Таким образом, на границе черной дыры полная энергия тела обратится в нуль. Можно сказать, что масса покоя тела погасится отрицательной потенциальной энергией тела в гравитационном поле черной дыры. В обычных земных условиях потенциальная энергия очень мала по сравнению с энергией покоя, так что масса падающего камня остается практически неизменной; при падении в поле черной дыры она обращается в нуль.

       Закон тяготения действует так, что  сила притяжения пропорциональна массе  притягиваемого тела независимо от того, с чем связана эта масса. Горячий  чайник немного тяжелее холодного; падая на черную дыру, горячий чайник выделит несколько больше энергии (на U/c², где U – внутренняя энергия), чем холодный. Черная дыра работает как идеальный холодильник при Т=0, из которого никакими способами нельзя извлечь какой-либо энергии. Это значит, что к.п.д. цикла с черной дырой в качестве холодильника, по Карно, будет равен единице. Возникает ситуация, очень напоминающая вечный двигатель второго рода, и нарушается теорема Нернста. Такой парадокс должен был неминуемо навести на мысль, что черная дыра не может иметь температуру Т=0.

       Решение парадокса надо было искать в термодинамических  свойствах черной дыры. Первая догадка  состояла в следующем.

       Если  черная дыра имеет температуру, отличную от абсолютного нуля, то она имеет  и энтропию. Если черная дыра сферически симметрична, не вращается и не заряжена, то энтропия может зависеть только от массы. Но энтропия – величина, которая не зависит от единиц измерения: энтропия идеального газа определялась отношением объемов и отношением температур. Численное же значение массы, конечно, зависит от того, в каких единицах мы ее измеряем – в граммах или в миллионах тонн. По-видимому, и энтропия черной дыры должна определяться отношением ее массы к какой-то стандартной эталонной массе. Но какой? Как все же должно выглядеть выражение для энтропии черной дыры?

       Качественное  решение задачи было придумано Бекенштейном. Внимание его привлекла одна теорема  общей теории относительности. Теорема  утверждала, что какие бы процессы ни происходили в системе, в которой  есть черные дыры, суммарная площадь поверхностей черных дыр может только увеличиваться. Эта очень  общая теорема похожа на теорему о возрастании энтропии. Площадь, так же как энтропия, величина аддитивная и, так же как и энтропия, зависит от массы черной дыры. Поэтому был соблазн предположить, что энтропия черной дыры просто пропорциональна ее площади: S~A. Но как свести концы с концами, если площадь A имеет размерность квадрата длины?

       В микромире нет своего масштаба длины. Из двух постоянных ћ и c нельзя составить величину с размерностью длины или времени. Для этого надо взять еще массу. Тогда длину можно, например, составить так: ћ/mc.

         В общей теории относительности также нет масштаба длины, так как его нельзя составить из G и c. Но если привлечь на помощь массу, то длину можно составить так:  Gm/c².

       Объединим теперь обе длины  ћ/mc и Gm/c², составив их геометрическое среднее (ћG/c³)^½. При этом масса сократится. Это и есть единица длины, предложенная Планком.

       После того как Планк ввел две фундаментальные  постоянные ћ и k, он заметил, что появилась возможность построить новую систему единиц, не связанную ни с какими искусственными эталонами. Это следующие единицы:        длина      l_п=(ћG/c³)^½=5,110*10^-31 м,

                   Время     t_п =(ћG/c⁵)^½=1,7016 *10^-43 с,

                   Масса    m_п =(ћc⁵/G)^½ =6,189*10^-9 кг,

                   Температура  Т_п=1/k(ћc⁵/G)^½=4,028*10³¹ К.

       Единицы Планка удобны при расчете таких  систем, где существенны эффекты  как квантовые, так и гравитационные.

       Черная  дыра (и ее энтропия) кажется удачным  кандидатом для применения единиц Планка.

