Статистические ряды распределения

     Характер  и закономерности развития массового  явления в пространстве и во времени  складываются под влиянием множества существенных и несущественных, объективных и субъективных, реальных и случайных движущих сил, причин (т.е. факторов). В каждой конкретной единице статистической совокупности действие факторов проявляется по-разному. Поскольку зависимость между значениями признаков и единицами совокупности обнаруживаются, в общем и среднем на основе закона больших чисел, то важной задачей изучения рядов распределения является изучение характера распределения единиц совокупности по исследуемым признакам. Важным приемом изучения рядов распределения является их графическое изображение. Способы построения графиков различны для интервальных и дискретных рядов. Графически дискретный вариационный ряд можно изобразить, используя прямоугольную систему координат и строя точки с координатами (х1, f1,),( x2, f2), … (xn, fn). Если затем соединить последовательно полученные точки отрезками прямой, а из первой и последней точек опустить перпендикуляр на ось Х, получим фигуру, которая называется полигоном и графически представляет распределение единиц совокупности по признаку Х. График дискретного ряда распределения можно так же построить следующим образом. На оси абсцисс в одинаковом масштабе откладываются слева направо в порядке возрастания значения вариант данного ряда. По оси ординат наносится шкала для значений величин частот. Из точек на оси Х абсцисс, соответствующих значению исходной варианты, восстанавливаются перпендикуляры (ординаты), причем длина ординаты (высота перпендикуляра) измеряется в единицах масштаба оси ординат. Вершины этих перпендикуляров соединяются в последовательном порядке отрезками прямой. К полученной ломанной линии присоединяются два крайних перпендикуляра. Полученный график (полигон) четко отражает характер рассматриваемого распределения.

     Сумма частот (частостей), заключенных в полигоне, равна объему совокупности.

     График  интервального ряда, так же как  и дискретного ряда, позволяет  выявить характер (структуру) распределения изучаемого явления. При построении графика интервального ряда на оси абсцисс откладываются интервалы ряда. Незакрытые интервалы принимаются равными или величине следующего (для открытого первого), или предыдущего (для открытого последнего интервала). Такой прием применяется, если действительные нижняя или верхняя границы этих интервалов неизвестны даже предположительно. Нередко для первого интервала началом принимают “0”. Приняв интервалы за основание, строим на них прямоугольники, равные по высоте частоте данного интервала. Полученное графическое представление интервального вариационного ряда называется гистограммой. Площадь гистограммы, как и полигона, равна объему совокупности. При построении гистограммы для интервальных рядов с неравными интервалами используются величины плотностей распределения, а не частоты данного ряда. В этом случае частоты зависят не только от величины вариант, но и от размеров интервалов: чем больше взят интервал, тем больше единиц совокупности попадает в него. Если ряд с равными интервалами, то частоты (частости) дают четкое представление о том, как заполнены интервалы единицами совокупности, и соответственно, отражают характер распределения. Сравнивая частоты (частости) ряда с неравными интервалами, еще нельзя судить об относительной заполнености разных интервалов. Для этого нужно исключить влияние размера частоты (частости) на величину интервала. Это обеспечивается расчетом особого показателя, отражающего сколько единиц ( или сколько доле или процентов единиц) совокупности приходится на единицу изменения варианта.

     Абсолютная  плотность распределения (К) представляет собой величину частоты, приходящейся на единицу размера интервала отдельной группы ряда К=f /h., где h- величина интервала. Относительна плотность распределения (K’) определяется как частное от деления частости (w) отдельной группы ряда на размер ее интервала K’=w /h. Итак, чтобы изучить характер распределения (или структуру) необходимо на оси абсцисс в прямоугольной системе координат откладывать значения исследуемого признака (варианты) Х, а на оси ординат – частоты (частости) или плотность распределения, и строят полигоны для дискретных рядов, а для интервальных – гистограммы. Вид полученного графика (полигона или гистограммы) указывает на характер распределения. Площадь полигона или гистограммы численно равна сумме частот или частостей единиц в совокупности. Анализ рядов распределения можно проводить на основе их графического изображения. Линейчатые и круговые диаграммы строятся для отображения структуры совокупности.

