Уравнения Максвелла

Но если мы действительно  хотим законченности, нам следует  добавить еще один закон — закон  тяготения Ньютона? и мы поставили  его в конце. 

Итак, в одной  небольшой таблице мы собрали  все фундаментальные законы классической физики, даже хватило места выписать их словами и еще с некоторым излишком. Это великий момент. Мы покорили большую высоту. Мы на вершине К-2, мы почти подготовлены покорить теперь Эверест, т. е. квантовую механику. 

В основном мы пытались научиться понимать эти уравнения. А теперь, когда мы собрали их воедино, мы собираемся разобраться, что означают эти уравнения, что нового скажут они о том, чего мы еще не поняли. Мы много потрудились, чтобы вскарабкаться к этой точке. Это потребовало больших усилий, а теперь мы собираемся начать приятное путешествие — спуск с горы в долину, там мы увидим все, чего мы достигли. 

§ 4. Передвигающееся  поле 

А теперь о новых  следствиях. Они возникают из сопоставления  всех уравнений Максвелла. Сначала  давайте посмотрим, что произошло бы в особенно простом случае. Предположим, что изменяется только одна координата у всех величин, т. е. рассмотрим задачу одного измерения. 

Случай этот показан на фиг. 1.3. Перед нами заряженный лист, помещенный на плоскости yz. Сначала он неподвижен, а затем мгновенно приобретает скорость и в направлении у и движется с этой постоянной скоростью. Вас может беспокоить присутствие такого «бесконечного» ускорения, но фактически это не имеет значения; просто представьте себе, что скорость достигает значения и очень быстро. Итак, мы внезапно получаем поверхностный ток J (J — ток на единицу ширины в z-направлении). Чтобы упростить проблему, предположим, что имеется еще неподвижный лист, заряженный противоположно и наложенный на плоскость yz, так что электростатические эффекты отсутствуют.

Фиг. 1.3. Бесконечная  заряженная плоскость неожиданно приводится в поступательное движение.

Возникают магнитное  и электрическое поля, распространяющиеся от плоскости с постоянной скоростью. 

Представим себе также (хотя на фигуре мы показали лишь то, что происходит в конечной области), что лист простирается до бесконечности в направлениях ±у и ±z. Другими словами, здесь мы имеем случай, когда тока нет, а затем внезапно появляется однородный лист с током. Что же произойдет? 

Мы знаем, что, когда имеется лист с током  в положительном y-направлении, возникнет  магнитное поле, направленное в отрицательном z-направлении при х>0 и в положительном z-направлении при х<0. Мы могли  бы найти величину В, используя тот факт, что контурный интеграл от магнитного поля будет равен току на e0с2. Мы получили бы, что В-J/2e0с2 (поскольку ток I в полосе шириной w равен Jw, а контурный интеграл от В есть 2Вw). 

Так мы определяем поле вблизи листа для малых значений х, но, поскольку мы считаем лист бесконечным, хотелось бы получить с помощью тех же рассуждений магнитное поле подальше (для больших значений х). Однако это означало бы, что в момент, когда мы включаем ток, магнитное поле внезапно изменяется повсюду от нуля до конечной величины. Но погодите! При внезапном изменении магнитного поля возникают огромные электрические эффекты. (Как бы оно ни менялось, электрические эффекты возникнут.) Так что в результате движения заряженного листа создается меняющееся магнитное поле и, следовательно, должны возникнуть электрические эффекты.

Фиг. 1.4. Зависимость  величины В (или E) от х. а — спустя время t после начала движения заряженной плоскости; б — поля от заряженной плоскости, начавшей двигаться в  момент t= Т в сторону отрицательных у; в — сумма а и б. 

Если электрические  поля образовались, они должны начинаться с нуля и меняться к какому-то значению. Возникнет некая производная dE/dt, которая будет вносить вклад  вместе с током J в создание магнитного поля. Так разные уравнения зацепляются друг за друга, и мы должны попытаться найти решения для всех полей сразу. 

Рассматривая  уравнения Максвелла порознь, нелегко  сразу получить решение. Поэтому  сначала мы сообщим вам ответ, а затем уже проверим, действительно  ли оно удовлетворяет уравнениям. Ответ: Поле В, которое мы вычислили, на самом деле создается прямо вблизи листа с током (для малых х). Так и должно быть, потому что если мы проведем крошечную петлю вокруг листа, то в ней не будет места для прохождения электрического потока. Но поле В подальше (для больших х) сначала равно нулю. Оно в течение некоторого времени остается нулевым, а затем внезапно включается. Короче говоря, мы включаем ток и немедленно вблизи него включается магнитное поле с постоянным значением В; затем включенное поле В распространяется от области источника. Через некоторое время появляется однородное магнитное поле всюду, вплоть до некоторого значения х, а за ним оно равно нулю. Вследствие симметрии оно распространяется как в положительном, так и в отрицательном x-направлении.

