Корреляционный и регрессионный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

 

Кафедра математической статистики и эконометрики

 

 

 

 

Курсовая работа:

«КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ»

 

 

 

Выполнила: Зайнуллина Э.А.

гр. ДЭТ-201

Преподаватель: к.т.н., доцент

Миронкина Ю.Н.

 

 

 

 

Москва 

2011

Содержание

1. Подготовка данных…………………………………………..…………….3
2. Корреляционный анализ экономических показателей…..5
1. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции………5
2. Расчёт частных коэффициентов корреляции. Сравнение частных и парных коэффициентов корреляции……………………………11
3. Расчёт множественных коэффициентов корреляции……………19
3. Регрессионный анализ экономических показателей…………………24

3.1 Проверка исходных данных  на мультиколлиниарность……………………………………………..…….25

3.2 Построение регрессионной  модели и её интерпретация…………..27

3.3 Сравнение исходных  данных с рассчитанными по  уравнению регрессии………………………………………………………………..…40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ПОДГОТОВКА ДАННЫХ

Таблица 1

Исходные данные

№п/п	Y	X1	X2	X3	X4
1	204,2	0,23	0,40	1,37	6,40
2	209,6	0,24	0,26	1,49	7,80
3	222,6	0,19	0,40	1,44	9,76
4	236,7	0,17	0,50	1,42	7,90
5	62,0	0,23	0,40	1,35	5,35
6	53,1	0,43	0,19	1,39	9,90
7	172,1	0,31	0,25	1,16	4,50
8	56,5	0,26	0,44	1,27	4,88
9	52,6	0,49	0,17	1,16	3,46
10	46,6	6,36	0,39	1,25	3,60
11	53,2	0,37	0,33	1,13	3,56
12	30,1	0,43	0,25	1,10	5,65
13	146,4	0,35	0,32	1,15	4,28
14	18,1	0,38	0,02	1,23	8,85
15	13,6	0,42	0,06	1,39	8,52
16	89,8	0,30	0,15	1,38	7,19
17	62,5	0,32	0,08	1,35	4,82
18	46,3	0,25	0,20	1,42	5,46
19	103,5	0,31	0,20	1,37	6,20
20	73,3	0,26	0,30	1,41	4,25
21	76,6	0,37	0,24	1,35	5,38
22	73,01	0,29	0,10	1,48	5,88
23	32,3	0,34	0,11	1,24	9,27
24	199,6	0,23	0,47	1,40	4,36
25	598,1	0,17	0,53	1,45	10,31
26	71,2	0,29	0,34	1,40	4,69
27	90,8	0,41	0,20	1,28	4,16
28	82,1	0,41	0,24	1,33	3,13
29	76,2	0,22	0,54	1,22	4,02
30	119,5	0,29	0,40	1,28	5,23
31	21,9	0,51	0,20	1,47	2,74
32	48,4	0,36	0,64	1,27	3,10
33	173,5	0,23	0,42	1,51	10,44
34	74,1	0,26	0,27	1,46	5,65
35	68,6	0,27	0,37	1,27	6,67
36	60,8	0,29	0,38	1,43	5,91
37	355,6	0,01	0,35	1,50	11,99
38	264,8	0,02	0,42	1,35	8,30
39	526,6	0,18	0,32	1,41	1,63
40	118,6	0,25	0,33	1,47	8,94
41	37,1	0,31	0,29	1,35	5,82
42	57,7	0,38	0,30	1,40	4,80
43	51,6	0,24	0,56	1,20	5,01
44	64,7	0,31	0,42	1,15	4,12
45	48,3	0,42	0,26	1,09	5,10

 

Продолжение таб.1

46	15,0	0,51	0,16	1,26	3,49
47	87,5	0,31	0,45	1,36	4,19
48	108,4	0,37	0,31	1,15	5,01
49	267,3	0,16	0,08	1,87	11,44
50	34,2	0,18	0,68	1,17	7,67

 

 

Y - индекс снижения себестоимости  продукции;
Х1 - трудоемкость единицы продукции;
Х2 - удельный вес покупных изделий;
Х3 - коэффициент сменности оборудования;
Х4 - фондовооруженность труда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ  АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

 

2.1. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции

 

Парные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между  двумя выбранными переменными на фоне действия остальных показателей  и являются самыми распространёнными  показателями тесноты связи при  статистическом анализе данных.

Расчёт матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции осуществляется в Excel с помощью пакета анализа данных.

Корреляционная матрица  рассчитывается Excel в следующем виде:

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1
X1	-0,16161	1	0,016128
X2	0,238011	0,016128	1
X3	0,405706	-0,1397	-0,18062	1
X4	0,329475	-0,20032	-0,09352	0,485923	1

 

Для дальнейших расчётов необходимо привести корреляционную матрицу к обычному виду, заполнив верхний треугольник таблицы. При этом надо учесть, что матрица парных коэффициентов корреляции является симметричной и коэффициенты  r_ij=r_ji.

