Статистика рослинництва

Варіація – це зміна розміру  ознаки у статистичній сукупності. Варіація є результатом дії на одиниці сукупності природних, кліматичних, економічних, соціальних і інших  факторів, а також індивідуальних особливостей окремих одиниць.

Для характеристики варіації використовують такі показники: розмах варіації, середнє  лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації тощо.

Розмах варіації – це різниця  між найбільшим та найменшим значенням  варіативної ознаки:

R=x_max-x_min

Для ряду розподілу за урожайністю  розмах варіації становить -

190.

Для ряду розподілу за внесенням  органічних добрив під картоплю розмах варіації становить – 18

Для ряду розподілу за витратами  праці на 1ц картоплі розмах варіації становить – 1,7.

Розмах варіації дає уявлення лише про межі коливання ознаки, оскільки він враховує лише два крайні значення і не враховує відхилень усіх варіантів.

Для більш точної характеристики варіації ознак окремі її значення  порівнюють з типовим, стійким для сукупності рівнем – величиною середньої. Унаслідок  такого порівняння дістають характеристику варіації рядом відхилень від  середньої  х - .

Середнє лінійне відхилення становить  середню з абсолютних відхилень  усіх варіантів від середнього значення варіативної ознаки. Його визначають за такими формулами:

L= – просте;

L= – зважене;

Середнє лінійне відхилення становить:

• для урожайності – 50,34;
• для внесених органічних добрив – 4,4568;
• для витрат праці на 1 ц картоплі – 0,4772.

Недоліком середнього лінійного відхилення є те, що під час його обчислення не враховують знаки відхилення.

Дисперсією називають середній квадрат відхилення всіх значень  ознаки від її середньої величини. Її обчислюють за такими формулами:

_{- проста;}

_{- зважена;}

_{Розрахуємо дисперсію  для урожайності:}

_{Для внесених органічних добрив та витрат праці  на 1 ц картоплі дисперсія  буде становити – 28,08 та 0,29 відповідно.}

_{Середнє квадратичне  відхилення обчислюють добуванням квадратного кореня з дисперсії:}

_{- просте;}

_{- зважене;}

_{Добуваємо квадратний корінь з дисперсії  за урожайністю: σ=57,36}

_{Середнє квадратичне  відхилення внесених органічних добрив дорівнює σ=5,3; а витрат праці  на 1ц картоплі – 0,54.}

Середнє квадратичне відхилення характеризує середнє коливання ознаки в сукупності, зумовлене індивідуальними особливостями  одиниць сукупності.

Для того щоб порівняти сукупності з різним рівнем середнього значення ознаки та середнього квадратичного  відхилення, визначають коефіцієнт кореляції, який становить відношення середнього квадратичного відхилення до середнього значення ознаки:

Y= %

Якщо варіація в сукупності зумовлена  випадковими причинами, то коефіцієнт варіації характеризує відносний вплив випадкових факторів порівняно з основними умовами сукупності, які формують середню величину.

Розрахуємо коефіцієнти варіації для наших рядів розподілу. Для  урожайності коефіцієнт варіації становить  – 37,37%, для внесених органічних добрив – 31,21%, для витрат праці – 21,95%.

Дисперсія має деякі математичні  властивості, використання яких значно спрощує її розрахунки, зокрема:

1. Якщо всі варіанти зменшити або збільшити на будь-яке постійне число а, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться:

_{Тобто, дисперсію можна обчислювати не лише за варіантами, а й за відхиленнями від деякого постійного числа;}

2. Якщо всі варіанти зменшити або збільшити в а разів, то дисперсія від цього зміниться в а² разів, а середнє квадратичне відхилення в а разів:

_{Отже, всі варіанти можна поділити на яке-небудь постійне число, розрахувати  середнє квадратичне  відхилення, а потім  помножити його на це постійне число:}

 

3. Якщо розрахувати середній квадрат відхилень від довільної величини а, яка відрізняється від середньої арифметичної (), то він завжди буде більший за середній квадрат відхилень, обчислений від середньої арифметичної:

Дисперсія від середньої завжди менша за дисперсії, розраховані  від будь-яких інших величин, тобто  вона має властивість мінімальності.

