Математический аппарат синергетики: модели численности народонаселения

Прежде чем перейти к обсуждению моделей с реинкарнацией, рассмотрим два вспомогательных примера.

4. Хождение по кругу

Пример 1. Пусть имеются два помещения, скажем, два зала (зал-1 и зал-2), заполненные людьми, которые постоянно переходят из одного зала в другой. Размеры залов для простоты примем одинаковыми. N1 — число людей в зале-1, N2 — число людей в зале-2, n12 — число людей, переходящих из зала-1 в зал-2 в единицу времени, n21, — число людей, переходящих из зала-2 в зал-1 в единицу времени. Условимся, что общее число людей No, равное сумме N1 и N2, остаётся неизменным.

Будем считать, что число переходящих пропорционально плотности населения в том зале, откуда переходят. Поскольку размеры залов приняты одинаковыми, это означает, что число переходящих пропорционально численности людей в соответствующем зале: n12 = kN1; n21, = kN2. Тогда изменение численности людей в каждом зале за малое время dt равно: dN2 = (п12 – n21,)dt = k(N1 – N2)dt; dN1 = (п21 – n12)dt = k(N1 – N2)dt = - dN2. Решение уравнения для N2 даёт: N2(t)= [No-uoexp(-2kt)]/2, где uo = No-2N20>0. При t → ∞ экспоненциальный член стремится к нулю, и N2 (t) → No/2. То есть, каково бы ни было начальное распределение населения по помещениям, по прошествии достаточно большого интервала времени устанавливается равночисленное распределение: N1 = N2 = No/2.

Пример 2. Теперь несколько усложним задачу. Пусть помещения имеют разные размеры (разные площади). Для простоты положим, что они отличаются лишь длиной зала X, а ширина у обоих залов одинакова. Тогда плотность населения в каждом зале пропорциональна 1/Х. Если будем по-прежнему считать, что число переходящих из одного зала в другой пропорционально плотности населения в том зале, откуда переходят, то численность

N2 = X2{No - uoexp[-kt(X1 + Х2)/Х1Х2] }/(Х1 + X2), где uo = N20 – N2(X1 + Х2)/Х2. При t → ∞ получаем: N2 = NoX2/(X1+X2), N1 = NoX1/(X1+X2), N1/N2 = Х1/Х2.

Итак, по истечении определённого времени процесс стабилизируется, и в обоих залах устанавливается постоянная численность населения, пропорциональная длине зала.

5. Квазистационарный процесс

Теперь перейдём к рассмотрению модели народонаселения с учётом реинкарнации. Рассмотрим два мира: мир тонкий (мир-1) и мир плотный (мир-2). Соответственно, все величины, относящиеся к миру-1, будем обозначать индексом 1, а все величины, относящиеся к миру-2, индексом 2.

N1(t), N2(t) — численность населения в соответствующих мирах в момент времени t; X1, X2 — средняя продолжительность жизни в них; n12 определяет темп перехода из мира-1 в мир-2, это число жителей, переходящих из мира-1 в мир-2 в единицу времени; n21 — число жителей, переходящих из мира-2 в мир-1 в единицу времени. Величина n12, характеризует рождаемость в плотном мире, а величина n21, — смертность.

Поскольку суммарно население в мирах не возникает и не уничтожается, а лишь переходит из одного мира в другой, в любой момент времени имеет место соотношение:

N1(t) + N2(t) = No = const.      (8)

Темп перехода зависит от численности населения в том мире, откуда происходит переход: nij = f(Ni), причём функция f(Ni) есть функция возрастающая, то есть число перешедших из мира-i в иной мир (число умерших в мире-i) при прочих равных условиях тем больше, чем больше население Ni этого мира. Предположим, что возрастающая функция f имеет самый простой вид: f(Ni) = kiNi; тогда nij = kiNi, то есть скорость перехода из данного мира прямо пропорциональна численности его населения. Коэффициент пропорциональности ki представляет собой скорость перехода (число перешедших в единицу времени) в расчёте на одного жителя. Поэтому n12.» = k1N1; n21 = k2N2. Коэффициенты k1, k2 обратно пропорциональны соответствующим временам жизни: k1 = k/Х1, k2 = k/Х2.