Итак, получили матрицу парных коэффициентов корреляции размерности k×k (в нашем случае 5×5).

 

 

Таблица 2

Матрица парных коэффициентов  корреляции исследуемых экономических  показателей

 

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1	-0,16161	0,238011	0,405706	0,329475
X1	-0,16161	1	0,016128	-0,1397	-0,20032
X2	0,238011	0,016128	1	-0,18062	-0,09352
X3	0,405706	-0,1397	-0,18062	1	0,485923
X4	0,329475	-0,20032	-0,09352	0,485923	1

 

 

Теперь необходимо проверить  значимость полученных коэффициентов  корреляции, т.е. гипотезу H₀: ρ=0. Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистик для всех коэффициентов по формуле:

                                        

и построим матрицу наблюдаемыx значений t-статистик для всех коэффициентов r_ij   (таб.3).

Наблюдаемые значения t-статистик необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n-2=50-2=48. Для этого используем встроенную функцию Excel и получаем   t_кр=2,010635

 

 

 

 

Таблица 3

Матрица наблюдаемыx значений t-статистик парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

t набл	Y	X1	X2	X3	X4
Y		-1,13461	1,697776	3,075277	2,417662
X1	-1,13461		0,11175	-0,97742	-1,41657
X2	1,697776	0,11175		-1,27227	-0,65078
X3	3,075277	-0,97742	-1,27227		3,85191
X4	2,417662	-1,41657	-0,65078	3,85191

 

По результатам, представленным в табл. 3, наблюдаемое значение   t-статистики больше критического t_кр=2,010635 по модулю для парных коэффициентов корреляции  . Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05,  т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Для остальных коэффициентов  наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, т.е. коэффициенты

- незначимы.

Для проверки значимости парных коэффициентов корреляции можно  также воспользоваться таблицами  Фишера-Иейтса для нахождения критического значения r_кр для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы   ν=n-2=50-2=48.   

По таб. Фишера-Иейтса r_кр (α=0,05; ν=48)= 0,273

Если соответствующий  коэффициент | r_ij | > r_кр, то он считается значимым.

Отметим в матрице парных коэффициентов корреляции значимые.

 

 

Таблица 4

Матрица парных коэффициентов  корреляции исследуемых  показателей  с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1	-0,16161	0,238011	0,405706	0,329475
X1	-0,16161	1	0,016128	-0,1397	-0,20032
X2	0,238011	0,016128	1	-0,18062	-0,09352
X3	0,405706	-0,1397	-0,18062	1	0,485923
X4	0,329475	-0,20032	-0,09352	0,485923	1

 

Для значимых парных коэффициентов корреляции можно построить с   заданной   надёжностью γ   интервальную   оценку   ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max       с помощью Z-преобразования Фишера:

                                          

                                                     

Алгоритм построения интервальной оценки для генерального коэффициента корреляции следующий.

1). Z_r По найденному выборочному коэффициенту корреляции  r                с     помощью Z-преобразования Фишера находят соответствующее значение Z_r ,   являющееся гиперболическим арктангенсом r :

                                             

 

2). ΔZ Найдём значение t_γ, соответствующее заданной надёжности γ=0,95.                - значение функции Лапласа.

В нашем случае для надёжности γ=0,95:   F(t)=0,975;    t_γ =1,959964 (по таблице t_γ =1,96).

Находим   0,28589

 

3). Z_min и Z_max   Теперь можно найти Z_min и Z_max:

Z_min = Z_r  – ΔZ;      Z_max= Z_r  + ΔZ

 

4). ρ_min и ρ_max   Наконец, использовав обратное преобразование Фишера, находят нижнюю и верхнюю границы для генерального коэффициента корреляции   ρ_min и ρ_max   , соответствующие Z_min и Z_max.

Соответствующие значения ρ_min и ρ_max являются гиперболическими тангенсами Z_min и Z_max :                 .

Построим с надёжностью  γ=0,95 и с учётом найденного 0,28589 доверительные интервалы для всех значимых парных коэффициентов корреляции, полученных нами.  Расчёты представим в виде таблицы.

Таблица 4

Расчёт доверительных  интервалов для парных генеральных  коэффициентов корреляции исследуемых  экономических показателей с  надёжностью γ=0,95

	r	Zr	Zmin	Zmax	ρmin	ρmax
Y X3	0,405706	0,4305	0,1446	0,7164	0,143572	0,614644
Y X4	0,329475	0,3422	0,0563	0,6281	0,05629	0,556763
X3 X4	0,485923	0,5307	0,2448	0,8166	0,240043	0,673215

 

Таким образом, доверительные  интервалы с надёжностью γ=0,95 для всех значимых парных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:    

P(0,143572≤ ρ_YX3 ≤ 0,614644)=0,95

P(0,05629≤ ρ_YX4 ≤ 0,556763)=0,95