За способом моментів, або підрахунку від умовного нуля середню арифметичну обчислюють за формулою:

 

Де а-умовний  нуль.

За умовний  нуль доцільно приймати варіанту, що знаходиться  в центрі ряду розподілу, або варіанту, якій відповідає найбільша частота.

Асиметрія та ексцес – це дві взаємопов’язані  з варіацією властивості форми  розподілу. Комплексне їх оцінювання здійснюють на основі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу – це середня арифметична  К-го степеня відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої.

Коефіцієнт скошеності (асиметрії) – А_s обчислюють як відношення центрального моменту третього порядку до куба середнього квадратичного відхилення:

_.

_{Якщо коефіцієнт скошеності  дорівнює нулю, то розподіл симетричний, якщо не дорівнює нулю – асиметричний. У випадках, коли Аs>0, розподіл має правосторонню асиметрію, коли As<0 – лівобічну асиметрію.}

_{За симетричного розподілу середня арифметична ,мода (М0) і медіана (Ме) рівні між собою. Для правосторонньої (додатньої) скошеності, коли права вітка кривої розподілу довша лівої, існує таке співвідношення між цими статистичними величинами: М0<Ме< . За лівобічної (відємної) скошеності, коли ліва вітка кривої розподілу довша правої, спостерігається обернене співвідношення: М0>Ме> .}

_{У статистичній практиці прийнято вважати, що за значення коефіцієнта  As<+ 0,25 асиметрія є незначною, за значення Аs> +0,5 – емпіричний розподіл відрізняється від нормального значним зміщенням.}

_{Розрахуємо коефіцієнти  асиметрії для  рядів розподілу:}

_{Для урожайності}

_{A>0, асиметрія правостороння;}

_{Для внесених органічних добрив під картоплю:}

 _{A>0, асиметрія правостороння;}

_{Для витрат праці  на 1 ц картоплі:}

 _{A>0, асиметрія правостороння;}

_{Для характеристики гостровершинності  розподілу використовують нормований момент четвертого порядку, який являє собою відношення центрального моменту четвертого порядку(µ4) до середнього квадратичного відхилення в четвертому степені (σ4). За нормального розподілу нормований момент четвертого порядку дорівнює3(µ4/ σ4 =3).}

_{Якщо прийняти нормальний розподіл за базу порівняння, то коефіцієнт гостровершинності (ексцесу) можна розрахувати  за формулою:}

_{За нормального  розподілу Ех=0, за гостровершинного (вершина фактичного розподілу виступає над вершиною нормального розподілу) Ех>0, за плосковершинного (вершина фактичного розподілу знаходиться нижче вершини нормального розподілу) Ex<0.}

_{Якщо величина коефіцієнта ексцесу  не перебільшує  +0,4, крива фактичного розподілу вважається слабоексцесивною. Максимальне значення від’ємного ексцесу становить -2. У цьому випадку вершина кривої фактичного розподілу опускається до осі абсцис і крива розподілу ділиться на дві самостійні одновершинні криві.}

_{Розраховуємо  коефіцієнт ексцесу  для визначення плосковершинності  розподілів:}

_{Для урожайності:}

 _{Е<3 – плоско вершинний;}

_{Для внесених органічних добрив під картоплю:}

 _{Е<3 – плосковершинний ряд розподілу;}

_{Для витрат праці  на 1 ц картоплі:}

 _{Е<3 – плоско вершинний;}

 

_{2.3. Перевірка  статистичної гіпотези  про відповідність  емпіричного розподілу  нормальному.}

_{Статистична гіпотеза – це припущення відносно параметрів або іорми розподілу  генеральної сукупності, яке можна перевірити на основі вибірки.}

_{Розрізняють гіпотези основні (нульові  або робочі) і альтернативні(конкурентні). Основною називають  гіпотезу, яка підлягає перевірці(Н0). Альтернативною На називають гіпотезу, яка протиставляється нульовій гіпотезі і заперечує її.}

