Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Декабря 2011 в 21:47, реферат
Значение первой и второй квадратичной формы в дифференциальной геометрии очень важно. Если они известны первая и вторая квадратичные формы поверхности, то можно, даже не располагая уравнением поверхности и не зная ее формы, решать целый ряд относящихся к ней задач, например, находить длины лежащих на ней кривых и углы между ними, вычислять площадь частей поверхности.
Введение……………………………………………………………………………………………………2
Первая квадратичная форма………………………………………………………………….....3
Вторая квадратичная форма………………………………………………………………….....7
Нахождение коэффициентов первой
квадратичной формы для конуса и цилиндра…………………………………….......10
Нахождение коэффициентов второй
квадратичной формы для конуса и цилиндра…………………………………………12
m=N(u, v).
Значения L, M, N зависят от выбора точки (u, v) на поверхности, касательная плоскость в которой сейчас рассматривается. Обычно предполагается, что вектор m выбран в каждой точке поверхности по формуле
m=.
Подставим получившееся выражение в L, M, N:
L(u, v)=,
M(u, v)=,
N(u, v)=.
Запишем L, M, N для
функций, заданных параметрически:
L(u, v)= ,
M(u, v)= ,
N(u, v)= .
Перепишем теперь m в сокращенных обозначениях
m=L+2M+N
и умножим обе части на (Δs)2, получим
m (Δs)2=(Ldu2+2Mdudv+Ndv2),
так как Δs=du, Δs=dv.
l=(Ldu2+2Mdudv+Ndv2)+… .
Таким образом, главная часть уклонения от касательной плоскости при смещении по поверхности из точки касания M в бесконечно близкую точку М' выражается половиной квадратичной формы
Ldu2+2Mdudv+Ndv2.
Эта формула
называется второй основной квадратичной
формой на поверхности. Как и первая,
она является квадратичной формой по
отношению к дифференциалам координат,
отвечающим смещению из М в М', причем коэффициенты
ее суть функции координат u, v точки М.
Нахождение коэффициентов первой
квадратичной
формы для конуса
и цилиндра
Найдем сначала коэффициенты первой квадратичной формы для конуса. Запишем уравнение конуса в параметрическом виде
E==
==1
G==rsin()
F==0.
Теперь найдем коэффициенты первой квадратичной формы для цилиндра. Составим параметрическое уравнение цилиндра
E==r
G=
F==0.
Нахождение коэффициентов второй
квадратичной
формы для конуса
и цилиндра
Воспользуемся
параметрическим уравнением конуса
и найдем для него коэффициенты второй
квадратичной формы
L= =0,
M= =
=cos(Υ0)*r*sin(Υ0)*cos(Φ)*(-
+r*sin(Υ0)*sin(Φ)*cos(Υ0)*sin(
N= =
= cos(Υ0)*r*sin(Υ0)*cos(Φ)*(-1)*
-(-1)*r*sin(Υ0)*sin(Φ)*(-1)*r*
=r2*cos(Υ0)*sin2(Υ0)(cos2(Φ)+
Используем параметрическое
уравнение цилиндра и найдем для
него коэффициенты второй квадратичной
формы
L= =
=r*cos(Φ)*(-r)*cos(Φ)-(-r)*
M= =0,
N= =0.