       Предположим, что масштаб энтропии связан с  постоянной длины       l_п, т.е. что площадь поверхности черной дыры надо разделить на l_п²  с каким-то коэффициентом, о котором, конечно, нельзя догадаться заранее. На основе таких не очень строгих рассуждений и была выдвинута гипотеза о том, что энтропия черной дыры должна иметь вид S=αΑ/ l_п², где коэффициент α надо вычислить из каких-то соображений особо. Такая догадка оказалась правильной. Коэффициент α был вычислен позднее Хокингом. Он оказался равным 1/4.

       Зная  энтропию, можно вычислить и температуру. Заменим площадь A ее выражением через гравитационный радиус:

       A=4πR_g²=16πGM²/c⁴.

       Используя единицы Планка, можно теперь написать формулу для энтропии:        

         S=16πα(M/m_п)².

       Температура запишется в виде

       T=1/(32πα)* m_п/M*T_п   .

       Исключая  из этих формул массу, будем иметь (в  единицах Планка и α=1/4)         ST²=1/(16π).

       Такое уравнение состояния ни на что  не похоже. Из него следует, что чем  выше температура, тем меньше энтропия, а при абсолютном нуле энтропия обращается в бесконечность.

       Отсюда  можно заключить, что либо в наших  рассуждениях грубая ошибка, либо с  черно дырой происходит нечто  серьезное и она не «доживает» до абсолютного нуля. Но в рамках классических представлений парадокс разрешить оказалось невозможным.

       Парадокс  исчез, когда Хокинг теоретически доказал, что вблизи черной дыры происходит рождение частиц. Неожиданным образом  выяснилось, что теорема о возрастании  площади поверхности черной дыры перестает быть строгой в квантовой  механике и энтропия ее может уменьшаться за счет того, что вокруг нее создается поток фотонов, которые эту энтропию уносят.

       Очень большой потенциал гравитационного  поля вблизи черной дыры приводит к  тому, что на ее поверхности рождаются  пары фотонов (и другие частицы). Энергия этих фотонов (как и всех частиц вблизи черной дыры) равна нулю, поэтому они могут родиться «из ничего», не нарушая закона сохранения энергии. После рождения пары фотонов один из них уходит в черную дыру¹, а второй за счет освободившейся энергии улетает на бесконечность. Система работает, как блок: один груз опускается, а за его счет поднимается другой. Результатом этого процесса будет уменьшение массы черной дыры (а значит, и ее поверхности), эквивалентное энергии улетевших фотонов.

       Теория  этого процесса сложна. Но результат был интересным. Черная дыра излучает фотоны, спектр которых совпадает с распределением Планка, отвечающим температуре (в единицах Планка, т.е. m_п =1 и T_п=1):

       T=1/(8π)*1/М.

       Из  этой формулы следует, что коэффициент  α=1/4.

       Таким образом, черная дыра излучает как идеальное  черное тело (неожиданно реализованное  в космосе с очень большой  точностью).

       Теперь  становится ясным источник парадокса. Черная дыра – система неустойчивая, неравновесная, поэтому и понятие  о температуре черной дыры  - понятие не вполне точное. Температура черной дыры растет с уменьшением массы; рождение пар приводит к уменьшению массы, а, следовательно, и к повышению температуры. С ростом температуры интенсивность излучения увеличивается, а температура возрастает еще больше. В конце концов, черная дыра должна сгореть совсем, причем сгореть за конечное время. 
 
 
 
 
 

ТЕРМОДИНАМИКА И ИНФОРМАЦИЯ.

ИНФОРМАЦИООНЫЙ  ПОДХОД К ТЕРМОДИНАМИКЕ.

 

       Мы  уже видели, насколько важно для  возникновения тепловых свойств  черной дыры существование горизонта событий, отделяющего область пространства, информация о которой не доходит до внешнего наблюдателя. Было показано, как можно прийти к эффекту Хокинга и термодинамике черных дыр с помощью простых термодинамических соображений, без проведения динамических расчетов рождения пар в поле черной дыры. Оказывается возможным сделать и следующий шаг - связать тепловые свойства черной дыры прямо с самим фактом существования у нее горизонта событий.

