Армейское право

Оглавление

      Введение……………………………………………………………………………………………………2

      Первая  квадратичная форма………………………………………………………………….....3

     Вторая  квадратичная форма………………………………………………………………….....7

     Нахождение  коэффициентов первой

     квадратичной  формы для конуса и цилиндра…………………………………….......10

     Нахождение  коэффициентов второй

     квадратичной  формы для конуса и цилиндра…………………………………………12

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

Значение первой и второй квадратичной формы в  дифференциальной геометрии очень  важно. Если они известны первая и вторая квадратичные формы поверхности, то можно, даже не располагая уравнением поверхности и не зная ее формы, решать целый ряд относящихся к ней задач, например, находить длины лежащих на ней кривых и углы между ними, вычислять площадь частей поверхности.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Первая  квадратичная форма 

1) Первая квадратичная форма служит прежде всего для измерения в бесконечно малом длин вдоль поверхности.

Выберем произвольно  точку М, зависящую от двух координат  u и v, на поверхности. Сместимся из точки M(u, v) по какой-нибудь кривой на поверхности    u=u(t),   v=v(t)    в бесконечно близкую точку M'.  Приращение параметра t будет dt, а дифференциалы криволинейных координат на поверхности будут  du=u' (t) dt,   dv=v' (t) dt.

Вычислим дифференциал радиус-векстора r вдоль нашей кривой, отвечающей смещению из M в M'.

dr=r_udu+r_vdv

Вычисли дифференциал дуги ds кривой, отвечающей тому же смещению MM' .

|ds|=|dr|=|r_udu+r_vdv|

или

ds²=dr²=(r_udu+r_vdv)²

или

ds²=r²_udu²+2r_ur_vdudv+r²_vdv².

Векторы  r_u, r_v  и их скалярные произведения зависят только от выбора точки M(u, v). Введем для этих скалярных произведений сокращенные обозначения:

r_ur_u=E(u, v),

r_ur_v=F(u, v),

r_vr_v=G(u, v).

Запишем E, F, G для функций, заданных параметрически: 

E(u, v)=,

F(u, v)=,

G(u, v)=.

Таким образом  подставляя замену получим

ds²=E(u, v)du²+2F(u, v)dudv+G(u, v)dv².

Полученное выражение  выражение в правой части называется первой квадратичной формой на поверхности и является квадратичной формой по отношению к дифференциалам du, dv. E, F, G не зависят от du и dv, а зависят лишь от выбора точки M(u, v) на поверхности, по отношению к которой квадратичная форма составлена.

Значение первой квадратичной формы заключается  в том, что она выражает квадрат  дифференциала дуги ds при бесконечно малом смещении на поверхности.    

2)  Зная первую  квадратичную форму на поверхности,  можно измерять не только длины,  но и углы между кривыми. 

Пусть из точки M выходят две кривые. Обозначим  через du, dv дифференциалы криволинейных  координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, и через dr и δr.

Получаем

dr=r_udu+r_vdv;

δr=δr_udu+δr_vdv.

Эти дифференциалы  направлены по касательным к соответствующим  кривым. Следовательно, угол между касательными можно вычислить, как угол между векторами dr и δr.

cos(dr, δr) ==

Используя замену и выражения, полученные выше, имеем

cos(dr, δr)= 

3) Первая квадратичная  форма позволяет вычислять на поверхности площади. 

Дадим определение  площади на поверхности.

Возьмем на поверхности  какую-нибудь область D. Для определенности будем считать, что она ограничена кусочно-гладкой кривой. Область D можно  рассматривать одновременно, как  область изменения параметров u, v, именно как область, которая образована значениями u, v, отвечающим точками области D. Разобьем область D, проведя на поверхности некоторое конечное число координатных линий одного и другого семейств. Область D распадется криволинейные параллелограммы, каждый из которых ограничен с двух сторон отрезками линий u и с двух сторон – отрезками линий v.

Рассмотрим один из параллелограммов. Пусть M(u, v) будет его вершина с наименьшими значениями u, v и пусть другие вершины его будут M₁(u+Δu, v), M₂(u, v+Δv), M'(u+Δu, v+Δv); MM₁ и M₂M' суть отрезки линей u, а MM₂ и M₁M' – отрезки линий v.

При переходе из M в M₁ по линии u v становится постоянным, а u получает приращение Δu, так что радиус-вектор r(u, v) получит приращение

r(u+ Δu, v) - r(u, v) = MM₁.

Заменим это приращение соответствующим дифференциалом радиус вектора r, рассматривая r, как функцию от u при закрепленном значении v. Этот дифференциал будет равен r_u Δu; смещением на этот вектор мы заменяем криволинейный переход MM₁. Совершенно аналогично заменяем криволинейное смещение MM₂ прямолинейным смещением на соответствующий частный дифференциал радиус-вектора r_u Δu. В отличие от обычного здесь Δu и Δv – не бесконечно малые, но в дальнейшем при бесконечном измельчении разбиения Δu и Δv стремятся к нулю.

Заменим криволинейный  параллелограмм прямолинейным параллелограммом, построенным на векторах r_u Δu, r_v Δv и лежащим в касательной плоскости в точке M(u, v). Этот параллелограмм приближенно заменяет криволинейный и тем точнее, чем меньше размеры последнего.