     Кривая  распределения — линия на плоскости, отражающая зависимость между значениями рассматриваемой случайной величины и соответствующими им числами наблюдений. Если на оси абсцисс откладывать значения варьирующего признака, а на оси ординат частоты, то, соединяя эти точки, получаем эмпирическую кривую распределения. Пользуются также кумулятивной кривой распределения, указывающей для каждого данного значения х частоту тех значений, которые не превосходят х. Кривая распределения служит отправным пунктом статистического исследования варьирующего признака. Она является обобщенной характеристикой особенностей формы распределения. Кривая распределения выражает закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака. Различают эмпирические и теоретические кривые распределения. Эмпирическая кривая - это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение. Теоретическая кривая распределения — это кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения. Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута — правая или левая — различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными. В нормальном ряду распределения размах вариации R = 6 ;

      =1,25d; х = М0 = Ме. Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения [5, с.99].

     у

                                                               х

     Рисунок 4 - Правосторонняя асимметрия

     Так, при М0<Ме<х  разности между  х — М0 и х-Ме положительные и асимметрия правосторонняя, а при М 0 > Ме > х, наоборот, разности между х — М0 и х- Ме отрицательные и симметрия левосторонняя (см. рис 4-6 в которых показаны соотношения между средней, модой и медианой).

      >Me>Mo

     

     Рисунок 5 - Симметричная кривая

      = Mo= Me

     В симметричном распределении центральный  момент третьего порядка m3 = 0, поэтому чем он больше, тем больше и асимметрия. Эта особенность и используется для характеристики асимметрий. Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе. Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше. Кривые распределения имеют различную островершинность. Крутизна, островершинность кривой распределения называется эксцессом. Различают эксцессы: нормальный, выше нормального и ниже нормального (рис.6).

     

     Рисунок 6 - Эксцессы распределения

     Для характеристики степени эксцесса применяют  коэффициент эксцесса, который равен отношению центрального момента четвертого порядка к среднему квадратическому отклонению в четвертой степени: . Если распределение нормальное, то эксцесс нормальный и равен 3. Поэтому если Е > 3, то эксцесс выше нормального, а если Е < 3, то эксцесс ниже нормального.

 

       4. Построение и  анализ статистических  рядов распределения

      (на  примере статистических  данных, характеризующих 

      социально - экономическое положение региона, предприятия)

       Имеются выборочные данные (выборка  10%-ная механическая) о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и товарообороте предприятий торговли города Липецка за 2010 год (млн. руб.)

Таблица 8

Выборочные  данные (выборка 10%-ная механическая) о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и товарообороте предприятий торговли города Липецка за 2010 год

      

   

1. По приведенным данным  построим статистический ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы предприятий с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и долей предприятий группы. Построим графики распределения: полигон и гистограмму.
2. Рассчитаем по ряду распределения:

а) среднюю;

б) дисперсию;

в) среднее  квадратическое отклонение;

г) коэффициент  вариации.

      3.  рассчитаем с вероятностью 0,954 возможные  пределы среднегодовой стоимости основных производственных фондов на предприятиях отрасли экономики.

      Сделаем выводы.

Решение

1). Для построения статистического ряда распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов с выделением 4 групп найдем величину равного интервала:

     Величина  равного интервала определяется по формуле:

,

где x_max и x_min – максимальное и минимальное значение признака, n – число групп.

,

     где x_max=30, x_min=10 - максимальное и минимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов (млн. руб.)

                  n=4 – группы предприятий.

     Путем прибавления величины интервала  к минимальному значению признака в группе получим следующие группы предприятий по значению среднегодовой стоимости основных производственных фондов (табл. 9).

Таблица 9

 Ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов