Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла 

§ 1. Уравнения Максвелла 

§ 2. Что дает добавка 

§ 3. Все о классической физике 

§ 4. Передвигающееся  поле 

§ 5. Скорость света 

§ 6. Решение уравнений  Максвелла; потенциалы и волновое уравнение 
 

§ 1. Уравнения Максвелла 

Все уравнения Максвелла записаны в табл. 18.1 как словесно, так и в математических символах. 

Первое уравнение  — дивергенция Е равна плотности  заряда, деленной на eо,— правильно всегда. Закон Гаусса справедлив всегда как в динамических, так и в статических полях. Поток Е через любую замкнутую поверхность пропорционален заключенному внутри заряду. Третье уравнение — соответствующий общий закон для магнитных полей. 

(Поток Е через  замкнутую поверхность) = (Заряд внутри  нее)/e0

(Интеграл от  Е по замкнутому контуру) = -d/dt (Поток В сквозь контур)

(Поток В через  замкнутую поверхность) = 0

с2 (Интеграл от В по контуру)=(Ток в контуре) /e0 + d/dt(Поток Е сквозь контур)

(Поток заряда  через замкнутую поверхность) =-d/dt(Заряд внутри нее)

Закон силы 

F = q(E+vXB)

Закон движения 

(Закон Ньютона,  исправленный Эйнштейном}

Гравитация 

Поскольку магнитных  зарядов нет, поток В через  любую замкнутую поверхность  всегда равен нулю. Второе уравнение  ÑXE=-dB/dt — это закон Фарадея, и обсуждался он в последних двух главах. Он тоже верен в общем случае. Но последнее уравнение содержит нечто новое. Раньше мы встречались только с частью его, которая годится для постоянных токов. В этом случае мы говорили, что ротор В равен j/e0c2, но правильное общее уравнение имеет новый член, который был открыт Максвеллом. 

До появления  работы Максвелла законы электричества  и магнетизма были  уже известны. В частности, уравнение для магнитного поля постоянных токов было известно только в виде

(1)

Максвелл начал  с рассмотрения этих известных законов и выразил их в виде дифференциальных уравнений, так же как мы поступили здесь. (Хотя символ Ñ еще не был придуман, впервые, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важность таких комбинаций производных, которые мы сегодня называем ротором и дивергенцией.) Максвелл тогда заметил, что в уравнении (1) есть нечто странное. Если взять дивергенцию от этого уравнения, то левая сторона обратится в нуль, потому что дивергенция ротора всегда равна нулю. Таким образом, это уравнение требует, чтобы дивергенция j также была равна нулю. Но если дивергенция j равна нулю, то полный ток через любую замкнутую поверхность тоже равен нулю.

Полный ток  через замкнутую поверхность  равен уменьшению заряда внутри этой поверхности. Он наверняка не может  быть всегда равен нулю, так как мы знаем, что заряды могут перемещаться из одного места в другое. Уравнение

(2)

фактически есть наше определение j. Это уравнение  выражает самый фундаментальный  закон — сохранение электрического заряда: любой поток заряда должен поступать из какого-то запаса. Максвелл заметил эту трудность и, чтобы избежать ее, предложил добавить dE/dt в правую часть уравнения (1); тогда он и получил уравнение IV в табл. 18.1: 

Во времена  Максвелла еще не привыкли мыслить  в терминах абстрактных полей. Максвелл обсуждал свои идеи с помощью модели, в которой вакуум был подобен упругому телу. Он пытался также объяснить смысл своего нового уравнения с помощью механической модели. Теория Максвелла принималась очень неохотно, во-первых, из-за модели, а, во-вторых, потому, что вначале не было экспериментального подтверждения. Сейчас мы лучше понимаем, что дело в самих уравнениях, а не в модели, с помощью которой они были получены. Мы можем только задать вопрос, правильны ли эти уравнения или они ошибочны. Ответ дает эксперимент. И уравнения Максвелла были подтверждены в бессчетных экспериментах. Если мы отбросим все строительные леса, которыми пользовался Максвелл, чтобы построить уравнения, мы придем к заключению, что прекрасное здание, созданное Максвеллом, держится само по себе. Он свел воедино все законы электричества и магнетизма и создал законченную и прекрасную теорию. 

