Шпаргалка по "Физике"

получаем выражение для возможных  радиусов орбит электрона в атоме:

, здесь n = 1, 2, 3,…

При n = 1 для водорода (Z = 1):

 – первый  боровский радиус.

выражение для возможных дискретных значений энергии электрона в атоме:

. – энергия электрона в атоме квантуется. Число n называют главное квантовое число.

Из сравнения с можно получить выражение для постоянной Ридберга:

.

Принцип соответствия Бора: выводы и результаты квантовой  механики при больших квантовых  числах должны соответствовать результатам классической физики.

Результаты, достигнутые боровской  теорией в решении задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобных системах, могут быть получены в квантовой физике без привлечения постулатов Бора. Для этого осуществляют решение стационарного уравнение Шрёдингера, при рассмотрении поведения электрона в атоме:

, Е – полная энергия электрона в атоме:

.

Решение уравнения Шрёдингера в  сферической системе координат  показывает, что значения энергии, которыми может обладать электрон:

 – совпадает с выражением  из теории Бора, n – главное квантовое число. Таким образом, последовательное решение уравнения Шрёдингера для электрона в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням типа Бальмера-Ридберга без использования каких-либо постулатов.

 

Опыты Франка-Герца

Экспериментально постулаты Бора были подтверждены в опытах Франка и Герца, поставленных в 1913 году. В опытах пучок электронов, ускоряемых в электрическом поле, проходил через газ и электроны испытывали соударения с атомами газа.

Первые опыты были поставлены на парах ртути. В схеме: К - накаленный катод, С - сетка (электрод), А – анод, G - гальванометр.

Давление газа мм рт. ст.

Электроны, ускоренные электрическим  полем между катодом и сеткой, соударяются с атомами ртути. Если поле мало, то соударения являются упругими, при которых энергия электронов не изменяется. При увеличении электрического поля возникают неупругие столкновения.

При этом электроны теряют свою энергию, которая затрачивается, в соответствии с постулатами Бора на возбуждение атомов ртути. Теряя свою энергию, электроны пучка не могут преодолеть малого задерживающего поля между сеткой и анодом. Ток при этом резко уменьшается.

Третий постулат Бора также экспериментально подтвердился в опытах Франка и Герца. Пары ртути стали источником (вследствие возбуждения) ультрафиолетового излучения с длиной волны . Это можно объяснить переходом атомов ртути из возбужденного состояния в нормальное:

; ; ( ).

.

Теория Бора сыграла огромную роль в создании и развитии атомной  физики, а также, частично, и молекулярной спектроскопии. Огромный экспериментальный материал с помощью теории Бора был систематизирован и сведен к закономерностям.

Однако теория Бора имела и свои недостатки. Наиболее серьезной задачей  в теории Бора явилась абсолютная невозможность с ее помощью создать  теорию атома гелия, содержащего ядро и два электрона. Стало ясным, что теория Бора, правильно объяснившая одни факты и не способная объяснить целый ряд других, является переходным этапом на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой последовательной теорией явилась квантовая (волновая) теория.

 

Атом водорода в квантовой механике.

Квантование энергии, момента импульса и проекции момента импульса

Результаты, достигнутые боровской  теорией в решении задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобных системах, могут быть получены в  квантовой физике без привлечения  постулатов Бора. Для этого осуществляют решение стационарного уравнение Шрёдингера, при рассмотрении поведения электрона в атоме:

, Е – полная энергия электрона в атоме:

.

Решение уравнения Шрёдингера в  сферической системе координат r, ϴ, φ показывает, что значения энергии, которыми может обладать электрон:

 – совпадает с выражением  из теории Бора, n – главное квантовое число. Таким образом, последовательное решение уравнения Шрёдингера для электрона в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням без использования каких-либо постулатов.

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона для водородоподобной системы:

, n = 1, 2, 3, …

Для атома водорода в основном состоянии:

Его решение  , где С = const (из условия нормировки). Дифференцируя:

, . После подстановки в уравнение:

 или  .

Это выполняется при:

, .

Отсюда: – первый боровский радиус;

                – энергия основного состояния атома водорода.

Следовательно: , а вероятность того, что электрон находится в объеме dV шарового сегмента:

  .

Исследуем на экстремум функцию  :

; .

Боровские орбиты электрона представляют собой геометрические места точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

Решение уравнения Шрёдингера для  водородоподобной системы в сферических  координатах позволяет получить важные результаты. Прежде всего, что момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле:

, = 0, 1, 2, …, (n – 1) – орбитальное квантовое число.

В соответствии со спектроскопией, состояние  электрона, характеризующееся квантовыми числами:

ℓ=0 называют s-состоянием,

ℓ=1 называют p-состоянием,

ℓ=2 называют d-состоянием,

ℓ=3 называют f-состоянием и т.д.