Действительно, пусть среднее время жизни в мире-1 составляет 1000 лет, а в мире-2 — 100 лет. Тогда за время, пока один человек закончит свой цикл в мире-1 и перейдёт в мир-2, сто человек из мира-2 перейдут в мир-1. Итак: n12 = kN1/X1; N12 = kN2/Х2. Будем считать, что средние продолжительности жизни в обоих мирах неизменны: X1 = const и Х2 = const. Тогда выражения для числа переходов n12 и n21 полностью совпадают с соответствующими выражениями в рассмотренной выше задаче о переходе из зала в зал при различной длине залов, где вместо длин залов надо подставить значения средних продолжительностей жизни в мирах. Следовательно:

N2 = X2{No-uoexp[-kt(X1 + Х2)/Х1Х2]}/(Х1 + Х2);      (9)

или при t → ∞ имеем:

N2 = NoX2/(X1+X2); N1 = NoX1/(X1+X2);

N1/N2 = Х1/Х2,

N12 = kN1/X1 = kNo/(X1 + X2),

N21 = kN2/X2 = kNo/(X1+ X2) = n12.

Устанавливается стационарный процесс, когда прирост населения нулевой: ∆N = n12 – n21 = о. Сколько человек рождается в каждом из миров, столько же и умирает, численность населения в мирах остаётся постоянной.

Пусть в начальный момент времени справедливо: N10 = N0, N20... = 0. Рождаемость в мире-2 в этот момент (точнее, в момент to + ε) максимальна (no = n12 = kNo/Х1,), а смертность — нулевая (mо = n21 = N20/X2 = 0). С уменьшением N1 рождаемость падает пропорционально N1, а смертность растёт пропорционально возрастающему N2 (m = n21 = kN2/X2), пока не установится равновесие (n = m). Система приходит в стационарное состояние с постоянной численностью населения в мирах, пропорциональной продолжительности жизни в них (N1/N2 = Х1/Х2), Но это достигается лишь при бесконечно большом времени (t =∞). В любой другой сколь угодно большой момент времени распределение будет всё же отличаться от равновесного, асимптотически стремясь к нему, то есть будет протекать медленно затухающий процесс роста населения в мире-2 за счёт его сокращения в мире-1.

Как быстро устанавливается стационарный процесс? Практически процесс можно считать установившимся, когда вторым членом в фигурных скобках выражения (9) можно пренебречь. Обозначим: {u0.exp [- kt(X1 + Х2)/Х1Х2] }/N0 = α.

При α « 1 процесс можно считать установившимся. Для оценки надо знать зависимость α(t). При некоторых упрощающих предположениях, принимая, в частности, что Х2/Х1 = 0,1 и X2 ≈ 100 лет, получим следующие оценки времени достижения определённого значения α :

α                0,1          0,01         0,001

t (лет)       230          460           690

Как видно, примерно по прошествии 700 лет вторым членом в выражении (9) вполне можно пренебречь (α = 0,001), то есть распределение станет достаточно близко к равновесному. 700 лет — это семикратная продолжительность жизни в мире-2, или 28 поколений, считая, что разница в поколениях составляет 25 лет.

Итак, процесс устанавливается довольно быстро. Но как долго он продолжается? Очевидно, до тех пор, пока выполняются условия постоянства длительности жизни: Х1= const, X2 = const. Можно думать, что они выполняются на протяжении большей части эволюционного цикла, но к концу цикла эти условия (или одно из них) нарушается, и процесс выходит из равновесия.

6. Когда люди спешат отдать долги: гиперболический рост

Как утверждается в эзотерической традиции, к концу цикла люди спешат перейти в мир-2 (плотный), чтобы завершить в нём свои дела, или заплатить кармические долги. Тогда продолжительность жизни в мире-1 (тонком) начинает убывать, сначала медленно, а затем, по мере приближения к концу цикла, всё быстрей и быстрей: X1 ≠ const, X1 =X1(t).

Вместе с уменьшением продолжительности жизни в мире-1 рождаемость в мире-2 начинает возрастать, население его будет быстро увеличиваться, а население мира-1 — сокращаться. Что касается продолжительности жизни X2, то хотя люди будут стремиться увеличить её, она не может выйти за естественные биологические пределы существования физического тела. Поэтому, если она и будет меняться, то гораздо медленнее, чем население N2(t) в мире-2 (это и подтверждается статистическими данными), так что её, в первом приближении, можно считать постоянной: X2 ≈ const.