Давайте покажем, что добавочный член имеет тот  самый вид, который требуется, чтобы  преодолеть обнаруженную Максвеллом трудность. Взяв дивергенцию его уравнения (IV в табл. 18.1), мы должны получить, что дивергенция правой части равна нулю:

(3)

(4)

Во втором слагаемом  можно переставить порядок дифференцирования  по координатам и времени, так  что уравнение может быть переписано в виде

Но, согласно первому из уравнений Максвелла, дивергенция Е равна r/e0. Подставляя это равенство в (4), мы придем к уравнению (2), которое, как мы знаем, правильно. И наоборот, если мы принимаем уравнения Максвелла (а мы принимаем их потому, что никто никогда не обнаружил эксперимента, который опроверг бы их), мы должны прийти к выводу, что заряд всегда сохраняется.

Законы физики не дают ответа на вопрос: «Что случится, если заряд внезапно возникнет в  этой точке, какие будут при этом электромагнитные эффекты?». Ответ дать нельзя, потому что наши уравнения утверждают, что такого не происходит. Если бы это случилось, нам понадобились бы новые законы, но мы не можем сказать, какими бы они были. Нам не приходилось наблюдать, как ведет себя мир без сохранения заряда. Согласно нашим уравнениям, если вы внезапно поместите заряд в некоторой точке, вы должны принести его туда откуда-то еще. В таком случае мы можем говорить о том, что произошло. 

Когда мы добавили новый член в уравнение для  ротора Е, мы обнаружили, что им описывается целый новый класс явлений. Мы увидим также, что небольшая добавка Максвелла к уравнению для ÑXB имеет далеко идущие последствия. 

§ 2. Что дает добавка 

В качестве нашего первого примера рассмотрим, что  происходит со сферически симметричным радиальным распределением тока. Представим себе маленькую сферу с нанесенным на ней радиоактивным веществом. Это радиоактивное вещество испускает наружу заряженные частицы. (Мы можем представить также большой кусок желе с маленьким отверстием в центре, в которое с помощью шприца впрыскиваются какие-то заряды и из которого заряды медленно просачиваются.)

Фuг1.1. Каково магнитное  поле сферически симметричного тока? 

В любом случае мы имели бы ток, который повсюду  направлен по радиусу наружу. Будем  считать, что величина его одинакова во всех направлениях.

Пусть полный заряд  внутри сферы произвольного радиуса r есть Q(r). Если плотность радиального  тока при таком же радиусе равна j(r), то уравнение (2) требует, чтобы Q уменьшалось  со скоростью 

(5) 

Спросим теперь о магнитном поле, создаваемом токами в этом случае. Предположим, мы начертили какую-то петлю Г на сфере радиуса r (фиг. 1.1). Сквозь петлю проходит какой-то ток, поэтому можно ожидать, что магнитное поле циркулирует в направлении, указанном на фигуре. 

И сразу возникает затруднение. Как может поле В иметь какое-то особое направление на сфере? При другом выборе петли Г мы бы заключили, что ее направление прямо противоположно указанному. Поэтому возможна ли какая-либо циркуляция В вокруг токов? 

Нас спасают  уравнения Максвелла. Циркуляция В зависит не только от полного тока, проходящего сквозь петлю Г, но и от скорости изменения со временем электрического потока через нее. Должно быть так, чтобы эти две части как раз погашались. Посмотрим, получается ли это.

Электрическое поле на расстоянии r должно быть равно Q(г)/4pe0r2, пока, как мы предположили, заряд распределен симметрично. Поле радиально, и скорость его изменения тогда равна 

(6) 

Сравнивая это  с (5), мы видим, что для любого расстояния

(7) 

В уравнении IV (табл. 18.1) оба члена от источника погашаются и ротор В равен всегда нулю. Магнитного поля в нашем примере нет. 