_{За формою побудови розрізняють гіпотези прості і складні. Простою називають  гіпотезу, яка стосується тільки одного припущення. Складною – гіпотезу, яка стосується двох і більше припущень. Складна гіпотеза характеризує деяку  галузь імовірних  значень досліджуваного параметра.}

_{Перевірка статистичних гіпотез пов’язана  з можливим прийняттям неправильних рішень, тобто з можливістю допущення помилки у висновках. Розрізняють помилки першого і другого порядку. Помилки першого порядку полягають у тому, що відхиляється нульова гіпотеза, хоч насправді вона правильна. Помилки другого порядку полягають у тому, що приймається нульова гіпотеза, хоч насправді правильна альтернативна гіпотеза.}

 

Імовірність допустити помилку першого порядку дістала рівня значущості, що позначається через а. Він становить ту мінімальну імовірність, починаючи з якої можна визнати подію практично неможливою, тобто рівень значущості показує міру, з якою ми ризикуємо відхиляючи нульову гіпотезу.

Рівень значущості визначає дослідник  залежно від характеру і важливості вирішуваних завдань за принципом  практичної упевненості 

Чим менший рівень значущості, тим менша імовірність відхилити нульову гіпотезу,якщо вона правильна (тобто допустити помилку нульового порядку), і тим більша імовірність допустити помилку другого порядку, якщо нульову гіпотезу не відхиляють (тобто вона неправильна). Рівень значущості не вимірює ступеня ризику, пов'язаного з прийняттям неправильної гіпотези (помилки другого порядку), він лише контролює помилку першого порядку.

Оскільки  помилки першого і другого порядку є конкурентними, то значення імовірності допустити одну з них зумовлює збільшення імовірності допустити другу помилку. Тому в кожному випадку слід обрати компромісне рішення. Єдиним правильним шляхом своєчасного зменшення можливих помилок є збільшення обсягу вибірок.

Для перевірки нульової гіпотези використовують спеціальні статистичні критерії. Статистичний критерій - це оцінний показник, обчислений на основі фактичних спостережень, відповідно до якого приймають або відхиляють нульову гіпотезу. Побудова критерію зводиться до вибору відповідної функції, що називається статистикою критерію.

 Залежно від виду перевірюваної гіпотези використовують спеціально розроблені критерії, серед яких найчастіше застосовують t-критерій нормального розподілу, t-критерій розподілу Стьюдента, F-критерій Фішера-Снедекора, критерій Пірсона, критерій Колмогорова (λ), критерій Вілкоксона тощо.

Критерій t нормального розподілу - це теоретичне нормоване відхилення для великих вибірок. За законом нормального розподілу варіація індивідуальних значень досліджуваної ознаки перебуває в межах ±3σ (правило трьох сигм). Числове значення цього критерію залежить від рівня імовірності. Його визначають за спеціальними таблицями "Значення інтеграла ймовірностей" .

Критерій t-Стьюдента використовують для перевірки статистичних гіпотез щодо середніх за малої вибірки (n < 20). Крім того, його застосовують при визначенні надійних інтервалів, інтервально оцінюючи параметри генеральної сукупності. Числове значення критерію залежить від кількості степенів вільності варіації і рівня імовірності.

Критерій F-Фішера-Снедекора використовують для оцінювання співвідношення дисперсій за малих вибірок, а також степеня варіації ознак і надійності взаємозв'язку між факторами .

Критерій  Пірсона використовують тоді, коли потрібно визначити степінь відмінності фактичного розподілу частот від теоретичного. Крім того його застосовують для оцінювання однорідності розподілів, а також як критерій незалежності в розподілі об'єктів сукупності за градаціями досліджуваної ознаки.

Критерій λ Колмогорова застосовують для наближеної оцінки імовірності  розбіжностей між фактичними і теоретичними розподілами При ньому не потрібно визначати кількість степенів вільності  варіації; оскільки граничні значення критерію не залежать від кількості  спостережень і є стандартними: для  рівня істотності 0,05 λ= 1,36; 0,01λ=1,63 і 0,001λ= 1,95. Нульова гіпотеза відхиляється за 5% рівні істотності якщо фактичне значення λ < 1,36, за 1% λ < 1,63 і за 0,1% λ < 1,95.