Квантовые Компьютеры

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

МОСКВА,  2011 г

Квантовый компьютер — вычислительное устройство, работающее на основе квантовой механики. Квантовый компьютер принципиально отличается от классических компьютеров, работающих на основе классической механики. Полномасштабный квантовый компьютер является пока гипотетическим устройством, сама возможность построения которого связана с серьезным развитием квантовой теории в области многих частиц и сложных экспериментов; эта работа лежит на переднем крае современной физики

    Идея  построения квантового компьютера была предложена в 1980 году советским математиком  Ю.Маниным 

    Типы  квантовых компьютеров.

    Строго  говоря, можно выделить два типа квантовых компьютеров. И те, и другие основаны на квантовых явлениях, только разного порядка.

    Представителями первого типа являются, например, компьютеры, в основе которых лежит квантование магнитного потока на нарушениях сверхпроводимости - Джозефсоновских переходах. На эффекте Джозефсона уже сейчас делают линейные усилители, аналого-цифровые преобразователи, СКВИДы и корреляторы. Известен проект создания RISC-процессора на RSFQ-логике (Rapid Single Flux Quantum). Эта же элементная база используется в проекте создания петафлопного (10¹⁵ оп./с) компьютера. Экспериментально достигнута тактовая частота 370 ГГц, которая в перспективе может быть доведена до 700 ГГц. Однако время расфазировки волновых функций в этих устройствах сопоставимо со временем переключения отдельных вентилей, и фактически на новых, квантовых принципах реализуется уже привычная нам элементная база - триггеры, регистры и другие логические элементы.

    Другой  тип квантовых компьютеров, называемых еще квантовыми когерентными компьютерами, требует поддержания когерентности волновых функций используемых кубитов в течение всего времени вычислений - от начала и до конца (кубитом может быть любая квантомеханическая система с двумя выделенными энергетическими уровнями). В результате, для некоторых задач вычислительная мощность когерентных квантовых компьютеров пропорциональна 2^N, где N - число кубитов в компьютере. Именно последний тип устройств имеется в виду, когда говорят о квантовых компьютерах. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Математические  и физические  основы функционирования квантовых компьютеров.

Если классический процессор в каждый момент может  находиться ровно в одном из состояний  , (обозначения Дирака) то квантовый процессор в каждый момент находится одновременно во всех этих базисных состояниях, при этом в каждом состоянии   - со своей комплексной амплитудой λ_j. Это квантовое состояние называется «квантовой суперпозицией» данных классических состояний и обозначается как

Базисные состояния  могут иметь и более сложный  вид. Тогда квантовую суперпозицию можно проиллюстрировать, например, так: «Вообразите атом, который мог бы подвергнуться радиоактивному распаду в определённый промежуток времени. Или не мог бы. Мы можем ожидать, что у этого атома есть только два возможных состояния: «распад» и «не распад», но в квантовой механике у атома может быть некое объединённое состояние — «распада — не распада», то есть ни то, ни другое, а как бы между. Вот это состояние и называется «суперпозицией»^[1].

 
Квантовое состояние   может изменяться во времени двумя принципиально различными путями:

А) Унитарная  квантовая операция (квантовый вентиль - quantum gate, в дальнейшем просто операция).

Б) Измерение (наблюдение).

Если классические состояния   есть пространственные положения группы электронов в квантовых точках, управляемых внешним полем V то унитарная операция есть решение уравнения Шредингера для этого потенциала.

Измерение есть случайная величина, принимающая  значения   с вероятностями | λ_j | ² соответственно. В этом состоит квантово механическое правило Борна. Измерение есть единственная возможность получения информации о квантовом состоянии, так как значения λ_j нам непосредственно не доступны. Квантовое вычисление есть контролируемая классическим управляющим компьютером последовательность унитарных операций простого вида (над одним, двумя или тремя кубитами). В конце вычисления состояние квантового процессора измеряется, что и дает искомый результат вычисления. 
 

Классический  компьютер состоит, грубо говоря, из некоторого числа битов, с которыми можно выполнять арифметические операции. Основным элементом квантового компьютера (КК) являются квантовые биты, или кубиты (от Quantum Bit, qubit). Обычный бит - это классическая система, у которой есть только два возможных состояния.

Остроумная идея заключается в использовании для хранения, передачи и обработки информации существенно квантовых свойств вещества. В основном такие свойства проявляют объекты микромира: элементарные частицы, атомы, молекулы и небольшие сгустки молекул, так называемые кластеры Одним из квантовых свойств вещества является то, что некоторые величины при измерении (наблюдении) могут принимать значения лишь из заранее определенного дискретного набора. Такой величиной, например, является проекция собственного момента импульса, или, иначе говоря, спина элементарной частицы, на любую заданную ось. Например, у электрона возможно только два значения проекции: +1/2 или –1/2. Таким образом, количество информации, необходимое для сообщения о проекции, равно одному биту. Записав в классическую однобитную ячейку памяти определенное значение, мы именно его оттуда и прочтем, если не произойдет какой-нибудь ошибки.