       Эта возможность основана на информационном подходе к термодинамике, который восходит к классикам теории теплоты, был сформулирован Л. Сциллардом и развивался многими физиками и математиками. Суть этого подхода состоит в утверждении, что существует прямая связь между недостатком информации о физической системе и величиной ее энтропии.

       Будучи  приложен к физике черных дыр, информационный подход прямо указывает на существование  у них отличной от нуля энтропии и температуры, позволяя осуществить  непосредственный переход от утверждения  «внешний наблюдатель лишен информации о внутренней части черной дыры» к утверждению «такой наблюдатель увидит черную дыру как горячее тело».

       С другой стороны, физика черных дыр подкрепила информационный подход, подтвердив, что  недостаток информации о системе, с  чем бы он ни был связан, действительно проявляется в возникновении у нее тепловых свойств. Сегодня, после открытия эффекта Хокинга и других эффектов такого же рода, нам известно уже несколько механизмов потери информации и соответственно несколько механизмов появления тепловых свойств у динамической системы.

ЭНТРОПИЯ  И  ИНФОРМАЦИЯ.

       Прежде  чем давать количественную формулировку информационного подхода к  термодинамике, напомним обычную картину перехода динамической системы в состояние термодинамического равновесия. В процессе такого перехода система быстро « забывает » свое начальное состояние, что происходит вследствие « запутывания » (стохастизации) движения составляющих ее частиц. Это вызывается динамическими неустойчивостями в системе, которые ведут к усилению неизбежно присутствующих малых неопределенностей начальных значений динамических переменных. В результате возникает быстрое перемешивание состояний частиц и равномерное заполнение всей доступной этой системе области значений динамических переменных.

       Такое состояние системы, отвечающее равновероятности всех возможных микроскопических состояний составляющих ее частиц, описывается так называемым микроканоническим распределением. Из него автоматически следует, что любая достаточно большая часть системы описывается формулой Гиббса.

       Поскольку равновесная система «забывает» свое начальное состояние, она характеризуется существенно меньшим числом параметров (энергией или температурой, давлением или объемом и т.п.), чем полное число ее степеней свободы. Поэтому состояние термодинамического равновесия вырождено: каждому набору только что перечисленных макроскопических параметров отвечает огромное число N различных микросостояний системы, реализующих этот набор. Мерой этого вырождения и служит энтропия системы         S=k ln N.

       Равновероятность  различных микросостояний термодинамически равновесной системы означает, что  никакое из них нельзя предпочесть  другому. Поэтому чем больше величина N, тем меньшим объемом сведений о микроструктуре системы мы располагаем, и энтропию можно считать мерой неполноты информации об истинной микроскопической структуре равновесной системы.

       Мы  подошли, таким образом, к информационному  определению энтропии. Чтобы дать его точную формулировку, нужно ввести следующее простейшее определение  изменения количества информации  ∆І при некотором процессе. Если сначала имелось P равновероятных ответов на вопрос, касающийся какого-либо предмета или явления, а в конце их число стало p, то изменение информации об этом предмете или явлении есть

       ∆І=k ln (P/p).

       Если P>p, мы имеем дело с приростом информации (наши сведения стали более определенными), в обратном случае – с ее убылью.

        Применим сказанное  к процессу перехода динамической системы  в состояние термодинамического равновесия (рис.2).

       Рис. 2. Пример, иллюстрирующий справедливость соотношения ∆І=–∆S – необратимое расширение газа в пустоту.

       Первоначально газ занимает левую половину устройства – объем v₀ (вверху). После поднятия заслонки газ расширяется, заполняя вдвое больший объем. В результате неопределенность в положении молекул газа (и число ответов на соответствующий вопрос) также увеличивается вдвое: P/p=1/2. Соответственно убыль информации о положении молекул будет определяться соотношением  ∆I=–k ln 2. Из термодинамики известно, что прирост энтропии (на одну молекулу) при таком процессе есть  ∆S=k ln 2, что точно соответствует равенству ∆S=-∆I.