Уравнения Максвелла

Следовательно, непосредственно из экспериментов  с зарядами и токами мы находим  число с2, которое оказывается  равным квадрату скорости распространения  электромагнитных возбуждений. Из статических  измерений (измеряя силы между двумя единичными зарядами и между двумя единичными токами) мы находим, что с=3,00•108 м/сек. Когда Максвелл впервые проделал это вычисление со своими уравнениями, он сказал, что совокупность электрического и магнитного полей будет распространяться с этой скоростью. Он отметил также таинственное совпадение — эта скорость была равна скорости света. «Мы едва ли можем избежать заключения,— сказал Максвелл,— что свет — это поперечное волнообразное движение той же самой среды, которая вызывает электрические и магнитные явления». 

Так Максвелл совершил одно из великих обобщений физики! До него был свет, было электричество  и был магнетизм. Причем два последних  явления были объединены экспериментальными работами Фарадея, Эрстеда и Ампера. Потом внезапно свет не стал уже  больше «чем-то еще», а был электричеством и магнетизмом в новой форме, небольшими кусками электрического и магнитного полей, которые распространяются в пространстве самостоятельно. 

Мы обращали ваше внимание на некоторые черты  этого особого решения, которые, однако, справедливы для любой электромагнитной волны: магнитное поле перпендикулярно направлению движения фронта волны; электрическое поле также перпендикулярно направлению движения фронта волны; и два вектора Е и В перпендикулярны друг другу. Далее, величина электрического поля Е равна произведению с на величину магнитного поля В. Эти три факта — что оба поля поперечны направлению распространения, что В перпендикулярно Е и что Е=сВ — верны вообще для любой электромагнитной волны. Наш частный случай — хороший пример, он показывает все основные свойства электромагнитных волн. 
 

§ 6. Решение уравнений  Максвелла; потенциалы и волновое уравнение 

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла  в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся. 

Начнем с Ñ•В=0 — простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что В  — есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали 

B = ÑXA, (16) 

то считайте, что уже решили одно из уравнений  Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора А', если A'=A+Ñty, где y— любое скалярное поле, потому что ротор Ñy — нуль и В — по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.) 

Теперь разберем закон Фарадея ÑXE= -dB/dt, потому что  он не содержит никаких токов или  зарядов. Если мы запишем В как ÑXA и продифференцируем по t, то сможем переписать закон Фарадея в форме 

ÑXE = - d/dtÑXA. 

Поскольку мы можем  дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

(17)

Мы видим, что Е+дА/дt — это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было ÑXE=0, и мы тогда решили, что Е — само градиент чего-то. Пусть это градиент от -j (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для E+дA/дt; мы полагаем

(18)

Мы используем то же обозначение j, так что в  электростатическом случае, когда ничто  не меняется со временем и dA/dt исчезает, Е будет нашим старым -Ñj. Итак, закон Фарадея можно представить  в форме 

(19) 

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и  нашли, что для описания электромагнитных полей Е и В нужны четыре потенциальные функции: скалярный  потенциал j и векторный потенциал  А, который, разумеется, представляет три  функции.

Итак, А определяет часть Е, так же как и В. Что же произойдет, когда мы заменим А на A'=A+Ñy? В общем, Е должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что А изменяется так, чтобы не влиять на поля Е и В (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять А и j вместе по правилам 

(20) 

Тогда ни В, ни Е, полученные из уравнения (19), не меняются. 

Раньше мы выбирали Ñ•А=0, чтобы как-то упростить уравнения  статики. Теперь мы не собираемся так  поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор. 

Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники r и j. Раз мы можем определить А  и j из токов и зарядов, то можно всегда получить Е и В из уравнений (16) и (19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла. 

Начнем с подстановки  уравнения (19) в Ñ•E=r/e0; получаем

это можно записать еще в виде

(21)

Таково первое уравнение, связывающее j и А с источниками, Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла: 

а затем выразим  В и Е через потенциалы, используя  уравнения (16) и (19):

Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество Vx (ÑXA) = Ñ (Ñ•A)-Ñ2A; мы получаем 

(22)

(23)

Когда мы поступаем  так, то второе и третье слагаемые  в уравнении (22) погашаются, и оно  становится много проще: 

(24)

И. наше уравнение (21) для j принимает такую же форму:

(25) 

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились — с плотностью заряда стоит j, а с током стоит А. Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо — лапласиан вместе с (d/dt)2, когда мы раскроем ее, то обнаружим

(26) 

Это уравнение имеет приятную симметрию по х, у, z, t; здесь (-1/с2) нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы. 

Уравнения Максвелла  привели нас к нового типа уравнению  для потенциалов j и А, но с одной  и той же математической формой для всех четырех функций j, Ах, Ау и Аг. Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить В и Е изÑXЕ и-Ñj-dA/dt. Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще.

и видели, что  оно описывает распространение  волн в x-направлении со скоростью  с. Уравнение (18.26) это соответствующее  волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение  этих уравнений не означает, что j и А — нули. (Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность j и А, которые меняются со временем, но всегда движутся со скоростью с. Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере в начале главы. 

С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения  в терминах А и j в форме, которая  проста и сразу же позволяет выявить  существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные уравнения в терминах Е и В. Но они — по ту сторону горы, на которую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг. Все будет выглядеть иначе, — нас ожидают новые, прекрасные пейзажи. 

Литература:

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, 7 изд., M., 1988; их же, Электродинамика сплошных сред, 2 изд., M., 1982; Власов А. А., Макроскопическая электродинамика, M., 1955; Никольский В. В., Теория электромагнитного поля, 3 изд., M., 1964; Джексон Д ж., Классическая электродинамика, пер. с англ., M., 1965; Каценеленбаум Б. 3., Высокочастотная электродинамика, M., 1966; Стражев В. И., Томильчик Л. M., Электродинамика с магнитным зарядом, Минск, 1975; Медведев Б. В., Начала теоретической физики, M., 1977; Новожилов Ю. В., Яппа Ю. А., Электродинамика, M., 1978; Туров E. А., Материальные уравнения электродинамики, M., 1983; Fущич В. И., Hикитин А. Г., Симметрия уравнений Максвелла, К., 1983; Бредов M. M., Румянцев В. В., Tоптыгин И. H., Классическая электродинамика, M., 1985.