    Классической  ячейкой может послужить и  спин электрона. Однако квантовая механика позволяет записать в проекции спина больше информации, чем в классике.

    Для описания поведения квантовых систем было введено понятие волновой функции. Существуют волновые функции, называемые собственными для какой-то конкретной измеряемой величины. В состоянии, описываемом собственной функцией, значение этой величины может быть точно предсказано до ее измерения. Именно с такими состояниями работает обычная память. Квантовая же система может находиться и в состоянии с волновой функцией, равной линейной комбинации собственных функции, соответствующих каждому из возможных значений (назовем здесь такие состояния сложными). В сложном состоянии результат измерения величины не может быть предсказан заранее. Заранее известно только, с какой вероятностью мы получим то или иное значение. В отличие от обычного компьютера, в квантовом для представления данных используются такие ячейки памяти, которые могут находиться в сложном состоянии. В нашем примере мы определили бы, что спин электрона с определенной вероятностью смотрит вверх и вниз, то есть можно сказать, что в кубит записаны сразу и 0, и 1. Количество информации, содержащееся в такой ячейке, и саму ячейку называют квантовым битом, или, сокращенно, кубитом. Кубит же - это квантовая система с двумя возможными состояниями, одновременно сосуществуюшими.  Но, поскольку система квантовая, ее пространство состояний будет несравненно богаче. Математически кубит - это двумерное комплексное пространство. .. Каждому возможному значению величины, представленной кубитом, соответствует вероятность, с которой это значение может быть получено при чтении. Эта вероятность равна квадрату модуля коэффициента, с которым собственная функция этого значения входит в линейную комбинацию. Именно вероятность и является информацией, записанной в кубит. 
 
 
 
 
 

Вычисление

Упрощённая схема  вычисления на квантовом компьютере выглядит так: берется система кубитов, на которой записывается начальное состояние. Затем состояние системы или её подсистем изменяется посредством базовых квантовых операций. В конце измеряется значение, и это результат работы компьютера.

Оказывается, что  для построения любого вычисления достаточно двух базовых операций. Квантовая  система дает результат, только с  некоторой вероятностью являющийся правильным. Но за счет небольшого увеличения операций в алгоритме можно сколь  угодно приблизить вероятность получения  правильного результата к единице.

Один классический бит может находиться в одном  и только в одном из состояний   или  . Квантовый бит, называемый кубитом, находится в состоянии  , так что |a|² и |b|² — вероятности получить 0 или 1 соответственно при измерении этого состояния;  ; |a|² + |b|² = 1. Сразу после измерения кубит переходит в базовое квантовое состояние, соответствующее классическому результату.

Пример:

Имеется кубит в квантовом состоянии 

В этом случае, вероятность получить при измерении

В данном случае, при измерении мы получили 0 с 64 % вероятностью.

В результате измерения  кубит переходит в новое квантовое состояние  , то есть, при следующем измерении этого кубита мы получим 0 со стопроцентной вероятностью .

С помощью базовых  квантовых операций можно симулировать работу обычных логических элементов, из которых сделаны обычные компьютеры. Поэтому любую задачу, которая  решена сейчас, квантовый компьютер  решит, и почти за такое же время. Следовательно, новая схема вычислений будет не слабее нынешней.

Чем же квантовый  компьютер лучше классического? Большая часть современных ЭВМ  работают по такой же схеме: n бит памяти хранят состояние и каждый такт времени изменяются процессором. В квантовом случае система из n кубитов находится в состоянии, являющимся суперпозицией всех базовых состояний, поэтому изменение системы касается всех 2ⁿ базовых состояний одновременно. Теоретически новая схема может работать намного (в экспоненциальное число раз) быстрее классической. Практически (квантовый) алгоритм Гровера поиска в базе данных показывает квадратичный прирост мощности против классических алгоритмов

    Квантовую механику не случайно называют иногда волновой механикой. Дело в том, что квантово-механические волновые функции ведут себя подобно световой или какой-либо другой волне. И для волновых функций, благодаря их способности интерферировать, также может быть введено понятие когерентности. Именно это свойство используется в когерентном квантовом компьютере. Набор кубитов представляется когерентными волновыми функциями. Оказывается, что существует вполне определенный класс воздействий на квантовую систему, называемый унитарными преобразованиями, при которых не теряется записанная в кубит информация и не нарушается когерентность волновых функций кубитов. Унитарные преобразования обратимы - по результату можно восстановить исходные данные. После прохождения через квантовый процессор, использующий унитарные преобразования, волновые функции кубитов заставляют интерферировать друг с другом, наблюдая получающуюся картину и судя по ней о результате вычисления. . С точки зрения геометрии такие преобразования - прямой аналог вращении и симметрий обычного трехмерного пространства. Согласно принципу суперпозиции вы можете складывать состояния, вычитать их, умножать на комплексные числа. Эти состояния образуют фазовые пространства.