Корреляционный и регрессионный анализ

 

	Коэффициенты(bi)	Стандартная ошибка (Ŝbi)	t-статистика (tнабл)		P-Значение	Нижние 95% (βimin)	Верхние 95% (βimax)	Нижние 98,0% (βimin)		Верхние 98,0% (βimax)
Y-пере-сечение	-492,412	154,66547		-3,184	0,0026	-803,56	-181,265		-864,9		-119,92
X2	257,7312	101,85144		2,5305	0,0148	52,8326	462,63		12,438		503,02
X3	395,7139	108,4907		3,6475	0,0007	177,459	613,969		134,43		656,99

 

Оценка коэффициентов  в случае двух объясняющих переменных имеет вид:

,

а уравнение регрессии  имеет вид:

 

Проверим на уровне α=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу  H₀: β₂=β₃=0.      Для этого в результатах дисперсионного анализа находим наблюдаемое значение F-статистики   F_набл= 8,4626.

С помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР или по таблицам F-распределения для уровня значимости α=0,05  и числа степеней свободы числителя ν₁=k=2  и знаменателя ν₂=n-k-1=47  находим критическое значение F-статистики, равное

                                           F_кр = 3,195056.

Так как наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение 8,4626> 3,1951, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05.  Следовательно, хотя бы один элемент вектора β=(β₂,β₃)^T  значимо отличается от нуля.

Проверим значимость отдельных  коэффициентов уравнения регрессии, т.е. гипотезу

Наблюдаемые значения t-статистик указаны в таблице результатов в столбце t-статистика.

	Коэффициенты	t-статистика
Y-пере-сечение	-492,4116101	-3,183720371
X2	257,7312463	2,530462418
X3	395,713881	3,647445267

 

Их необходимо сравнить с  критическим значением  t_кр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n – k - 1.

Для этого используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР,  введя в предложенное меню вероятность  α=0,05 и число степеней свободы   ν= n–k-1=50-3-1=47.

Получаем   t_кр= 2,01174048.

Для всех рассматриваемых  коэффициентов β₀,β₂,β₃ наблюдаемое значение t-статистики  больше критического по модулю. Следовательно, гипотеза о равенстве нулю коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Также для всех этих коэффициентов   p-значения  не превышают 0,05 и доверительные интервалы не включают ноль, т.е. по всем проверочным критериям эти коэффициенты являются значимыми.

Т.к. в данном случае все  коэффициенты оказались значимыми, процесс исключения переменных прекращается.

 

Окончательная оценка регрессии  со значимыми коэффициентами имеет  вид:

 

 

Для значимых коэффициентов  регрессии можно найти с заданной доверительной вероятностью γ интервальные оценки.

Как уже обсуждалось выше, доверительные интервалы для  регрессионных коэффициентов выдаются Excel в последних столбцах таблицы результатов – нижние 95% и верхние 95%  и нижние 98% и верхние 98% - с заданными уровнями надёжности  для γ=0,95 (выдаётся всегда)  и γ=0,98 (выдаётся при установке соответствующей дополнительной надёжности).

	Коэффициенты	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 98,0%	Верхние 98,0%
Y-пересечение	-492,4116101	-803,5584	-181,26482	-864,89943	-119,924
X2	257,7312463	52,8325774	462,629915	12,43783078	503,0247
X3	395,713881	177,458753	613,969009	134,4308476	656,9969

 

Таким образом, интервальные оценки значимых генеральных коэффициентов  регрессии имеют вид:

 

 

 

 

 

Интерпретация результатов

 

Величина R² характеризует долю общей дисперсии зависимой переменной, обусловленную воздействием объясняющих переменных. Т.о. около 26,48% вариации индекса снижения себестоимости продукции (Y) объясняется вариацией удельного веса покупных изделий (X₂) и коэффициентом сменности оборудования (X₃), а 73,52% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. Таким образом, можно сделать вывод, что модель недостаточно адекватно отражает исследуемый процесс.

Коэффициент регрессии показывает среднюю величину изменения зависимой  переменной Y при изменении объясняющей переменной X на единицу собственного изменения. Знак при коэффициенте указывает направление этого изменения.

Коэффициент регрессии при X₂ показывает, что при росте оборачиваемости ненормируемых оборотных средств на единицу рентабельность Y  в среднем увеличивается на единиц. Построенная выше интервальная оценка показывает, что с вероятностью 0,95  при росте оборачиваемости ненормируемых оборотных средств на единицу увеличение рентабельности будет в пределах от до единиц.

