Математический аппарат синергетики: модели численности народонаселения

Содержание

Введение

Одна из важнейших характеристик развития современной цивилизации — рост народонаселения. Закономерности роста обычно изучаются без учёта реинкарнации. Считается, что живой организм (в том числе человек) рождается от родительских организмов (родительской пары), которая передаёт ему «управляющую систему», позволяющую строить из косной материи клетки и ткани нового организма. Генетическая структура организма, полученная в наследство от зародышевых клеток, контролирует процессы обмена в народившемся организме. Когда организм погибает (в результате болезни, несчастного случая, насилия или от старости), его жизнь полностью прекращается, а организованная материя, составлявшая организм, возвращается в исходное неорганизованное состояние. Такова в общих чертах точка зрения нашей западной науки. Наряду с ней существует весьма развитая культурная традиция, имеющая очень древние корни, в которой процессы рождения и смерти трактуются как процессы обмена, взаимодействия двух миров — тонкого и физического. Согласно этой традиции, изучаемые современной наукой закономерности рождения, роста и старения организма относятся только к физическому телу. Прирост населения, представляющий собою баланс между рождаемостью и смертностью, определяется движением (циркуляцией) населения по двум мирам — тонкому и физическому (плотному). Следовательно, необходимо учитывать взаимодействие этих миров. Мы попытаемся рассмотреть процесс воспроизводства и роста населения в плотном мире как часть общего процесса циркуляции населения по обоим мирам.

Обратимся вначале к эмпирическим данным, относящимся к физическому миру.

1. Эмпирический закон роста народонаселения

Прирост народонаселения определяется разностью между рождаемостью и смертностью, и за единицу времени он равен:

∆N = n-m,       (1)

где n и m, соответственно, рождаемость и смертность в единицу времени.

Статистические данные показывают, что абсолютный прирост населения ∆N пропорционален численности населения N. Значит, прирост dN за малое время dt составляет величину:

dN = qN(t)dt,      (2)

где q — коэффициент пропорциональности. При dt=1 имеет место: q = dN/N, то есть q является относительным приростом населения в единицу времени. В статистических данных обычно приводится прирост на тысячу человек в год. Если относительный прирост неизменен (q=qo=const), то, согласно уравнению (2), изменение численности происходит по экспоненциальному закону:

N = No exp(qot) = Noeqot      (3)

где No — численность населения в момент времени t = о.

Относительный прирост q зависит от ряда факторов — биологических, географических, исторических, экономических, психологических, социокультурных. Поскольку эти факторы, во всяком случае некоторые из них, меняются с течением времени, относительный прирост q, вообще говоря, есть функция времени (q = q(t)), и закон роста народонаселения отличается от экспоненциального.

Как реально растёт народонаселение на Земле? Что говорят статистические данные? Согласно оценкам специалистов, в очень давние времена — от 1000000 до 6000 лет до н.э. — численность населения практически не менялась со временем, составляя 2÷5 млн. человек. Начиная примерно с 6000 г. до н.э., отмечается рост народонаселения. В период с 6000 по 3000 гг. до н.э. численность населения составляла 5÷20 млн. чел., с 3000 по 2000 гг. до н.э. — 20÷40 млн. чел., с 1000 г. до н.э. по 250 г. н.э. — 100÷200 млн. чел. и с 250 по 1500 гг. — 300÷400 млн. человек. Конечно, эти оценки весьма приблизительные. Согласно справочнику Урланиса, население мира составляло:

Год                               1000       1500      1650       1750        1800        1850       1900

Население

(млн. чел.)                     288         436        545         728          911        1181        1617

Более поздние данные можно найти в Статистических Ежегодниках ООН.

На рисунке 1 показано, как менялась численность населения Земли за период от 6000 г. до н.э. по настоящее время. По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной — численность населения в логарифмическом масштабе (log N). Если бы население росло строго экспоненциально, то на этом графике мы должны были бы получить прямую линию. В действительности, линия, выражающая рост народонаселения со временем, начиная приблизительно с середины 2-го тысячелетия, заметно отклоняется от прямой, причём уходит вверх всё круче и круче. Более детально это видно на рисунке 2. Значит, относительный годовой прирост постоянно возрастает. В этом и состоит особенность современной демографической ситуации: не только увеличивается абсолютная численность населения N, но и возрастают среднегодовые темпы роста, то есть относительный прирост населения q. Как быстро увеличивается прирост населения?

