Оценка уровня жизни населения в РФ

     

,                                              

     где f — численность единиц в группе.

      Исчислим общую среднюю как  среднюю взвешенную из групповых  средних:

 Х= 360,40    =  12,01 млн.руб.  средний объем экспорта по 30 регионам

    30

δ ²  = 218,74  /  30 =  7,29

Все расчеты  представлены в таблице 2 :

Таблица 2

4) Согласно правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

     

σ  ²  = 1,69+ 7,29 = 8,98.

5) Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию, без учета деления на группы:

σ²=(7,8-12,01)²+(8,1-12,01)²+(8,3-12,01)²+(8,4-12,01)²+(8,6-12,01)²+…….

..+(16,2-12,01)²+(16,4-12,01)²+(16,8-12,01)²+(17-12,01)² =     8,98

         30

С помощью правила сложения дисперсий ,зная два из видов, можно определить третий: δ²   = σ_i² -  σ_i² ;  

            σ_i² = σ_i² - δ² 
 

Задача  №3 

     По  данным  информационных сайтов, например, www.cbr.ru,  www.gks.ru произведите статистический анализ какого-либо показателя за 24 периода времени (помесячно):

     1. изобразите графически исходные  данные и произведите визуальный  анализ;

     2. проверить исходный ряд динамики  на наличие тренда тремя методами:

     -  методом укрупнения интервалов;

     - методом аналитического выравнивания. Сделать прогноз на следующий период времени;

     - методом скользящей средней (трехлетней - четные варианты, пятилетней- нечетные  варианты). По результатам расчетов  сделать вывод.

Решение: Динамика доли оплаты труда наемных работников в ВВП .

Оплата  труда наемных работников (включая  скрытую), млрд. рублей (рис.12)

      1) Строим график на основании исходных данных и проводим визуальный анализ.     Рис.12

  (рис.13)Динамика оплаты труда наемных работников

                              в ВВП за 2 года                                                                             

 

    

     Линия графика показывает, что оплата труда  наемных работников в течение  двух лет проводилась относительно равномерно, от минимального показателя 215,80 млрд.руб. в январе 2001 г.до максимального 519,07 в декабре 2002 г. Это результат роста экономики. Увеличения ВВП. Произошел скачок -снижение оплаты труда в 1 квартале 2002 года. Все же просматривается общая тенденция роста з/п.

     2) проверим исходный ряд динамики на наличие тренда методом укрупнения интервалов, если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов (таблица 3).Разобьем наш ряд по полугодиям:

Таблица 3

 

В полученном ряду отчетливо просматривается  последовательный рост зарплаты в течение  двух лет.(рис.14)

рис.14

     Метод скользящей средней предполагает замену исходный ряда теоретическим, уровни которого рассчитываются по формуле скользящей средней. Скользящая средняя относится к подвижным динамическим средним, вычисляемым по ряду при последовательном перемещении на один интервал. При этом происходит укрупнение интервалов. Число уровней, по которым укрупняется интервал, называется диапазоном укрупнения, интервалом или периодом сглаживания α. Период сглаживания может быть нечетным (α =3; 5; и т.д.) и четным (α =2; 4; и т.д.).

     При нечетном периоде сглаживания полученное среднее значение уровня закрепляется за серединой расчетного интервала. 
 

рис.15

     Традиционным  методом прогнозирования будущего значения показателя является усреднение t его прошлых значений.

Математически скользящие средние выражаются так:

Скользящ. средняя = Сумма объема з/п за предыдущие t-периоды / кол-во.

Далее подставим данные и рассчитаем скользящую среднюю:

Средний объем з/п за первые три квартала =  (748,70+937,50+1027,40) / 3 = 1941,77 млрд. руб.

Когда квартал заканчивается, данные об объеме з/п в течение последнего квартала прибавляются к сумме данных за предыдущие два квартала, а данные за ранний квартал отбрасываются. Это приводит к сглаживанию краткосрочных нарушений в ряде данных.

Средний объем з/п за следующие три квартала = (937,50+1027,40+1146,80) / 3 = 2111,40 млрд. руб.

Далее продолжаем расчеты аналогичным  образом вплоть до последних трех кварталов, данные за которые имеются. Расчеты приведены в четвертом столбце (рис.15).

     Но  для продолжения анализа временного ряда необходимо знать значение тренда точно на то же время, что и исходные данные, поэтому необходимо центрировать полученные скользящие средние, сложив соседние значения и разделив их пополам. Центрированная средняя и есть значение рассчитанного тренда (расчеты представлены в столбцах 4 и 5 (рис.15).Таким образом, из 24 периодов методом скользящей средней мы получили 4 временных периода, график линии тренда на (рис.16).

рис.16

      Тренд — это общая долгосрочная тенденция изменения временного ряда, лежащего в основе его динамики.

3) Аналитическое выравнивание. Для определения основной тенденции развития, необходимо использовать методы аналитического выравнивания, которые позволяют моделировать динамические процессы, строить прогноз, интерполировать отдельные значения анализируемого процесса.

В общем  виде модель зависимости значений показателя от фактора времени (t) имеет формулу   у_{t =} f (t)

Наиболее  часто в анализе динамики используется линейная функция 

у_t = а + b t,

y_t -теоретические, выровненные уровни ряда; t - время;

a –обобщенный начальный уровень ряда, b в трендовом уравнении – коэффициент регрессии, показывает на сколько в среднем изменится уровень ряда при изменении времени на единицу, которые находят с использованием метода наименьших квадратов, а и b - параметры уравнения, решая следующую систему уравнений:

                   

     Необходимость в решении такой системы отпадает, если проиндексировать значения t таким образом, чтобы их сумма была равна нулю , тогда, если количество уровней в ряду нечетное,  то временные ряды дат (t) обозначаются  -2 -1 0 1 2… Если четное, то  -5 -3 -1 1 3 5 …

     Подставляя  в уравнение тренда с рассчитанными  параметрами индексированные (условные) значения фактора времени (t), можно легко вычислить теоретические (выровненные) значения динамического ряда и произвести прогноз этих значений на предстоящие годы.

     Т.к. ∑ t   равна нулю, то произведения     b*∑ t  и a*∑ t также равны нулю ,значит:

     .

a = 369,62 млрд.руб.; b = 4,788 млрд.руб.  подставляем в уравнение теоретического выровненного уровня ряда значения a и b:

y_t = 369,62 + 4,788*t

y_t1 = 369,62+4,788* (-23) = 259,49 и т.д. 

находим теоретические данные у (рис.17),строим уравнение тренда на основе у_теор.

     Рис.17 

     Построив  уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством  критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

      ,       .

     где k — число параметров функции, описывающей  тенденцию; n — число уровней ряда;

       

σ²_ост   = 30740,09/24 ≈ 1281 млрд.руб.

σ²_факт = 105459,15/24 ≈ 4394 млрд.руб.

F_факт = 4394*(24-2)  =75,46 млрд.руб.

          1281*(2-1)

Для нахождения в таблице Фишера теор. значения рассчитываем k₁  и k_2:

k₁= m-1=1 (m-два параметра), k₂ = n-m-1=24-2-1=21, смотрим по таблице :

4,32   _<  75,46 , F_{теор <} F_{факт  -} по таблице Фишера при v₁=(k-1), v₂=(n-k) степенях свободы и уровне значимости (обычно ). Если F_теор < F_факт , то уравнение регрессии значимо, т. е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции. Коэффициент регрессии b =4,788 –показатель силы связи, означающий, что ежемесячно объем з/п возрастал на 4,788 млрд.руб.