Желающих (или потенциально готовых) перейти из мира-1 в мир-2 будет тем больше, чем больше численность населения N1 и чем меньше продолжительность жизни X1. Раньше мы считали, что все желающие перейти из мира-1 в мир-2 сразу реализуют это желание. Но теперь желающих становится столь много, что не все могут немедленно реализовать своё желание; ведь для того, чтобы воплотиться в плотном мире, каждый желающий должен найти для себя соответствующую супружескую пару, с помощью которой будет построено его физическое тело. Вероятность (Р) найти такую пару будет тем выше, чем больше численность населения N2 в мире-2: Р = γN2, n12 = kγN1N2/X1.

Будем считать, что смертность также зависит от времени, именно, n21 = k2N2 = kγ(t)N2/X2, где γ(t) — убывающая функция, то есть с ходом времени смертность m = n21 сокращается. В результате:

dN2 = (n12 – n21)dt = N2(t)[k γ N1(t)/X1(t) - k γ (t)/X2]dt.      (10)

Выражение в квадратных скобках есть относительный годовой прирост населения q(t), 1-й член — относительная рождаемость, 2-й член — относительная смертность.

Вид функции q(t) существенно зависит от вида функции X1(t). Каков он? С изменением продолжительности жизни X1 меняется численность населения в обоих мирах. По мере сокращения X1(t) численность населения N1(t) тоже сокращается, по мере увеличения X1(t) численность населения N1(t) возрастает. Следовательно, с одной стороны, X1 = F(N1), где F — функция возрастающая. С другой стороны, X1 как функция N2 есть функция убывающая. Действительно, чем больше X1, тем меньше рождаемость и тем меньше население ми ра-2. X1 = f(N2), где f — функция-убывающая. Примем зависимость X1(t) в виде:

X1(t) = a1N1(t)/[a2N2(t) + ψ(t)].      (11)

Если функция ψ(t), контролирующая рождаемость, связана с функцией φ(t), контролирующей смертность, соотношением ψ(t) = a1φ(t)/γХ2, то выражение в квадратных скобках уравнения (10) принимает вид: q(t) = N2(t) kγa2/a1 = βN2(t), где через β обозначена величина kγa2/a1. Тогда имеем: dN2 = β[N2(t)]2dt — что совпадает с выражением (5), которое соответствует гиперболическому закону роста народонаселения.

Функция ψ(t) также есть функция убывающая. При малых временах и рождаемость, и смертность велики, высокий прирост населения обеспечивается за счёт высокой рождаемости. С увеличением времени и смертность, и рождаемость падают, но смертность падает быстрее, перекрывая уменьшение рождаемости; теперь высокий прирост, обеспечивающий гиперболический рост народонаселения, достигается за счёт быстрого сокращения смертности даже при уменьшении рождаемости.

7. Стабилизация

Мы получили гиперболический закон роста народонаселения:

N2(t) = 1/β(t*-t),      (12)

Формально при t = t* численность N2(t) бесконечна. Это, конечно, невозможно, что отмечалось в разделе 3, но в нашей модели подобного и не должно быть, так как величина N2(t) заведомо не может превышать суммарную численность N0 = N10 + N20. При некотором значении t = τ*, когда численность N2 достигнет этой предельной величины, дальнейший её рост прекратится, всё население сосредоточится в мире-2, то есть цикл подойдёт к своему завершению. Теперь процесс должен устремиться в другую сторону: станет преобладать переход из мира-2 в мир-1. Будет ли он идти так, как описано выше — по квазистационарному сценарию, или ему будет предшествовать катастрофический переход в мир-1 — того мы не знаем.

Очевидно, что τ* < t*, так что момент времени τ* должен наступить не позднее 2026 ÷ 2028 годов. Подставляя в выражение (12) численные значения параметров, найденные путём обработки статистических данных, получим: N2(t) = 205,7 /(2028 - t), где t выражено в годах, отсчитываемых от начала новой эры, a N2(t) — в миллиардах человек. При условии t = τ*, численнocть N2(t) = N0= 205,7 /(2028 - τ*).