Рис.1. Численность населения на земном шаре. По вертикальной оси - численность населения в логарифмическом масштабе

Рис.2. Рост численности населения на Земле . По вертикальной оси — численность населения в логарифмическом масштабе

Рис.3. Гиперболический закон роста народонаселения по И.С.Шкловскому . По вертикальной оси — обратная величина численности населения

2. «День Страшного суда»

В 1960 году в журнале «Science» была опубликована статья трёх авторов — Х.Форстера, П.Мора и Л.Эмиота под названием «День Страшного суда: четверг, 13 ноября 2026 года новой эры». Используя тщательно отобранные статистические данные, авторы показали, что относительный прирост населения увеличивается так же быстро, как само население, то есть

q(t) = qoN(t).      (4)

Подставляя это выражение в (2), найдём:

dN = qo[N(t)]2dt.      (5)

Чем объясняется подобная зависимость, остаётся неясным. Выражению (5) отвечает следующий закон роста народонаселения1:

N(t) = 1/qo(t*-t).      (6)

Нетрудно узнать в выражении (6) уравнение гиперболы. Следовательно, численность народонаселения изменяется по гиперболическому закону. При некотором времени t = t*, население Земли должно достичь бесконечности (N(t) = ∞ )! Когда наступит этот роковой момент? Неожиданный результат расчётов заключается в том, что он совсем «не за горами». Согласно вычислениям авторов, такое должно произойти в 2026 году, точнее, при t* = 2026,87+5,5, если время t отсчитывается от начала новой эры.

Если величина t* определена, можно, откладывая по оси абсцисс значения log(t* - t), а по оси ординат значения log N, построить график зависимости (6) в виде прямой линии с отрицательным наклоном, равным -1. При условии t → t*-и прямая ЛИНИЯ устремляется в бесконечность. Момент и на графике определить невозможно, ибо при t = t* логарифм становится бесконечным (log(t* - t) = - ∞). В своё время профессор И.С.Шкловский нашёл убедительный способ наглядно продемонстрировать справедливость гиперболического закона, не зная величины t. Обозначим величину 1/N через у, тогда выражение (6) примет вид:

y = qo(t*-t).      (7)

А это есть уравнение прямой. Следовательно, при построении графика, на котором по горизонтальной оси отложено время t, а по вертикальной — величина у = .1/N, мы должны получить прямую линию. Рисунок 3 иллюстрирует сказанное. Причём статистические данные (точки на графике) почти без всякого отклонения ложатся на эту прямую. При t = t* имеем у = о, и следовательно, прямая пересекает ось абсцисс в точке, соответствующей t = t*. Таким образом можно грубо оценить этот особый момент непосредственно по графику — как точку пересечения прямой линии с осью абсцисс, а более точно его можно вычислить, например, методом наименьших квадратов. Для прямой, изображённой на рисунке 3, критический момент t* соответствует 2028 году.

3. Смена закона

Итак, в настоящее время население Земли растёт по гиперболическому закону. Но каковы границы его применимости? Экстраполяция гиперболического закона в прошлое показывает, что он удовлетворительно согласуется с оценками численности населения на интервале времени порядка одного миллиона лет. Однако дальнейшая экстраполяция в прошлое приводит к неправдоподобным и даже абсурдным результатам: так, согласно гиперболическому закону, в момент возникновения физической Вселенной (около 20 млрд. лет тому назад) на Земле уже жило 10 человек; а время возникновения первого человека (N = 1) уходит в прошлое на 200 млрд. лет, то есть задолго до возникновения Земли, Солнечной системы и всей Метагалактики.

Согласно исследованиям С.П.Капицы, в эпоху, предшествующую палеолиту, население Земли росло пропорционально ctg(-t), и около 1,6 млн. лет тому назад этот закон сменился на гиперболический. Если бы гиперболический закон был справедлив вплоть до рокового момента t*, это бы означало, что численность населения за конечный промежуток времени увеличивается до бесконечности. Очевидно, это невозможно, ибо требует бесконечно быстрого прироста населения, а он ограничен естественными биологическими причинами (фертильность — способность организма производить потомство — не может быть бесконечной!), не говоря уже об экономических и социокультурных факторах. Отсюда следует, что гиперболический закон нельзя экстраполировать до значений, сколь угодно близких к моменту времени t». При некотором меньшем значении (t < t*) гиперболический закон роста теряет силу и должен смениться новым демографическим законом. А так как значение t* близко к современному моменту, то смена демографического закона должна произойти в самое ближайшее время (а возможно, уже происходит).