Коэффициент при X₃ свидетельствует о том, что при росте коэффициента сменности оборудования на единицу индекс снижения себестоимости продукции в среднем увеличивается на 395,7139. Из полученной интервальной оценки можно сделать вывод, что с вероятностью 0,95  при росте фондоотдачи на единицу увеличение рентабельности будет в пределах от 177,4588 до 613,9690 единиц.

 

3.3. Сравнение исходных  данных с рассчитанными 

по уравнению  регрессии

В графе Предсказанное Y мы получили Y, рассчитанное по уравнению регрессии, т.е. Ŷ. Добавим столбец исходных данных Y (таб.12) и, выделив область этих двух столбцов,  построим диаграмму сравнения расчётных и реальных значений исследуемого показателя. Можно ранжировать предприятия в порядке возрастания значения признака и построить другую диаграмму сравнения (рис. 2).

Отклонения расчетного значения Y от фактического показаны в графе Остатки. Проанализировав графу Стандартные остатки можно прийти к выводу, что предприятия № 25, 39 демонстрируют большую рентабельность, чем в среднем по всем рассматриваемым предприятиям. А для предприятия № 31,32 характерна обратная ситуация – отрицательное отклонение от линии регрессии.

Таблица 12

Сравнительная таблица исходных данных показателя рентабельности (Y) с рассчитанными с помощью построенной линейной регрессионной модели               

 

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
1	152,8089054	51,39109461	0,502783745
2	164,2121966	45,38780338	0,444050665
3	180,5088771	42,09112294	0,411797658
4	198,3677241	38,33227593	0,375023054
5	144,8946278	-82,89462777	-0,81099793
6	106,5996213	-53,49962128	-0,523412473
7	31,04930343	141,0506966	1,379966664
8	123,5467671	-67,04676714	-0,655950703
Продолжение таб.12   9	10,43080372	42,16919628	0,412561487
10	102,7459272	-56,1459272	-0,549302554
11	39,7963867	13,4036133	0,131133982
12	7,306470568	22,79352943	0,223000039
13	45,13335186	101,2666481	0,990740223
14	-0,528911553	18,62891155	0,182255583
15	73,09455926	-59,49455926	-0,582063829
16	92,33323262	-2,533232618	-0,024783831
17	62,42062895	0,079371054	0,000776525
18	121,0483502	-74,74835017	-0,731298986
19	101,2626561	2,237343876	0,021889009
20	142,864336	-69,564336	-0,680581287
21	103,6576284	-27,05762836	-0,264717765
22	119,0180584	-46,0080584	-0,450118918
23	26,62403942	5,675960575	0,055530647
24	182,7215091	16,87849094	0,165130378
25	217,9710779	380,1289221	3,718983694
26	149,216447	-78,01644704	-0,763272347
27	65,64840683	25,15159317	0,246070108
28	95,74335074	-13,64335074	-0,133479449
29	129,5341977	-53,33419772	-0,521794055
30	117,1946561	2,305343904	0,022554286
31	140,8340442	-118,9340442	-1,163588839
32	175,0930164	-126,6930164	-1,239498588
33	213,3634737	-39,86347365	-0,390003496
34	154,9180927	-80,81809266	-0,79068219
35	105,5055799	-36,9055799	-0,361065002
36	171,3971133	-110,5971133	-1,082024642
37	191,3651476	164,2348524	1,606788388
38	150,0492527	114,7507473	1,122661637
39	148,0189609	378,5810391	3,703840011
40	174,3391062	-55,73910625	-0,545322429
41	116,5441907	-79,44419067	-0,777240648
42	138,9071972	-81,20719719	-0,794488987
43	126,774545	-75,17454503	-0,735468655
44	70,90647649	-6,206476491	-0,060720938
45	5,926644221	42,37335578	0,414558877
46	47,42487936	-32,42487936	-0,317228158
47	161,7383289	-74,23832889	-0,726309203
48	42,5560394	65,8439606	0,644183069
49	268,1918471	-0,89184707	-0,008725368
50	145,8308782	-111,6308782	-1,09213846

 

 

 

Рис.2. Диаграммы сравнения  исходных данных показателя индекса снижения себестоимости продукции (Y) с рассчитанными с помощью линейной регрессионной модели