В качестве второго  нашего примера рассмотрим магнитное  поле провода, используемого для  зарядки плоского конденсатора (фиг. 1.2). Если заряд Q на пластинах со временем изменяется (но не слишком быстро), ток в проводах равен dQ/dt. Мы ожидаем, что этот ток создаст магнитное поле, которое окружает провод. Конечно, ток вблизи провода должен создавать обычное магнитное поле, оно не может зависеть от того, где идет ток. 

Предположим, мы выбрали петлю Г1 в виде окружности с радиусом r (фиг. 1.2, а). Контурный  интеграл от магнитного поля будет  равен току I, деленному на e0с2. Мы имеем

(8)

Все это мы получили бы для постоянного тока, но результат  не изменится, если учесть добавку Максвелла, потому что для плоской поверхности S внутри окружности электрического поля нет (считая, что провод очень хороший проводник). Поверхностный интеграл от dE/dt равен нулю.

Предположим, однако, что теперь мы медленно продвигаем кривую Г1 вниз. Мы будем получать всегда тот же самый результат до тех пор, пока не нарисуем кривую вровень с пластинами конденсатора

Фиг. 1.2. Магнитное  поле вблизи заряжаемого конденсатора.

Тогда ток I будет  стремиться к нулю. Исчезнет ли при этом магнитное поле? Это было бы очень странно. Давайте поглядим, что говорит уравнение Максвелла для кривой Г, которая представляет собой окружность радиуса r, плоскость которой проходит между пластинами конденсатора (фиг. 1.2, б). Контурный интеграл от В вокруг Г есть 2prB. Он должен быть равен производной по времени потока Е, проходящего сквозь плоскую поверхность круга S2. Этот поток Е, как мы знаем из закона Гаусса, должен быть равен

произведению 1/e0 на заряд Q на одной из пластин конденсатора. Мы имеем 

(9) 

Это очень хорошо. Результат тот же, что мы нашли  в (8). Интегрирование по меняющемуся  электрическому полю 'дает то же магнитное  поле, что и интегрирование по току в проводе. Конечно, как раз об этом и говорит уравнение Максвелла. Легко видеть, что так должно быть всегда, если применить наши рассуждения к двум поверхностям 81 и S'1, ограниченным одной и той же окружностью Г1 на фиг. 1.2, б. Сквозь S1 проходит ток /, но нет электрического потока. Сквозь S1 нет тока, но есть электрический поток, меняющийся со скоростью I/e0. То же поле В получится, если мы применим уравнение IV (табл. 18.1) к каждой поверхности. 

Из нашего обсуждения добавки, введенной Максвеллом, у  вас могло сложиться впечатление, что она добавляет немного  — просто подправляет уравнения в согласии с тем, что мы уже ожидали. Это верно, пока мы рассматриваем уравнение IV само по себе, ничего особенно нового не появляется. Слова само по себе, однако, весьма важны. Небольшое изменение, введенное Максвеллом в уравнение IV в сочетании с другими уравнениями, на самом деле дает много нового и важного. Но прежде чем заняться этим вопросом, поговорим подробнее в табл. 18.1. 

§ 3. Все о классической физике 

В табл. 18.1 сведено  все, что знала фундаментальная  классическая, физика, т. е. та физика, которая была известна до 1905 г. В одной этой таблице есть все. С помощью этих уравнений можно понять все достижения классической физики. 

Прежде всего, мы имеем уравнения Максвелла, записанные как в расширенном виде, так  и в короткой математической форме. Затем есть сохранение заряда, которое даже записано в скобках, потому что сохранение заряда можно вывести из имеющихся полных уравнений Максвелла. Так что в таблице имеются даже небольшие излишки. Дальше мы записали закон для силы, поскольку все имеющиеся электрические и магнитные поля ничего не говорят нам до тех пор, пока мы не знаем, как они действуют на заряды. Однако, зная Е и В, мы можем найти силу, действующую на объект с зарядом q, который движется со скоростью v. Наконец, имеющаяся сила ничего не говорит нам, пока мы не знаем, что происходит, когда сила ускоряет что-то; нам необходимо знать закон движения, который говорит, что сила равна скорости изменения импульса. {Помните? Об этом говорилось в начале курса.) Мы даже включили эффекты теории относительности, записав импульс в виде р=m0vÖ(1-v2/c2).