Анализ динамики объемов экспорта и импорта Великобритании за период с 1977 по 2007 гг

 

Сопоставив значения коэффициентов детерминации для различных типов кривых можно сделать вывод о том, что для исследуемого динамического ряда (динамика экспорта Великобритании в период с 1980 по 1989 гг.) лучшей форма тренда будет полином 3-ей степени.

Уравнение в целом статистически значимо, т.к. . Однако параметр уравнения а3 статистически незначим, т.к. |t_факт| < t_табл (1,258 < 2,447).

Следовательно, полином 3-ей степени  не может быть признан отражающим реальную тенденцию развития изучаемого явления.

 

 

Построим уравнения тренда для  ряда экспорта Великобритании за  1993 – 2001 гг.

 

 

Рис. 4.13 Результаты расчета параметров линейной модели тренда

 

 

Рис. 4.14 Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда

 

Рис. 4.15 Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда

На рис. 4.16 – 4.17 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени.

На рис. 4.18 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 2-й степени.

 

 

Рис. 4.16 Результаты расчета параметров полинома 2-й степени

 

Таким образом, уравнение параболической модели регрессии имеет вид:

.

 

 

Рис. 4.17 Результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени

 

 

Рис. 4.18 Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 2-й степени

 

На рис. 4.19 – 4.20 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 3-й степени.

На рис. 4.21 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 3-й степени.

 

Рис 4.19 Результаты расчета параметров полинома 3-й степени

 

Таким образом, полином 3-й степени  имеет вид:

 

 

Рис 4.20 Результаты дисперсионного анализа полинома 3-й степени

 

 

Рис 4.21 Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 3-й степени

На рис. 4.22 – 4.23. представлены, соответственно, результаты расчета параметров и  результаты дисперсионного анализа  экспоненциальной модели тренда.

На рис. 4.24 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для экспоненциальной модели тренда.

 

 

Рис. 4.22 Результаты расчета параметров экспоненциальной модели тренда

Таким образом, уравнение экспоненциальной модели регрессии имеет вид:

 

 

Рис. 4.23 Результаты дисперсионного анализа  экспоненциальной модели   тренда

 

 

Рис. 4.24 Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для экспоненциальной модели тренда

 

Для выбора лучшей модели сведем полученные данные (полученные уравнения моделей трендов и коэффициенты детерминации) в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Уравнения моделей трендов и  коэффициенты детерминации

№	Модель	Уравнение
1	Линейная		0,6735
2	Полином 2-й степени		0,9569
3	Полином 3-й степени		0,9624
4	Экспоненциальная		0,6328

 

Сопоставив значения коэффициентов  детерминации для различных типов кривых можно сделать вывод о том, что для исследуемого динамического ряда (динамика экспорта Великобритании в период с 1993 по 2001 гг.) лучшей форма тренда будет полином 3-ей степени. Уравнение в целом статистически значимо, т.к. . Но при этом параметры уравнения a2 и a3 статистически незначимы, т.к. |t_факт| < t_табл (1,711 < 2,447, 0,848 < 2,447). Следовательно, полином 3-ей степени не может быть признан адекватно отражающей реальную тенденцию изучаемого явления.

Тогда выбираем уравнение тренда, следующее по величине коэффициента детерминации, а именно – полином 2-й степени. Уравнение в целом статистически значимо, параметры a1 и a2 также статистически значимы (8,271 > 2,447 и 6,285 > 2,447), следовательно, полином 2-й степени может быть признан отражающим реальную тенденцию изучаемого явления.

 

Теперь построим уравнения тренда для ряда экспорта Великобритании за  2001 – 2007 гг.

На рис. 4.25 – 4.26 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда.

На рис. 4.27 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда.

Таким образом, уравнение линейной модели регрессии имеет вид:

.

 

Рис. 4.25. Результаты расчета параметров линейной модели тренда

Рис. 4.26. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда

 

Рис. 4.27. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                для линейной модели тренда

На рис. 4.28 – 4.29 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени.

На рис. 4.30 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 2-й степени.

 

Рис. 4.28. Результаты расчета параметров полинома 2-й степени

Таким образом, уравнение параболической модели регрессии имеет вид:

.

 

Рис. 4.29. Результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени

 

Рис. 4.30. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                для полинома 2-й степени

На рис. 4.31 – 4.32 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 3-й степени.

На рис. 4.33 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 3-й степени.

 

Рис. 4.31. Результаты расчета параметров полинома 3-й степени

Таким образом, полином 3-й степени  имеет вид:

.

 

 

Рис. 4.32. Результаты дисперсионного анализа полинома 3-й степени

 

Рис. 4.33. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                для полинома 3-й степени

На рис. 4.34 – 4.35. представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа экспоненциальной модели тренда.

На рис. 4.36 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для экспоненциальной модели тренда.

 

Рис. 4.34. Результаты расчета параметров экспоненциальной модели тренда

Таким образом, уравнение экспоненциальной модели регрессии имеет вид:

.

