Контрольная работа по "Статистика"

 

Формулы для  расчета средних величин имеют  вид:

,    .

Здесь  – численность совокупности;  – варианта или значение признака (для интервального ряда принимает серединное значение );  – частота повторения индивидуального значения признака (его вес).

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных.

При расчете  по исходным данным используем формулу: 

s =

. 

По сгруппированным  данным: 

s =

.

Величина вариации признака в статистической совокупности характеризует степень ее однородности, что имеет большое практическое значение. Относительным показателем  уровня вариации признака является коэффициент вариации ( ). Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах:

 = ,

где s =  – среднее квадратическое отклонение;  – средняя величина.

Считают, что  если коэффициент вариации больше 33 %, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична.

Коэффициенты  вариации рассчитаем пользуясь табл. 4 и табл. 5. Среднее по исходным данным:

 =  = 29,6 кг на 1 га;

по сгруппированным  данным:

 = 29,4 кг на 1 га.

Среднее квадратическое отклонение по исходным данным:

s =  =  =  = 11,45 кг на 1 га;

по сгруппированным  данным:

s =  =  =  = 10,91 кг на 1 га.

Коэффициент вариации по исходным данным:

 =  = 38,7 %;

по сгруппированным  данным:

= = 37,1 %.  

В обоих расчетах коэффициент вариации больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточно типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.  

Пример 2.

Если в результате группировки указываются только значения группировочного признака и число единиц, имеющих соответствующее значение признака, то получается ряд распределения единиц совокупности по значению данного группировочного признака. Чтобы выявить характер распределения, его закономерность, строят ряды распределения. Ряды, образованные по количественным признакам, называют вариационными рядами. Они могут быть дискретными, если указаны отдельные варианты признака, и интервальными, если указаны интервалы, в которых заключены значения признака.

Рассмотрим пример. Построим интервальный ряд распределения по данным о величине выручки от продажи товаров предприятий за «N» год. Величины интервалов примем равными, число групп зададим равным 5. 

Таблица 7 

 

Следует решить вопрос о величине интервала группировки. Если              интервалы равные, то величина интервала определяется по формуле:

h =

 = , 

где h – величина интервала;  – число групп;  – размах вариации;     – максимальное значение группировочного признака в совокупности;  – минимальное значение группировочного признака.

Величина интервала  составит

h =

.

Определим границы  групп. 

 

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп. Границы интервалов в этом случае устанавливаем, например, по принципу «включительно». Если значение признака единицы совокупности совпадает с верхней границей интервала, то единица относится к данной группе. После определения границ интервалов можно составить рабочую таблицу, в которую свести первичный статистический материал. Результаты группировки оформим в виде таблицы.

Таблица 8

Группировка предприятий  
по выручке от продажи товаров (млн. руб.) 

Рассчитаем показатели центра распределения: , Mo, Me.

Среднюю величину в интервальном ряду распределения  определим по формуле средней  арифметической взвешенной

,

где  – средняя величина;  – серединное значение признака в интервале;  – число единиц совокупности.

 =  млн. руб.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

 = .

Медианным является интервал 9,5–49,3 млн. руб., так как в этом интервале накопленная частота больше медианного номера.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Для данного ряда распределения мода также находится  в интервале 9,5–49,3 млн. руб.

Для определения  величин моды и медианы используют следующие формулы:

Mo =

_Мо + h_Мо , 

где _Мо – начало модального интервала; _Мо – величина модального интервала (в случае равных интервалов _Мо = h); _Мо – частота, соответствующая модальному интервалу; _Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; _Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Ме =

_Ме + h_Ме , 

где _Ме – нижняя граница медианного интервала; _Ме – величина медианного интервала (для равных интервалов _Ме = h); _Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; _Ме – частота медианного интервала.

Mo = 9,5 + 39,8

= 9,5 + 39,8 = 9,5 + 24,5 = 34,0 млн. руб.,

Ме = 9,5 + 39,8

 = 9,5 + 39,8  = 9,5 + 37,3 = 46,8 млн. руб.

Выяснение общего характера распределения включает также оценку формы распределения, определение показателей асимметрии (As) и эксцесса ( ).

Симметричным  является распределение, в котором  частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней арифметической, моды и медианы. В связи с этим простейший показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения. Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии. При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение Mo < Ме < . Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии. Между показателями центра распределения в этом случае имеется такое соотношение Mo > Ме > . В нашем примере 34,0 < 46,8 < 65,2, что указывает на правостороннюю асимметрию.

Наиболее точным и распространенным показателем  асимметрии является моментный коэффициент  асимметрии  

As = М₃ / s³,

где  =  – центральный момент l-го порядка;

s =  =  – среднее квадратическое отклонение.

Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью  средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии

s_As =

.

Если выполняется соотношение |As| / s_As < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As| / s_As > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Расчет центральных  моментов необходимо произвести в таблице. 

Таблица 9