Индексный анализ. Индексы постоянного, переменного состава, структурных сдвигов

     Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью метода скользящей средней. Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни).

     Основное  условие применения этого метода состоит в вычислении звеньев подвижной (скользящей) средней из такого числа уровней ряда, которое соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов.

     Недостатком способа сглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не дают теоретических закономерностей (моделей) рядов, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность и это позволяло бы не только выполнить анализ, но и прогнозировать динамику ряда на будущее.

     Значительно более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены усредненно с помощью определенных математических функций. Путем теоретического анализа выявляется характер развития явления и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа изменения явления: по прямой, по параболе второго порядка, показательной (логарифмической) кривой и т.п.

     Уровни временных  рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов, в т.ч. различного рода случайностей. Изменение условий развития явления приводит к более или менее интенсивной смене самих факторов, к изменению силы и результативности их воздействия и, в конечном счете, к вариации уровня изучаемого явления во времени.

     Динамика  рядов экономических показателей  в общем случае складывается из четырех  компонентов:

     1) тенденции, характеризующей долговременную  основную закономерность развития  исследуемого явления;

     2) периодичного компонента, связанного  с влиянием сезонности развития  изучаемого явления;

     3) циклического компонента, характеризующего  циклические колебания, свойственные любому воспроизводству;

     4) случайного компонента как результата  влияния множества случайных  факторов.

     Тенденция — некоторое общее направление развития. Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.

     В зависимости от вида функции различают  следующие основные формы тренда.

     Линейная  форма тренда:

     ye = at + b, где у — уровни, освобожденные  от колебаний, выровненные по  прямой;

     b — начальный уровень тренда  в момент или период, принятый  за начало отсчета времени;

     а — среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t; константа тренда).

     Линейный  тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимном погашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.

     Параболическая  форма тренда:

     у = а + bt + ct2 , где с — квадратический параметр, равный 1/2 ускорения; константа параболического тренда.

     Параболический  тренд выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного (регрессивного) развития.

     Экспоненциальная  форма тренда:

      , где k — темп изменения в  разах;

     e — константа тренда.

     Если k > 1, экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При росте по экспоненте абсолютный прирост пропорционален достигнутому уровню. Так росло население Земли в эпоху «демографического взрыва» в XX столетии.

     При k< 1 экспоненциальный тренд означает тенденцию постоянно все более замедляющегося роста уровней динамического ряда.

     Логарифмическая форма тренда:

     y = а + b log(t).

     Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения.

     Для определения параметров уравнения тренда применяют метод наименьших квадратов (МНК). Применение МНК для определения параметров линейного тренда ye = at + b дает систему двух линейных уравнений, решение которой выбирается таким образом, чтобы Σ t = 0. В рядах с нечетным числом членов это выполняется при условии, что для центрального члена ряда t = 0 и вправо t — +1, +2, +3..., а влево: -1, -2, -3...

     Во  многих случаях, когда в рядах  динамики наблюдаются явно выраженные периодические колебания, для описания тренда следует использовать спектральный анализ, когда динамический ряд аппроксимируется функциями Фурье. Расчет спектральной функции осуществляется в следующем порядке:

     1) разложение динамики показателя  в ряд Фурье;

     2) определение значений интенсивности  спектрограммы;

     3) расчет значений спектральной  функции с помощью сглаживания  с интервалом усреднения;

     4) для анализа связи между отдельными  уровнями ряда строят автокорреляционные  функции.

     Наибольшую  точность при прогнозировании нестационарных временных рядов в экономике дают модели, совмещающие процессы выделения тренда и учитывающие при этом процессы автокорреляции. Это так называемые модели авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего ARIMA (аббревиатура от англ. — AutoRegressive Integrated Moving Average). Среди этого класса моделей доминирует модель Бокса—Дженкинса.

       
Задача 3.1

     Рассчитать  индексы постоянного, переменного  состава и структурных сдвигов  по данным о цене и количестве выпущенной продукции в двух организациях.

     Таблица

 

Решение

     Индекс  постоянного (фиксированного) состава — это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Например, индекс фиксированного состава продукции рассчитывается по формуле:

      ,

       где Iфс — индекс фиксированного  состава.

     Для изделий предприятия 1

     Iфс=(11000*64+9200*85)/(10000*64+4500*85)= (704000+782000)/(640000+382500)=1486000/1022500=1,45

     Индексом  переменного состава называется индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени.

     Например, индекс переменного состава себестоимости  продукции одного и того же вида рассчитывается по формуле:

      ,

     где Iпс — индекс переменного состава.

     Индекс  переменного состава отражает изменение  не только индексируемой величины (в  данном случае — себестоимости), но и структуры совокупности (весов).

     Iпс=((11000*64+9200*85)/(64+85))/ ((10000*60+4500*90)/(60+90))= =((704000+782000)/149)/ ((600000+405000)/150)= (1486000/149)/ (1005000/150)= 9973,15/ 6700=1,49

     Под индексом структурных сдвигов понимают индекс, характеризующий влияние изменения только структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления. Например, индекс изменения среднего уровня определяется по формуле:

      ,

     где Iсс — индекс структурных сдвигов.

     Iсс=((10000*64+4500*85)/(10000*60+4500*90))/ ((85+64)/(60+90))= =(1022500/1005000)/ (149/150)= 1,017/0,993=1,024

     Система взаимосвязанных индексов имеет  следующий вид:

     Iпс = Iфс × Iсс .

     1,49=1,45*1,024

     1,49=1,4848

     С учетом округлений  при расчете

     1,49=1,49

     Значит  индексы расчитаны верно.

 

Задача 4.5 

Имеются следующие  данные о списочной численности  рабочих предприятия:

 

Вычислите  среднюю  месячную списочную численность  рабочих:

За каждый квартал.

За каждое полугодие.

За год. 

Решение

Произведем группировку  по кварталам и полугодиям