Корреляционный и регрессионный анализ

 

 

 

 

 

 

 

 

3.  Расчёт множественных коэффициентов корреляции

 

Множественные коэффициенты корреляции служат мерой связи одной  переменной с совместным действием  всех остальных показателей.

Вычислим точечные оценки множественных коэффициентов корреляции.  Множественный коэффициент корреляции, например,  для 1-го показателя Y вычисляется по формуле:

                         

где |R| - определитель корреляционной матрицы R;

R_ii – алгебраическое дополнение элемента r_ii корреляционной матрицы R.

 Все алгебраические дополнения R_ii были найдены в п.2.2 на этапе расчёта частных коэффициентов корреляции, поэтому осталось вычислить только определитель самой корреляционной матрицы.

R₁₁=(-1)¹⁺¹·M₁₁= 0,707461

R₂₂=(-1)²⁺²·M₂₂= 0,525866

R₃₃=(-1)³⁺³·M₃₃= 0,270791

R₄₄=(-1)⁴⁺⁴·M₄₄= 0,769891

R₅₅=(-1)⁵⁺⁵·M₅₅= 0,687242

 

Чтобы найти определитель корреляционной матрицы, воспользуемся  встроенной математической функцией Excel  МОПРЕД.

Получим     |R| =0,069523

 

Таким образом, получаем:

0,949594

0,931554

0,939144

0,95378

0,94807

 

Множественный коэффициент  детерминации R²_i/{..})    (и его выборочная оценка r²_i/{..})  показывает долю дисперсии рассматриваемой случайной величины, обусловленную влиянием остальных переменных, включённых в корреляционную модель.

Соответственно  (1- R²_i/{..}) показывает долю остаточной дисперсии данной случайной величины, обусловленную влиянием других, не включённых в исследуемую модель факторов.

Множественные коэффициенты детерминации получаются возведением  соответствующих множественных  коэффициентов корреляции в квадрат (таб. 10).  

Проверим значимость полученных множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Проверка значимости, т.е. гипотезы о равенстве нулю соответствующего множественного коэффициента корреляции, осуществляется с помощью статистики:  

                                     ,

где l – порядок множественного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае l=4, например, ), а n – количество наблюдений.

Произведя расчёты, получим (таб.10).

Для определения значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации нужно найти критическое  значение F-распределения для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы числителя ν₁=l и знаменателя ν₂=n-l-1.

Можно найти значения F_кр  по таблицам математической статистики  или с помощью встроенной функции Excel.

Получаем 

 F_кр(0,05; 4; 45)= 2,57873918.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Таблица 10

Множественные  коэффициенты корреляции и детерминации исследуемых  показателей с выделением значимых коэффициентов

(на уровне  значимости α=0,05)

Множественный коэффициент  корреляции		Множественный коэффициент  детерминации r2	Значение статистики  F набл
rY /{..}	0,949593835	0,901728451	103,2287083
rX1/{..}	0,931553953	0,867792768	73,84368066
rX2/{..}	0,939143815	0,881991105	84,08179679
rX3/{..}	0,953780495	0,909697232	113,3308987
rX4/{..}	0,948070279	0,898837253	99,9569449

 

Если наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение  F_кр=2,57873918, то гипотеза о равенстве нулю соответствующего множественного коэффициента корреляции отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, у нас все коэффициенты  значимо отличаются от нуля.

Полученные данные позволяют  сделать следующие выводы.

Множественный коэффициент  корреляции =0,9496 значим и имеет достаточно высокое значение, что говорит о том, показатель Y – индекс снижения себестоимости продукции имеет тесную связь с многомерным массивом факторных признаков X₁ – трудоемкость единицы продукции, X₂ – удельный вес покупных изделий,  X₃ -  коэффициент сменности оборудования и X₄ – фондовооруженность труда. Это даёт основание для проведения дальнейшего регрессионного анализа.

Множественный коэффициент  детерминации r²_Y/{..}=0,9017 показывает, что 0,9017 %  доли дисперсии Y – индекс снижения себестоимости продукции, обусловлены изменениями факторных признаков.

Факторные признаки  тоже имеют достаточно высокие значения множественных коэффициентов корреляции и детерминации, что говорит об их сильной взаимосвязанности.

Итак, полученные результаты корреляционного анализа, показавшие, что  показатель Y – индекс снижения себестоимости продукции имеет тесную связь с многомерным массивом факторных признаков, позволяют перейти ко второму этапу статистического исследования – построению регрессионной модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

 

После того как с помощью  корреляционного анализа выявлено наличие статистически значимых связей между переменными и оценена  степень их тесноты, обычно переходят  к математическому описанию конкретного  вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. С этой целью  подбирают класс функций, связывающий  результативный показатель Y и аргументы X₁, X₂, X_{3 ,...} X_k, отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров уравнения связи и анализируют точность полученного уравнения.

