Статиститка

∑X_i =n*a₀+a₂∑t_i²;

∑X_i*t_i=a₁*t_i²;

∑X_i*t_i²=a₀∑t_i²+a₂∑t_i⁴/

Значение a₀= 24,07 ( это есть выровненный уровень увеличения урожайности для центрального года динамического ряда – 2003), a₁=0,63( этот коэффициент показывает среднее увеличение урожайности за год), a₂=0,66(ускорение увеличения урожайности).

Проанализируем, насколько точно рассчитанная по параболе урожайность отображает фактические  её изменения за анализируемый  период. Для этого найдем отклонения y_i-y_i^~, их квадрат и сумму, которая равна 46,4259.

Σ_ост.=(∑(y_i-y_i^~)/n)^1/2= (46,4259/5)^1/2=3,05

                                                                                                                          Таблица 10

 
 
 

Теперь нужно  сделать выбор формы тренда для  урожайности.

1 вариант. 

S_лин^~2=∑d_x²/(n-m)=127/3=42,33

S_пар^~2=∑d_x²/(n-m)=46,4259/2=23,21

S_пар^~2< S_лин^~2 значит предпочтение отдается параболе. 

2 вариант.

К_р=S_ост^~лин/S_ост^~пар 

3 вариант.

σ_x^лин=(∑d_x²/5)^1/2=(127/5)^1/2=25,4

V_x=σ_x/y_x^~*100=25,4/25,4*100=100

σ_x^пар=(∑d_x²/5)^1/2=(46,4259/5)^1/2=3,05

V_x=σ_x/y_x^~*100=3,05/25,4*100=12 

V_пар<V_лин=> σ_x^пар< σ_x^лин предпочтение отдается параболе. 

Рассмотрев  три варианта выбора тренда можно  обоснованно сказать, что предпочтение следует отдать параболе.

                                                                                                                                              Таблица 11

В этой таблице  было проведено аналитическое выравнивание по прямой. Параметры прямой находятся  из решения системы уравнений:

∑x=n*a + b*∑t

∑x*t=a*∑t + b*∑t²

Где х –  урожайность;

n- число членов  ряда.

Система уравнений  упрощается, если ∑t=0 то

а=∑x/n; b=∑x*t/∑t²

a=742/5=156,35

b=159,76/10=15,97

Коэффициент а характеризует выровненное  значение себестоимости для центрального года в динамическом ряду, принятого за начало отчета (2003) при t=0, а коэффициент b характеризует среднее повышение себестоимости в год.

Когда мы подставим  в полученное уравнение соответствующие  значения t и рассчитаем сглаженные уровни y^~.

Оценим степень  приближения линейного тренда к фактическим уровням динамического ряда. Для этого исчислим отклонения X_i-X_i^~, их квадраты и сумму квадратов отклонений в нашем случае она равна 166,23, а также остаточное отклонение:

Σ_ост.=(∑(X_i-X_i^~)/n)^1/2=(166,23/5)^1/2=5,77,

Колебания фактического увеличения себестоимости около прямой составляют 5,77, или 5,77*100/156,35=4% по отношению к среднему уровню ряда.

Проведем далее  выравнивание ряда по уравнению параболы второго порядка: y_i=a₀+a₁+a₂*t². Для нахождения параметров a₀,a_1, a₂ составим систему нормальных уравнений также, как это было сделано для уравнения прямой: исходное уравнение последовательно умножаем на коэффициенты при неизвестных и суммируем произведения по всем годам. В результате получим следующую систему уравнений:

∑X_i=n*a₀+a₁∑t_i+a₂∑t_i²

∑X_i*t_i=a₀∑t_i+a₁∑t_i²+a₂∑t_i³

∑X_i*t_i²=a₀∑t_i²+a₁∑t_i³+a₂∑t_i⁴.

 Для упрощения расчетов значения дат t также выразим в отклонениях от даты, занимающей центральное положение в динамическом ряду. При этом способе ∑t_i=0 и ∑t_i³=0  и система уравнений упрощается до следующего вида:

∑X_i =n*a₀+a₂∑t_i²;

∑X_i*t_i=a₁*t_i²;

∑X_i*t_i²=a₀∑t_i²+a₂∑t_i⁴/

Значение a₀= 144,7 ( это есть выровненный уровень увеличения себестоимости для центрального года динамического ряда – 2003), a₁=15,98( этот коэффициент показывает среднее увеличение себестоимости за год), a₂=1,86 (ускорение увеличения себестоимости).

Проанализируем, насколько точно рассчитанная по параболе себестоимость отображает фактические её изменения за анализируемый  период. Для этого найдем отклонения y_i-y_i^~, их квадрат и сумму, которая равна 362,7277.

Σ_ост.=(∑(y_i-y_i^~)/n)^1/2= (362,7277/5)^1/2=72,55

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Таблица 12

 

Теперь нужно  сделать выбор формы тренда для  себестоимости.

1 вариант. 

S_лин^~2=∑d_x²/(n-m)=781,75/3=260,58

S_пар^~2=∑d_x²/(n-m)=362,73/2=181,37

S_пар^~2< S_лин^~2 значит предпочтение отдается параболе.

2 вариант.

К_р=S_ост^~лин/S_ост^~пар

3 вариант.

σ_x^лин=(∑d_x²/5)^1/2=(781,75/5)^1/2=12,5

V_x=σ_x/y_x^~*100=156,35/12,5*100=1250,8

σ_x^пар=(∑d_x²/5)^1/2=(362,7277/5)^1/2=8,52

V_x=σ_x/y_x^~*100=72,55/156,35*100=46,40 

V_пар<V_лин=> σ_x^пар< σ_x^лин предпочтение отдается параболе. 

Рассмотрев  три варианта выбора тренда можно  обоснованно сказать, что предпочтение следует отдать параболе.

                                                                                                                       Таблица 13