Значение главного квантового числа  указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электрон в состояниях с n=2 и ℓ=0 и ℓ=1 обозначаются соответственно символами 2s и 2p. Из курса электричества и магнетизма известно, что момент импульса электрона и пропорциональный ему магнитный момент связаны между собой и перпендикулярны к плоскости орбиты электрона:

, где  – гиромагнитное отношение.

В квантовой механике не может быть определено положение плоскости  орбиты электрона. Поэтому для указания ориентации векторов и выбирают направление либо внешнего магнитного поля, в котором находится атом, либо направление внутреннего магнитного поля, создаваемого электронами и ядром атома. На языке теории Бора возможность любых ориентаций вектора означает, что плоскость орбиты электрона может быть ориентирована произвольно по отношению к внешнему магнитному полю. Однако такое положение оказалось ошибочным. Существует пространственное квантование: вектор момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция вектора на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения, кратные :

, где m_ℓ – магнитное квантовое число, принимающее значения:

, здесь ℓ – орбитальное квантовое число.

Следовательно, вектор может принимать ориентаций в пространстве.

        p-состояние ( )            d-состояние

 

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнения Шрёдингера и условий однозначности, непрерывности  и конечности, налагаемых на волновую функцию ψ. Кроме того, так как при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, то квантовая механика вообще отказывается от классического представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объёма.

Вероятность обнаружения электрона  в различных частях атома различна. Электрон при своём движении как  бы «размазан» по всему объёму, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных частях объёма атома. Квантовые числа n и ℓ характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

 

 

27.  Квантование энергии, момента импульса и проекции момента импульса. Опыт Штерна и Герлаха.

  Опыт Штерна и Герлаха

В 1921 году Штерном и Герлахом были представлены опыты с целью  измерения магнитных моментов атомов химических элементов. Идея опытов заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле. Опыты обнаружили ошибочность классического предположения о том, что магнитный момент и механический момент импульса атома могут быть произвольно ориентированы относительно направления внешнего поля и подтвердили наличие пространственного квантования.

А – фотопластинка; Д – щелевые диафрагмы; S и N – полюса магнита;

Ag – серебро.

В случае произвольно ориентации атома в магнитном поле должно наблюдаться непрерывное распределение атомов на фотопластинке. Однако на фотопластинке получились две резкие полосы – возникли две возможные ориентации магнитного момента во внешнем поле:

,

 – магнетон Бора.

Для серебра Штерн и Герлах получили, что проекция магнитного момента  атома на направление поля численно равна магнетону Бора. Однако важной особенностью атомов первой группы элементов таблицы Менделеева является то, что электрон находится в s-состоянии, т.е. . Поэтому электрон не имеет проекции импульса. Возникает вопрос: квантование какого момента импульса обнаружилось в этих опытах и проекция какого магнитного момента равна одному магнетону Бора? Для ответа на этот вопрос необходимо предположить, что кроме орбитального момента импульса и соответствующего магнитного момента , имеется собственный механический момент импульса электрона – спин электрона, и соответствующий ему собственный магнитный момент .

Предположение о существовании  спина было высказано в 1925 году Гоудсмитом и Уленбеком. Спин электрона  и других элементарных частиц следует рассматривать как некоторое особое свойство этих частиц подобно тому, как частицы имеют массу, заряд. Спин квантуется по закону:

, s – спиновое квантовое число.

Проекция  спина на ось Z, совпадающую с направлением внешнего магнитного поля, должна быть квантована. Из опыта Штерна и Герлаха следует, что таких ориентаций для электрона всего две:

.          .

Для проекции:

.

 

 

28.  Принцип Паули. Периодическая система элементов Д.И.Менделеева.

  Принцип Паули

В 1925 году Паули установил квантовомеханический закон, который был назван принципом Паули или принципом исключения: в любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального , магнитного m и спинового m_S .

Найдем максимальное число электронов с одинаковыми числам n, , m – их 2, отличающихся .

Вычислим максимальное число электронов с одинаковыми числами n, . При этом вектор может иметь различных ориентаций: .

s состояние	Z = 2
p состояние	Z = 6
d состояние	Z = 10
f состояние	Z = 14
g состояние	Z = 18

Найдем максимальное число электронов, имеющих одинаковое число n. Число при этом изменяется от 0 до (n – 1): (при получении данного соотношения использовано, что ).

		Количество электронов					Максимальное число электронов
	n	s	p	d	f	g
K	1	2	–	–	–	–	2
L	2	2	6	–	–	–	8
M	3	2	6	10	–	–	18
N	4	2	6	10	14	–	32
O	5	2	6	10	14	18	50