Анализ динамики объемов экспорта и импорта Великобритании за период с 1977 по 2007 гг

 

Сравниваем с табличным d₀ (2,45) > d₂ – верхняя граница (1,90), следовательно, гипотеза принимается и делается вывод об отсутствии автокорреляции в остатках.

 

5. Автокорреляция в динамических рядах

 

Автокорреляция –  это зависимость между последовательными  значениями (уровнями) временного ряда. Автокорреляция первого порядка (first-order autocorrelation) оценивает степень зависимости между соседними значениями временного ряда. Автокорреляция второго порядка (second-order autocorrelation) оценивает тесноту связи между значениями, разделенными двумя временными интервалами, и т.д. Интервал времени, разделяющий зависимые уровни динамического ряда, называется лагом (lag). Автокорреляционная зависимость может быть представлена как зависимость между уровнями исходного ряда: 

 

у1,  у2,  у3,  … ,  уn

 

и того же ряда, но смещенного на i периодов (моментов) времени:

 

,  у2-i,  у3-i,  … , уn-i.

 

Интервал смещения i – временной лаг (i = 1, i = 2, i = 3 и т. д.).

Если при изучении отдельных динамических рядов наличие  автокорреляции помогало выявлению тенденции развития явления, то при анализе корреляционной зависимости между рядами ее следует исключить.

Наличие автокорреляции проверяется на основе коэффициентов  автокорреляции. При этом в качестве результативного признака принимается переменная, содержащая фактические значения уровней исходного ряда динамики, а в качестве факторного признака переменная, содержащая фактические уровни смещенного ряда. Величина временного лага определяет порядок коэффициента автокорреляции.

Математической статистикой  разработаны циклический и нециклический коэффициент автокорреляции. На практике чаще используется нециклический коэффициент автокорреляции, который может быть рассчитан по формуле:

 

                                                          

 

Если динамический ряд y(t) достаточно большой, а i = 1, то дисперсии рядов y(t), y(t-i), а также их средние уровни практически равны. Поэтому формулу можно записать следующим образом:

                  

                                                              

 

Для проверки нулевой  гипотезы об отсутствии автокорреляции фактическая величина коэффициента сопоставляется с табличным значением для соответствующего уровня значимости. Поскольку таблицы содержат критические значения коэффициента автокорреляции, то нулевая гипотеза может быть принята, если фактическое значение коэффициента меньше табличного. Когда фактическая величина коэффициента превышает табличное значение, нулевая гипотеза отвергается и признается наличие автокорреляции в исследуемом ряду.

 

 

 

4.1 Экспорт 3 период (2001-2007 гг.).

 

На рис. 4.1 представлена таблица  коэффициентов автокорреляции переменной экспорта Великобритании за период с 2001 по 2007 гг., на рис. 4.2 - графическое представление рассчитанных коэффициентов.

Рис. 4.1. Таблица коэффициентов автокорреляции переменной экспорта

 

Рис. 4.2. Графическое изображение  коэффициентов автокорреляции переменной экспорта

Напомним, что в STATISTICA красным цветом высвечиваются статистически значимые оценки. Таким образом, статистически значим коэффициент автокорреляции первого порядка. Значение коэффициента при лаге : . Фактическое значение превышает табличное (0,635  > 0,6), следовательно, нулевая гипотеза отклоняется и можно сделать вывод о присутствии автокорреляции в изучаемом динамическом ряду.

Статистическая значимость коэффициента автокорреляции также может быть оценена с использованием t-статистики, вычисленной с помощью столбцов таблицы следующим образом:

 

.

 

Фактическое значение t-статистики (2,06) больше 1,895, что еще раз подтверждает вывод о наличии автокорреляции в анализируемом ряду.

После подтверждения наличия автокорреляции в динамическом ряду, может идти речь о построении авторегрессионной модели.

Построим авторегрессионную модель для динамических рядов экспорта и импорта за период с 2001 по 2007 гг., сместив исходный ряд на 1 лаг, т.е. модель первого порядка:

На рис. 4.3 представлены результаты расчета параметров авторегрессионной модели динамического ряда экспорта, а на рис 4.4. - графическое представление динамического ряда и авторегрессионной функции.

Рис. 4.3. Результаты расчета параметров авторегрессионной модели               динамического ряда экспорта

Соответственно, уравнение авторегрессии  имеет вид:

Как правило, авторегрессионная модель позволяет лучше, чем трендовая, описать предысторию процесса и получить более точный прогноз. Но для этого необходимо, чтобы уравнение и все его параметры были статистически значимы.

Поскольку в данном случае один из параметров уравнения авторегрессии статистически незначим, оно не может быть использовано для прогнозирования.

Рис. 4.4. Графическое представление  динамического ряда экспорта и авторегрессионной модели

4.2  Импорт 3 период (2001-2007 гг.).

 

На рис. 4.5 представлена таблица  коэффициентов автокорреляции переменной импорта Великобритании за период с 2001 по 2007 гг., на рис. 4.6 - графическое представление рассчитанных коэффициентов.

Рис. 4.5. Таблица коэффициентов автокорреляции переменной импорта 

Рис. 4.6. Графическое изображение  коэффициентов автокорреляции переменной импорта

В STATISTICA красным цветом высвечиваются статистически значимые оценки. Таким образом, статистически незначим коэффициент автокорреляции первого порядка. Значение коэффициента при лаге : . Фактическое значение не превышает табличное (0,57 < 0,6), следовательно, нулевая гипотеза принимается и можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции в изучаемом динамическом ряду.

