

     

           средняя квадратическая:

     

           где f_i - частота повторения индивидуального значения признака (его вес)

           Весом может быть частость, т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот:

     

           Известно, что степенные  средние разных видов, исчисленные  по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени К, тем больше и величина соответствующей средней:

     

           Это свойства степенных  средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции  называется мажорантностью средних.

           К средним величинам, кроме степенных средних, относят  также моду и медиану.