 

Рис. 4.35. Результаты дисперсионного анализа экспоненциальной модели   тренда

 

Рис. 4.36. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                для экспоненциальной модели тренда

Для выбора лучшей модели сведем полученные данные (полученные уравнения моделей трендов и коэффициенты детерминации) в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Уравнения моделей трендов и  коэффициенты детерминации

№	Модель	Уравнение
1	Линейная		0,9694
2	Полином 2-й степени		0,9754
3	Полином 3-й степени		0,9911
4	Экспоненциальная		0,9744

 

Сопоставив  значения коэффициентов детерминации для различных типов кривых можно сделать вывод о том, что для исследуемого динамического ряда (динамика экспорта Великобритании в период с 2001 по 2007 гг.) лучшей форма тренда будет полином 3-ей степени. Уравнение в целом статистически значимо, т.к. . Но при этом параметры уравнения a1, a2 и a3 статистически незначимы, т.к. |t_факт| < t_табл (1,451 < 3,182, 2,473 < 3,182 и 2,306 < 3,182). Следовательно, полином 3-ей степени не может быть признан адекватно отражающей реальную тенденцию изучаемого явления.

Тогда выбираем уравнение тренда, следующее по величине коэффициента детерминации, а именно – полином 2-й степени. Уравнение в целом статистически значимо, но параметры a1 и a2 статистически незначимы (1,693 < 2,776 и 0,985 < 2,776), следовательно, полином 2-й степени также не может быть признан адекватно отражающим реальную тенденцию изучаемого явления.

Следующая модель – экспоненциальная. Уравнение в целом статистически значимо, его параметры тоже, следовательно, экспоненциальная модель может быть признана отражающей реальную тенденцию развития изучаемого явления.

 

Рис. 4.36 Исходный динамический ряд  и нанесенные линии тренда каждого  периода (экспорт)

 

Важнейшим элементом оценки качества выбранной модели является анализ автокорреляции в остатках, т.е. в отклонениях  исходных значений динамического ряда от рассчитанных значений по уравнению тренда.

Рассчитаем  коэффициенты автокорреляции в остатках выбранных (лучших) уравнениях тренда за последние периоды по экспорту и по импорту.

На рис. 5.1 представлена таблица коэффициентов  автокорреляции в остатках (экспоненциальная модель) по ряду экспорта Великобритании за период с 2001 по 2007 гг., на рис. 5.2 - графическое представление рассчитанных коэффициентов.

 

Рис. 5.1. Таблица коэффициента автокорреляции в остатках экспорта в период с 2001 по 2007 гг.

Рис. 5.2. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках экспорта в период с 2001 по 2007 гг.

Статистическая значимость коэффициентов  автокорреляции проверяется на основе t-статистики, которая рассчитывается как отношение величины коэффициента автокорреляции (Auto-Corr.) к его стандартной ошибке (Std.Err.). Если (распределение Стьюдента), величина коэффициента статистически значима, что говорит о наличии автокорреляции. В данном случае, величина коэффициента статистически незначима, т.к. (1,061<2,447).

Оценка  также может быть осуществлена исходя из уровня значимости принятия нулевой  гипотезы. Нулевая гипотеза в данном случае формулируется как утверждение о незначимости коэффициента автокорреляции: . Гипотеза принимается при условии, что . В данном случае, нулевая гипотеза не отклоняется, поскольку ( ); т.е., автокорреляция в остатках анализируемого уравнения тренда отсутствует, что свидетельствует о возможности использования его для прогнозирования.

Наиболее распространенным статистическим критерием оценки автокорреляции в остатках, является  критерий Дарбина-Уотсона (d₀). Значение критерия изменяется в интервале от «0» до «4». При   0 < d < 2 – автокорреляция положительная, если 2 < d < 4 – автокорреляция отрицательная.

Близость величины критерия к 2 говорит об отсутствии или несущественной автокорреляции. Оценки, получаемые по критерию d, являются интервальными. Существуют таблицы значений критерия Дарбина-Уотсона, составленные с учетом числа наблюдений в динамическом ряду и числа параметров в уравнении тренда.

По таблице в каждом конкретном случае находят нижнюю ( ) и верхнюю ( ) границы критерия. Результат сравнения расчетного значения с табличным интерпретируется следующим образом:

1.   > ,  – H₀   –   принимается;

2.    < ,    – H₀   –   отвергается;

3. , необходимо дальнейшее исследование (например, по более протяженному временному ряду).

В данном случае гипотеза Н₀ – это нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках.

Рис. 5.3. Результаты расчета критерия Дарбина-Уотсона  по экспорту.

 

Сравниваем с табличным d₀ > d₂ – верхняя граница (1,36), следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках принимается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь построим уравнения тренда для ряда импорта Великобритании за  1980 – 1989 гг.

На рис. 4.37 – 4.38 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда.

На рис. 4.39 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда.

 

 

Рис. 4.37. Результаты расчета параметров линейной модели тренда

Таким образом, уравнение линейной модели регрессии имеет вид:

.

 

Рис. 4.38. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда

 

Рис. 4.39. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда

На рис. 4.40 – 4.41 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени.

На рис. 4.42 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 2-й степени.

 

Рис. 4.40. Результаты расчета параметров полинома 2-й степени

Таким образом, уравнение параболической модели регрессии имеет вид:

.

 

Рис. 4.41. Результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени

 

Рис. 4.42. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                для полинома 2-й степени

На рис. 4.43 – 4.44 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 3-й степени.

На рис. 4.45 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 3-й степени.

 

Рис. 4.43. Результаты расчета параметров полинома 3-й степени

Таким образом, полином 3-й степени  имеет вид:

.