Статистическая значимость коэффициента автокорреляции также может быть оценена с использованием t-статистики. Фактическое значение t-статистики (1,85) меньше 1,895, что еще раз подтверждает вывод об отсутствии автокорреляции в анализируемом ряду.

Хоть мы сделали вывод об отсутствии автокорреляции в ряду, в учебных  целях построим авторегрессионную модель для динамического ряда импорта за период с 2001 по 2007 гг. Авторегрессионная модель первого порядка (lag=1):

На рис. 4.7 представлены результаты расчета параметров авторегрессионной модели динамического ряда импорта, а на рис 4.8. - графическое представление динамического ряда и авторегрессионной функции.

Рис. 4.8. Результаты расчета параметров авторегрессионной модели               динамического ряда экспорта

Соответственно, уравнение авторегрессии  имеет вид:

В данном случае один из параметров уравнения авторегрессии статистически незначим, оно не может быть использовано для прогнозирования.

 

Рис. 4.8 Графическое представление  динамического ряда импорта и  авторегрессионной модели

 

 

 

 

 

 

6. Корреляция рядов динамики

 

При изучении тенденции развития явления во времени часто возникает необходимость определить степень зависимости между динамическими рядами.

 Корреляционная связь  между уровнями двух динамических  рядов называется кросс-корреляцией. Оценка тесноты связи в задачах исследования  кросс-корреляции производится с использованием стандартного коэффициента корреляции Пирсона.

Рассчитаем коэффициенты кросс-корреляции рядов экспорта и импорта на основе остатков для лучших моделей трендов  последнего периода (экспоненциальная модель). На рис. 5.1 представлена таблица коэффициентов кросс-корреляции, а на рис. 5.2 - их графическое изображение.

 

Рис. 5.1. Таблица коэффициентов кросс-корреляции.

 

Рис. 5.2. Графическое изображение коэффициентов кросс-корреляции

 

На основании рассчитанных коэффициентов кросс-корреляции определяется лаг наиболее существенной взаимосвязи между динамическими рядами, то есть тот лаг, которому соответствует максимальный коэффициент кросс-корреляции. В данном случае максимально значение достигается при лаге i= 5 и составляет r = 0,555. Это означает, что прогнозирование значений динамического ряда экспорта производится по значению ряда импорта, зафиксированному пятью годами раньше. Но, т. к. коэффициент статистически не значим, то прогнозирование не может быть осуществлено.

Еще один прием устранения автокорреляции основан на включении времени в уравнение регрессии в качестве аргумента. Данный прием позволяет не только оценить зависимость между рядами, но и получить модель для прогнозирования: ,

где i – лаг наибольшей взаимосвязи между рядами, в данном случае .

На рис. 5.3 представлен расчет параметров факторно-временной функции по экспорту, а на рис. 5.4– графическое представление динамического ряда экспорта и факторно-временной функции.

Рис. 5.3. Расчет параметров факторно-временной  функции по экспорту

Соответственно, уравнение регрессии  имеет вид:

.

При условии статистической значимости уравнения и параметров модель может быть использована для прогнозирования. Но в данном случае параметры уравнения незначимы.

Рис.5.4. Графическое представление динамического ряда экспорта и факторно-временной функции

 

На рис. 5.5 представлен расчет параметров факторно-временной функции по импорту, а на рис. 5.6– графическое представление динамического ряда импорта и факторно-временной функции.

Рис. 5.5. Расчет параметров факторно-временной функции

 

Соответственно, уравнение регрессии  имеет вид:

.

Все параметры уравнения статистически незначимы, следовательно, модель не может быть использована для прогнозирования.

Рис. 6.12. Графическое представление динамического ряда импорта                  и факторно-временной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Экстраполяция трендов и доверительные интервалы прогноза

 

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Экстраполяция тенденций динамических рядов сравнительно широко применяется в практических исследованиях в силу ее простоты, возможности осуществления на основе относительно небольшого объема информации, наконец, ясности принимаемых допущений. Отсутствие иной информации помимо отдельно рассматриваемого динамического ряда часто оказывается решающим аргументом при выборе этого метода прогнозирования.

При таком подходе к прогнозированию  предполагается, что размер признака, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить порознь их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени.

Экстраполяция базируется на следующих  допущениях:

1) развитие явления может быть  с достаточным основанием охарактеризовано плавной (эволюторной) траекторией – трендом;

2) общие условия, определяющие  тенденцию развития в прошлом,  не претерпят существенных изменений  в будущем.

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания, поскольку “попадание” в точку имеет нулевую вероятность. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т.е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.

1. Доверительные интервалы прогноза

 

При определении прогностических значений того или иного явления с помощью экстраполяции наибольший интерес представляет, по-видимому, не сама экстраполяция – это более или менее механический прием, а определение доверительных интервалов прогноза.

Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень — время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Традиционно в качестве такого измерителя колеблемости используется среднее квадратическое (стандартное)  отклонение фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда. В общем виде среднее квадратическое отклонение от тренда можно выразить как

 

, 

 

где  ¾ соответственно фактическое и расчетное значения уровня ряда;

k – число степеней свободы, f = n - т, где т – число оцениваемых параметров; n – число наблюдений. Так, если выравнивание производится по прямой, то k = n - 2, для параболы второй степени k = n - 3 и т. д.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

 

, 

 

где – средняя квадратическая ошибка тренда;

– расчетное значение y_t;

– значение t-статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S_y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares  значение соответствует подкоренному выражению в формуле для S_y, то есть остаточной дисперсии. Остается только извлечь из него квадратный корень.