Оценка уровня жизни населения в РФ

Медиана для интервального ряда:

     

,

     где X_Me - нижняя граница медианного интервала;

            h_Me - его величина;

          åm/2- половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

           S_Me-1 - сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

           m_Me - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

     Медиана в дискретном ряду: если объем выборки  нечетный, то медианой является серединное значение; если объем выборки четный, то находим среднее арифметическое двух соседних центральных значений.

      Ме=   14,04 + 1,98*(20/2 - 9)  = 14,37 млн.руб.

                                     6

     Вычисленное значение показывает, что у первых 10 регионов объёмы экспорта ниже 14,37 млн.руб., у оставшихся 10 регионов больше 14,37 млн.руб.                                 

  Мода- значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто.

Мода для интервального ряда определяется как:

где  Х_Mo - нижнее значение модального интервала;

       m_{Mo -} число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном        интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

     m_Mo-1 - то же для интервала, предшествующего модальному;

     m_{Mo+1 -} то же для интервала, следующего за модальным;

        h - величина интервала изменения признака в группах.

Для дискретного  ряда мода- варианта с наибольшей частотой.

      Мо = 14,04+1,98*      ( 6-5 )    =15,03 млн.руб.

                                         (6-5)+(6-5)

Чаще  всего в регионах объем экспорта равен ≈15,03 млн.руб.

     Показатели  вариации признака:

     Вариация – это принятие единицами совокупности или их группами различных, отличающихся друг от друга, значений признака. Вариация является результатом воздействия на единицы совокупности множества факторов.   R- мера разброса значений выборки наблюдений или распределения, рассчитываемая как разность между максимальным и минимальным значением переменной.

Размах вариации:                     

 где х_max - максимальное значение признака,

     х _min – минимальное значение признака;

     R= 18,0-8,1= 9,9 (млн.руб.)

Среднее линейное отклонение:        характеризует

колеблемость относительно среднего уровня (взвешенных данных).

где – индивидуальные значения признака,

 – средняя величина,

f– частота;

     d = 44,35/20= 2,217(млн.руб.)

Дисперсия показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения

σ ² = 138,84/20= 6,94

Среднее квадратическое отклонение:  показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического.

                                                   ;

      σ  =    6,94  = 2,63 млн.руб.

Относительные показатели

Коэффициент вариации:             .

     V= (2,63/13,91)*100%= 18,91%

Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности. Если V < 33% - совокупность однородна.

Коэффициент осцилляции: отражает  относительную  колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

        

     V_R= 9,9 / 13,91*100%=71,17%

Линейный коэффициент вариации или относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины

     

      V _d = 2,217 / 13,91*100% = 15,94%

Коэффициент асимметрии Пирсона:

     А

     А>0- правосторонняя асимметрия

     А<0 – левосторонняя асимметрия

      А= (13,91-15,03)   = -0,43 < 0 –незначительная левосторонняя асимметрия

                2,63

     в центральной части распределения.

Асимметрия - это свойство распределения частот.

Коэффициент эксцесса:         

                                    где      -  момент 4-го порядка.

     Эксцесс является показателем островершинности распределения.

При симметричном распределении E_k = 0;

                                                      если  E_k>0, распределение островершинное;

                                                      если Ek <0 - плосковершинное.

     Для первой группы расчет такой:

          ( х’ – х )⁴ *f =(9,45-13,91)⁴*4=1588,39 аналогично считаем для всех групп, суммируем и делим на сумму частот-20, для этого воспользуемся таблицей

Excel (рис.10)                   μ₄= 102,99                                             

рис.10  

      Е = (102,99) -3 = -0,86 , т.к. Ek <0 ,то распределение кривой

              6,94²

       плосковершинное.

     Полигон либо гистограмма распределения  все более и более приближается к некоторой плавной кривой, являющаяся для указанных графиков пределом. Кривая называется эмпирической кривой распределения и представляет собой графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного с изменением вариант. В данном примере кривая будет иметь вид плосковершинный с незначительной левосторонней асимметрией в центральной части распределения. 

     Задача № 2 

     Разделив  первые 30 регионов (см. данные Задачи №1) на 2 группы по величине признака, соответствующего вашему варианту, проверьте правило сложения дисперсий. По результатам расчетов сделать вывод.    

     Решение:    

     Дисперсия - (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике наиболее употребительная мера рассеивания, отклонения случайных значений от среднего.                                                                Таблица 1

Отсортируем данные по двум группам , регионы, входящие в  эти группы по признаку «экспорт»,(таблица1)

     Величину  интервала в данной задаче можно  определить так:                            

h =  17-7,8   = 4,6 млн.руб. величина интервала

      2

 1. 7,8 + 4,6 = 12,4

 2. 12,4 + 4,6 =  17,00

1) Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки.  Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы , (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

     

  ;

     Рис.11

      Для расчета групповых дисперсий  исчислим среднее по каждой группе Х₁ = 151,8/16 = 9,49;   Х₂ = 208,6/14 =14,9

     Расчет  дисперсий по группам представлен  в таблице (рис.11),подставив полученные значения в формулу, получим:

σ ₁ ² = ∑ (х-х)²    =  22,16  = 1,385 ;         σ ₂ ² = ∑ (х-х)²    =  28,6  = 2,042 ;          

        n                16                                           n           14

 2) На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании можно определить среднюю из внутригрупповых дисперсий:  

                                               

σ_i²  =  1,385*16 + 2,042*14 =  1,69 ;

                     30

3) Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.  Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних , от общей средней :