На рисунке 3 прямая линия построена по данным о численности народонаселения до 1970 года (эти данные изображены на рисунке кружками, тёмные точки — более поздние данные, относящиеся к 1987 и 1991 годам). Как видно, вплоть до начала до-90-х годов гиперболический закон всё ещё сохранял силу. Это связано с влиянием развивающегося мира. Для развитых стран прирост населения прошёл через максимум и начал замедляться в середине XX века. Но динамика роста населения Земли определяется развивающимися странами, а здесь прирост населения до последнего времени, видимо, продолжал увеличиваться. Тем не менее, ясно, что в ближайшее время ситуация должна измениться, и отклонения от гиперболического закона для всего населения Земли станут ощутимы.

Какой закон должен прийти на смену гиперболическому? Смена закона может произойти либо вследствие катастрофы из-за слишком быстрого нарастания процесса, либо в результате плавного изменения характера роста. Рассмотрим последний, более благоприятный, случай.

Поскольку годовой прирост определяется разностью между рождаемостью и смертностью, его возрастание может происходить либо за счёт сокращения смертности, либо из-за увеличения рождаемости (либо по обеим причинам вместе). В последние столетия основную роль, по-видимому, играло сокращение смертности, вследствие успехов медицины, санитарно-эпидемических и других мероприятий. Сокращение смертности в целом, по всему земному шару, перекрывает уменьшение рождаемости в отдельных (особенно в развитых) странах, так что естественный прирост населения на Земле возрастает со временем. Менее ясно, почему он увеличивается столь же стремительно, как само население, что собственно и приводит к гиперболическому закону. Это пока остаётся загадкой. Тем не менее, можно считать, что в пределе, когда смертность достигнет минимальной величины (например, смертность от болезней и несчастных случаев в детском и производящем возрасте станет пренебрежимо мала), а рождаемость установится на некотором оптимальном уровне, определяемом совокупностью биологических, экономических и социокультурных факторов, — дальнейшее увеличение годового прироста прекратится, и население будет расти при постоянном годовом приросте, то есть экспоненциально.

Рис.4. Переход от гиперболического закона на экспоненциальный (модель автора, 70-е годы XX века). По вертикальной оси — численность населения в логарифмическом масштабе. Кривые 1,2,3,4,5 — расчётные данные (экстраполяция) при различных значениях параметров модели, б — гиперболический закон роста

Экспоненциальное развитие также приводит к бесконечной численности населения, но, в отличие от гиперболического роста, не на конечном, а на бесконечно длительном интервале времени. Практическое значение имеет вопрос о том, как скоро при экспоненциальном росте население Земли достигнет критической плотности. Последняя не обязательно зависит от истощения ресурсов, а может определяться социально-психологическими факторами. При переходе с гиперболического роста на экспоненциальный должна существовать промежуточная область. На рисунке 4 представлен рост народонаселения после перехода на экспоненту, согласно модели автора (70-е годы). Численные значения зависят от времени перехода и демографических параметров (фертильности и смертности), при которых стабилизируется относительный прирост населения. Для различных комбинаций параметров критическая плотность населения в 1 человек на 100 кв. метров суши для всего земного шара (а это плотность в современных крупных городах) достигается за время порядка нескольких сот лет.

Переход к экспоненциальному росту представляется наиболее естественным, ибо не требует никаких регулирующих воздействий. Однако это не единственный и, скорее всего, нереализуемый вариант. Существует ряд прогнозов численности населения Земли, в том числе, официальные прогнозы ООН. Они дают достаточно разнообразный спектр возможностей, включая неограниченный рост и деградацию (уменьшение численности населения), начиная примерно с середины XXI века. Наибольший интерес представляет модель С.П.Капицы, которая приводит к стабилизации населения. Мы обсудим её в разделе 8 после рассмотрения результатов, к которым приводит учёт реинкарнаций. А сейчас подчеркнём: принципиальное отличие моделей с реинкарнацией состоит в том, что общая численность населения в обоих мирах — тонком и плотном — остаётся постоянной благодаря неизменному количеству монад.