Фиг. 1.5. То же, что  на фиг. 1.3 (вид сверху).

Поле Е делает то же самое. До момента t=0 (когда мы включаем ток) поле повсюду равно  нулю. Затем, спустя время t, как Е, так и В постоянны вплоть до расстояния х = vt, а за ним равны нулю. Поля продвигаются вперед, подобно приливной волне, причем фронт их движется с постоянной скоростью, которая оказывается равной с, но пока мы будем называть ее v. Изображение зависимости величины Е или В от х (как они кажутся в момент t) показано на фиг. 1.4, а. Если снова посмотреть на фиг. 1.3 в момент t, то мы увидим, что область между x=±vt «занята» полями, но они еще не достигли области за ней. Мы снова подчеркиваем — мы предполагаем, что лист заряжен, а следовательно, поля Е и В простираются бесконечно далеко в у- и z-направлениях. (Мы не можем изобразить бесконечный лист, поэтому мы показываем лишь то, что происходит в конечной области.) 

Теперь мы хотим  проанализировать количественно то, что происходит. Чтобы сделать это, рассмотрим два поперечных разреза: вид сверху, если смотреть вниз вдоль оси у (фиг. 1.5), и вид сбоку, если смотреть назад вдоль оси z (фиг. 1.6). Начнем с вида сбоку. Мы видим заряженный лист, движущийся вверх; магнитное поле направлено внутрь страницы для +x и от страницы для -х, а электрическое поле направлено вниз всюду, вплоть до x=± vt. 

Посмотрим, согласуются  ли такие поля с уравнениями Максвелла. Сначала нарисуем одну из тех петель, которыми мы пользовались для вычисления контурного интеграла, скажем прямоугольник Г2 на фиг. 1.6.

Фиг. 1.6. То же, что  на фиг. 1.3 (вид сбоку).

Заметьте, что  одна сторона прямоугольника проходит в области, где есть поля, а другая — в области, до которой поля еще  не дошли. Через эту петлю проходит какой-то магнитный поток. Если он изменяется, должна появиться э. д. с. вдоль петли. Если волновой фронт движется, мы будем иметь меняющийся магнитный поток, поскольку поверхность, внутри которой существует поле В, непрерывно увеличивается со скоростью v. Поток внутри Г2 равен произведению В на ту часть поверхности внутри Г2) где есть магнитное поле. Скорость изменения потока (поскольку величина В постоянна) равна величине поля, умноженной на скорость изменения поверхности. Скорость изменения поверхности найти легко. Если ширина прямоугольника Г2 равна L, то поверхность, в которой В существует, меняется как LvDt за отрезок времени Dt (см. фиг. 1.6). Скорость изменения потока тогда равна BLv. По закону Фарадея она должна быть равна контурному интегралу от Е вокруг Г2, который есть просто EL. Мы получаем равенство

(10)

Таким образом, если отношение Е к В равно v, то рассматриваемые нами поля будут  удовлетворять уравнению Фарадея. Но это не единственное уравнение; у  нас есть еще одно, связывающее Е и В: 

(11) 

Чтобы применить  это уравнение, посмотрим на вид  сверху, изображенный на фиг. 1.5. Мы уже  видели, что это уравнение дает нам значение В вблизи заряженного  листа. Кроме того, для любой петли, нарисованной вне листа, но позади волнового фронта, нет ни ротора В, ни j или меняющегося поля Е, так что уравнение там справедливо. А теперь посмотрим, что происходит в петле Г1, которая пересекает волновой фронт, как показано на фиг. 1.5. Здесь нет токов, поэтому уравнение (11) можно записать в интегральной форме так:

(12)

Контурный интеграл от В есть просто произведение В  на L. Скорость изменения потока Е  возникает только благодаря продвигающемуся  волновому фронту. Область внутри Г1, где Е не равно нулю, увеличивается  со скоростью vL. Правая сторона (12) тогда равна vLE. Уравнение это приобретает вид

(13)

Мы имеем решение, когда поля В и Е постоянны  за фронтом, причем оба направлены под  прямыми углами к направлению, в  котором движется фронт, и под  прямыми углами друг к другу. Уравнения Максвелла определяют отношение Е к В. Из (18.10) и (18.13) получаем 

Но одну минутку! Мы нашли два разных выражения  для отношения Е/В. Может ли такое  поле, как мы описываем, действительно  существовать? Имеется лишь одна скорость v, для которой оба уравнения могут быть справедливы, а именно v = с. Волновой фронт должен передвигаться со скоростью с. Вот пример, когда электрическое возмущение от тока распространяется с определенной конечной скоростью с. 