Получаем, что  площадь прямолинейного параллелограмма  равна

Δσ=|[r_u Δu, r_v Δv]|=|[r_u, r_v]|ΔuΔv.

Используем формулы

|[a,b]|=|a|*|b|*sin(a, b), ab=|a|*|b|*cos(a, b)

|[a,b]|²+(ab)²=a²b²

и, воспользуясь заменами, проведенными ранее, применим их к векторам r_u, r_v

|[r_u, r_v]|²+(r_ur_v)²= r_u²r_v²

|[r_u, r_v]|²=EG-F², |[r_u, r_v]|=.

Отсюда площадь  Δσ примет вид

Δσ= ΔuΔv.

Составим сумму  всех площадей

=

Будем теперь бесконечно измельчать разбиение, т.е. бесконечно увеличивать число начерченных  координатных линий из того и другого  семейства с таким расчетом, чтобы  наибольшее значение Δu в данном разбиении стремилось к нулю, ровно как и наибольшее значение Δv.

Предел, к которому стремится при этом сума площадей, называется площадью области D на поверхности.

Покажем, что  этот предел существует и зависит  только от выбора области D на поверхности (и не зависит от способа измельчения  разбиения и от выбора криволинейных  координат на поверхности).

Обратимся к  теории кратных интегралов. Т.к. непрерывная функция от u, v, то указанный предел действительно существует, не зависит от способа измельчения разбиения и равен двойному интегралу от как по области изменения переменных u, v. Обозначим этот предел через σ:

σ =lim=.

Покажем, что  полученное выражение не зависит  от выбора криволинейных координат  на поверхности. Допустим, что мы перешли  к новым криволинейным координатам U, V. Рассматривая r, как функцию новых  переменных U, V  r=r(U, V), а U, V – как функции от u, v, мы можем продифференцировать r по u и по v, как сложную функцию

r_u=r_U+rv,

r_v=r_U+rv. 

Таким образом, при другом выборе криволинейных  координат u, r на поверхности в каждой данной точке поверхности частные производные радиус-вектора по u и v, r_u и r_v меняют свои значения, хотя сам радиус-вектор r остается без изменения. Поэтому коэффициенты E, F, G в тех же точках будут уже другими.

Составим векторное  произведение

[r_u, r_v] =

Возьмем правую и левую части равенства по модуля и, используя замену, получим 

где означают коэффициенты первой квадратичной формы в новых криволинейных координатах U, V.

Подставляя полученное выражение в интеграл, получим 

Пользуясь формулой преобразования переменных под знаком кратного интеграла, мы можем переписать правую часть в новом виде, переходя к переменным U, V: 

Выведенная формула  показывает, что результат вычисления площади данного куска поверхности  будет один и тот же в любой  системе криволинейных координат  на поверхности. Определение площади является, следовательно, законным.

Вторая  квадратичная форма 

Пусть MM₁ – одна из кривых на поверхности, проходящих через M. Предположим, что вдоль этой кривой за параметр принята длина дуги s, так что текущие координаты u, v выражаются, как функции s u=u(s), v=v(s) и, следовательно, r=r{u(s), v(s)}.

Пусть длина  дуги равна Δs, т.е. Δs есть приращение параметра s при смещении по кривой из М в M'. Соответствующее приращение Δr радиус-вектора r равно , так что, разлагая это приращение в ряд Тейлора, можно записать

 Δr= Δs+(Δs)²+…,

где , … взяты в точке М. Пусть теперь Δs стремится к нулю, т.е. смещение берется бесконечно малым. Если вести исследование с точностью 1-ого порядка, то в правой части достаточно принять во внимание лишь первое слагаемое Δs, совпадающее с дифференциалом dr. В таком случае смещение можно считать направленным по касательной к кривой в точке М и, следовательно, лежащим в плоскости, касательной к поверхности в М.

Пусть P будет  основание перпендикуляра, опущенного из М' на касательную плоскость. Построим в точке М единичный вектор m, направленный по нормали к поверхности (в произвольно выбранную сторону). Очевидно, что тогда вектор параллелен m, так что можно записать

=lm,

где l – численный коэффициент, положительный, если уклонение от касательной плоскости направлено в сторону m и отрицательный – если оно направлено в обратную сторону. Кроме того так как m – вектор единичный, то l по модулю равен уклонению .

+ =  ӏm,

 ӏm== Δs+(Δs)²+… .

Вычислим уклонение l, умножив скалярно обе части  равенства на m. Так как m перпендикулярен  к касательной плоскости с  лежащими в ней векторами  и Δs, то первые слагаемые в левой и в правой частях обратятся в нуль. Так как m – единичный, то m²=1. В итоге получаем

l=(Δs)²+… .

Вычисленное уклонение l будет бесконечно малым 2-го порядка. Скалярное произведение m можно представить в двух видах. Во-первых, дифференцируя r по s, получим

.

Дифференцируем  по s еще раз, учитывая, что

r_u=r_u( u(s) , v(s)), r_v=r_v( u(s) , v(s)).

Получаем

.

Через , , обозначены вторые частные производные.

Умножим скалярно на m, учитывая, что r_u, r_v лежат в касательной плоскости и перпендикулярны к m, получим

m+.

Введем обозначения

=L(u, v),

=M(u, v),