Зная τ*, можно определить N0; зная N0, можно найти τ*. Но мы не знаем, чему равна исходная величина N0, хотя возможно сделать ориентировочную оценку. Поскольку сейчас население Земли составляет порядка 6 млрд. человек, то очевидно, что численность N0 больше 6 млрд. А так как процесс уже вышел из стационарного состояния, когда имело место соотношение N1/N2 = Х1/Х2, то сейчас численность N1 заведомо меньше 60 млрд., а N0 меньше 66 млрд.; в результате, имеем пределы для численности в млрд.: 6 < N0 < 66.

Задаваясь различными значениями суммарной численности N0, получим следующие значения для предельной величины τ*, когда условно всё население сосредотачивается в плотном мире:

N0 (млрд.)                    6                      10                      20                     50                          60

t* - τ*. (лет)                  34                      21                      10                     4                             3

τ. год                        1994                  2007                  2018                 2024                       2025

При N0 = 60 млрд. чел. величина τ* практически не отличается от t*.

Конечно, маловероятно, чтобы гиперболический рост шёл вплоть до полного опустошения миpa-1 (N1 = 0, N2 = N0) — подобно песочным часам, в которых весь песок пересыпается из верхней колбы в нижнюю, после чего процесс останавливается, и чтобы запустить его вновь, часы надо перевернуть. Скорее всего, переход к стабилизации (если не произойдёт катастрофы) будет постепенным. Можно на качественном уровне, без построения количественной теории, указать некоторые причины стабилизации. 1). После того, как значительная часть населения мира-1 перейдёт в мир-2, «очередь» на входе в мир-2 «рассосётся». Теперь все желающие вновь получат возможность воплощения, и необходимость введения вероятности Р = γN2 в формулу (10) отпадает. Поэтому квадратичная зависимость от N2 уже не может иметь места, 2). Когда «долги» в основном будут исчерпаны и в мире-1 останутся лишь те, кто недавно перешёл туда, рассчитавшись по долгам, необходимость в сокращении длительности жизни X1 в мире-1 также отпадёт; длительность X1 вновь становится постоянной. Отказ от введения вероятности Р = γN2 приводит к переходу на экспоненциальный рост, а отказ от условия X1 = X1(t) возвращает нас вновь к квазистационарному процессу, но уже при новых начальных условиях, сложившихся к тому времени.

8. Обсуждение модели

Итак, учёт реинкарнаций приводит к следующей картине изменения численности населения Земли: в эпоху, далеко отстоящую от современного момента, население Земли изменялось очень медленно, практически оставаясь постоянным; затем произошёл переход к гиперболическому росту, при котором по мере приближения к характеристическому моменту времени t* численность населения стала нарастать лавинообразно («демографический взрыв»); и, наконец, третий период, который, по всей видимости, соответствует современному моменту, отличается переходом к постоянной численности населения (стабилизация). Качественно эта картина совпадает с наиболее развитой современной моделью роста народонаселения Земли, предложенной С.П.Капицей. В ней, по-видимому, впервые удалось описать закономерности роста народонаселения Земли на огромном промежутке времени от «происхождения человека» до наших дней. Длительность этого периода, по данным современной антропологии, около 4,5 миллионов лет. Капица разделяет его на три эпохи: раннюю эпоху А, когда население росло очень медленно, изменяясь от нуля пропорционально величине -ctg t; основную эпоху В, когда наблюдается гиперболический закон роста и относительная скорость q = 1 /N(dN/dt) непрерывно увеличивается; позднюю эпоху С, для которой начинает сказываться ограничение на относительную скорость q ≤/τ (τ — параметр модели, имеющий размерность времени). В эту эпоху население растёт пропорционально arcctg [(t* - t)/ τ ]. При условии t →∞, (t* - t) → - ∞, численность N → К2π (К — безразмерный параметр). Предельное значение N для различных параметров модели получается от 10 до 25 млрд. чел. Капица показал, что изменение численности населения во все три эпохи может быть описано общей формулой, и определил временные границы перехода от одной эпохи к другой. Эпоха А началась около 4,4 млн. лет тому назад и длилась 2,8 млн. лет; около 1,6 млн. лет тому назад она сменилась эпохой В, длящейся почти до современного момента и охватывающей палеолит, неолит и весь известный исторический период развития человечества2. Переход к эпохе С приходится на последние десятилетия XX века.