А теперь спросим, что произойдет, если мы внезапно остановим заряженный лист, после того как он двигался в течение короткого времени Т? Увидеть, что случится, можно с помощью принципа суперпозиции. У нас был ток, равный нулю, а затем его внезапно включали. Мы знаем решение для этого случая. Теперь мы собираемся добавить другой ряд полей. Мы берем другой заряженный лист и внезапно начинаем его двигать в противоположном направлении с той же скоростью, только спустя время Т после начала движения первого листа. Полный ток от двух листов вместе сначала равен нулю, потом он включается в течение времени Т, затем выключается снова, потому что оба тока погашаются. Так мы получаем прямоугольный «импульс» тока. 

Новый отрицательный  ток создает такие же поля, как  и положительный, но с обратными  знаками и, разумеется, с запаздыванием во времени Т. Волновой фронт по-прежнему движется со скоростью с. В момент времени t он достигает расстояния x=±c(t- Т) (см. фиг. 1.4, б). Итак, мы имеем два «куска» поля, перемещающихся со скоростью с (см. фиг. 1.4, а и б). Соединенные поля будут такими, как показано на фиг. 1.4, в. Для х>сt поля равны нулю, между х=с(t-Т) и x=ct они постоянны (со значениями, которые мы нашли выше), и для x<c(t-Т) они снова равны нулю. 

Короче говоря, мы получаем маленький кусочек поля толщиной сТ, который покинул заряженный лист и передвигается через все пространство сам по себе. Поля «оторвались»; они распространяются свободно в пространстве и больше не связаны каким-то образом с источником. Куколка превратилась в бабочку! 

Как же эти совокупности электрического и магнитного полей могут сохранять сами себя? Ответ: За счет сочетания эффектов из закона Фарадея ÑXE=-dВ/dt и нового члена, добавленного Максвеллом c2ÑX B=dE/dt. Они не могут не сохранять себя. Предположим, что магнитное поле исчезло бы. Тогда появилось бы меняющееся магнитное поле, которое создавало бы электрическое поле. Если бы это электрическое поле попыталось исчезнуть, то изменяющееся электрическое поле создало бы магнитное поле снова. Следовательно, за счет непрерывного взаимодействия — перекачивания туда и обратно от одного поля к другому — они должны сохраняться вечно. Они не могут исчезнуть. Они сохраняются, вовлеченные в общий танец — одно поле создает другое, а второе создает первое,— распространяясь все дальше и дальше в пространстве. 

§ 5. Скорость света 

У нас есть волна, которая уходит от материального  источника и движется со скоростью  с (это скорость света). Вернемся немного  назад. Исторически не было известно, что коэффициент c в уравнениях Максвелла  тот же, что и скорость распространения света. Это была просто константа в уравнениях. Мы назвали ее с c самого начала, так как знали, что в конце концов должно получиться. Мы не думаем, что было бы разумнее сначала заставить вас выучить формулы с разными константами, а затем вернуться обратно и подставить с повсюду, где оно должно стоять. С точки зрения электричества и магнетизма, однако, мы прямо начинаем с двух констант e0 и с2, которые появляются в уравнениях электростатики и магнитостатики:

(14) 

и

(15)

Если взять  любое произвольное определение единицы заряда, можно экспериментально определить постоянную e0, входящую в уравнение (14), скажем, измеряя силу между двумя неподвижными единичными зарядами по закону Кулона. Мы должны также определить экспериментально постоянную e0с2, которая появляется в уравнении (15), что можно сделать, скажем, измерив силу между двумя единичными токами. (Единичный ток означает единичный заряд в секунду.) Отношение этих двух экспериментальных постоянных есть с2 — как раз другая «электромагнитная постоянная». 

Заметим теперь, что постоянная с2 получается одна и  та же независимо от того, какова выбранная  наша единица заряда. Если мы выберем  «заряд» в два раза больше (скажем, удвоенный заряд протона), то в  нашей «единице» заряда e0 должна уменьшиться в четыре раза. Когда мы пропускаем два таких «единичных» тока по двум проводам, в каждом проводе будет в два раза больше «зарядов» в секунду, так что силы между двумя проводами будут в четыре раза больше. Постоянная e0с2 должна уменьшиться в четыре раза. Но отношение e0с2/e0 не меняется.