Наиболее часто используется множественная линейная модель регрессионного анализа,  уравнение которой имеет  вид:

                          

для всех i=1,2,…n, или в матричной форме: ,                 

где

                     

 

Исследуем на основе линейной регрессионной модели зависимость  индекса снижения себестоимости продукции (Y) от трудоемкости единицы продукции (X₁), удельного веса покупных изделий (X₂), коэффициента сменности оборудования (X₃) и фондовооруженности труда (X₄).

3.1. Проверка исходных  данных на мультиколлинеарность

Одним из основных препятствий  эффективного применения множественного регрессионного анализа является мультиколлинеарность. Она  возникает в случаях существования  достаточно тесных линейных статистических связей между объясняющими переменными X₁, X₂, X_{3 ,...} X_k.        В результате мультиколлинеарности матрица парных коэффициентов корреляции становится слабообусловленной, близкой к вырожденной.

Точных количественных критериев  для определения наличия или  отсутствия мультиколлинеарности не существует. Однако существуют некоторые рекомендации по выявлению этого негативного  явления,  на которые следует обратить внимание. На практике о наличии  мультиколлинеарности обычно судят  по матрице парных коэффициентов  корреляции. Если один из элементов  матрицы R больше 0,8 ,

т.е.  | r_ij | > 0,8 , то считают, что имеет место мультиколлинеарность и в уравнение регрессии следует включать только один из показателей X_i или X_j  (как правило, тот, который имеет наибольшую связь с Y).

Прежде, чем переходить к  построению регрессионной модели, необходимо проверить объясняющие переменные на наличие мультиколлинеарности. Для  этого рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции между  факторными признаками X_i.

 

 

 

 

 

 

Таблица 11

Матрица парных коэффициентов  корреляции факторных признаков

	X1	X2	X3	X4
X1	1	0,016127603	-0,139695773	-0,20031931
X2	0,016127603	1	-0,180616129	-0,0935197
X3	-0,139695773	-0,180616129	1	0,485923242
X4	-0,200319307	-0,093519703	0,485923242	1

 

Поскольку значения коэффициентов  корреляции для всех пар объясняющих  переменных не превышают по модулю 0,8, то нет необходимости сокращать  набор объясняющих переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.  Построение  регрессионной модели  и её  интерпретация

Будем использовать алгоритм пошагового регрессионного анализа с последовательным исключением незначимых регрессоров, пока все входящие в регрессионную модель факторы не будут иметь значимые коэффициенты.

Построение и оценка регрессионной  модели осуществляется в Excel с помощью модуля регрессии пакета анализа данных.

Итак, приступаем к анализу.

I ЭТАП РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

В модель включены все факторные  признаки  (X₁, X₂, X_{3 ,} X₄).

Результаты регрессионного анализа выдаются в следующем  виде (в скобках указаны принятые у нас обозначения):

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,54296618
R-квадрат	0,294812272
Нормированный R-квадрат	0,232128919
Стандартная ошибка	104,4570545
Наблюдения	50

 

Дисперсионный анализ
		Df (число степеней свободы ν)		SS(сумма квадратов отклонений Q)				MS(средний квадрат MS=SS/ν)			F(Fнабл= MSR/MSост)		Значимость F
Регрессия		4		205271,6045(QR)				51317,9011			4,70319878		0,002948273
Остаток		45		491007,431(Qост)				10911,2762
Итого		49		696279,0351(Qобщ)
	Коэффи-циенты (bi)		Стандарт-ная  ошибка (Ŝbi)		t-статис-тика (tнабл)		P-Значение		Нижние 95% (βimin)	Верхние 95% (βimax)		Нижние 98,0% (βimin)		Верхние 98,0% (βimax)
Y-пересе-чение	-432,811		160,701399		-2,69326		0,0099058		-756,48	-109,142		-820,441		-45,1805
X1	-11,346		17,6512974		-0,64279		0,5236234		-46,898	24,20549		-53,923		31,23093
X2	257,8804		101,948974		2,529504		0,0149943		52,5446	463,2161		11,96762		503,7931
X3	319,0281		123,856529		2,575787		0,0133562		69,5682	568,4879		20,27175		617,7843
X4	7,903646		7,09745276		1,113589		0,2713685		-6,3914	22,19865		-9,21623		25,02352