3. Изотропность предполагает также  симметричность пространства. В  силу же симметрии ничто не  должно измениться в формулах  преобразования, если изменить знаки  и , т.е. одновременно изменить направление оси и направление движения системы . Следовательно, (d) Сравнивая эти уравнения с предыдущими ( ) получаем:

. Вместо  удобно ввести другую функцию , так, чтобы выражалось через и посредством соотношения Согласно этому соотношению, - симметричная функция. Используя это соотношение, преобразования (d) можно записать в виде (e), причем все входящие в эти формулы коэффициенты суть симметрии функции .

      4. В силу принципа относительности обе системы, "движущаяся" и "неподвижная", абсолютно эквивалентны, и поэтому обратные преобразования от системы к должны быть тождественно прямым от к . Обратные преобразования должны отличаться лишь знаком скорости , т.к. система движется относительно системы вправо со скоростью , а система движется относительно системы (если последнюю считать неподвижной), влево со скоростью . Следовательно, обратные преобразования должны иметь вид . (f) Сравнивая эти преобразования с (e), получаем . Но в силу симметрии получаем, что , т.е. . Очевидно, имеет смысл лишь знак (+), т.к. знак (-) давал бы при перевернутую по и систему. Следовательно .  Замечая, что коэффициенты - тоже симметричные функции , первое и последнее уравнение из (e) и (f) можно записать в виде: А) , а) , В) , в) . Умножая А) на , В) на и складывая, получим . Сравнивая это выражение с а), получаем . Откуда имеем

      Следовательно, извлекая квадратный корень и замечая, что знак (-) так же, как и для , не имеет смысла, получаем . Итак преобразования приобретают вид: (g) или ,подробнее: ,(h) где - неизвестная пока функция .

      5. Для определения вида  обратимся вновь к принципу относительности. Очевидно, что преобразования (g) должны быть универсальными и применимыми при любых переходах от одних систем к другим. Таким образом, если мы дважды перейдем от системы к и от к , то полученные формулы, связывающие координаты и время в системе с координатами и временем в , должны также иметь вид преобразований (g). Это вытекающее из принципа относительности требование, в совокупности с предыдущими требованиями обратимости, симметрии и т.д. означает, что преобразования должны составлять группу.

      Воспользуемся этим требованием групповости преобразований. Пусть - скорость системы относительно и - скорость системы относительно системы

Тогда согласно (g)

Выражая и через и , получаем

Согласно  сформулированному выше требованию эти же преобразования должны записываться в виде (g), т.е. (k) Коэффициенты, стоящие при в первой из этих формул и при во второй, одинаковы. Следовательно, в силу тождественности предыдущих формул и этих, должны быть одинаковы и коэффициенты, стоящие при в первой из предыдущих формул и при во второй из формул (h) т.е. . Последнее равенство может быть удовлетворено только при

      6. Итак, в преобразованиях (h) h является константой, имеющей размерность квадрата скорости. Величина и даже знак этой константы не могут быть определены без привлечения каких-либо новых допущений, опирающихся на опытные факты.

      Если  положить , то преобразования (h) превращаются в известные преобразования Галилея Эти преобразования, справедливые в механике малых скоростей ( ), не могут быть приняты как точные преобразования, справедливые при любых скоростях тел, когда становится заметным изменение массы тел со скоростью. Действительно, учет изменения массы со скоростью приводит к необходимости принять положение об относительности одновременности разобщенных событий. Последнее же несовместимо с преобразованиями Галилея. Таким образом, константа h должна быть выбрана конечной.

      Из  опыта известно, что при больших  скоростях, сравнимых со скоростью  света, уравнения механики имеют  вид  (i), где - собственная масса, совпадающая с массой частицы при малых скоростях ( ), с - константа, имеющая размерность скорости и числено равная см/сек, т.е. совпадающая со скоростью света в пустоте. Этот опытный факт трактуется как зависимость массы от скорости, если массу определить как отношение импульса тела к его скорости.

      Константа имеет такую же размерность, какую имеет h, входящая в формулы преобразования координат и времени (h). Естественно поэтому положить (j), поскольку в экспериментально полученную зависимость массы от скорости не входит никакая иная константа, имеющая квадрата скорости. Принимая это равенство, преобразования (h) записываются в виде (l).

Пуанкаре  назвал эти преобразования координат  и времени преобразованиями Лоренца.

      В силу обратимости обратные преобразования Лоренца, очевидно, должны быть записаны в виде 

      Примененные нами соображения размерности для  выбора константы h не вполне, однако, однозначны, т.к. вместо соотношения (j) с таким же правом можно было бы выбрать (k)

      Оказывается, однако, что совпадающие с опытом уравнения механики (i) могут быть получены лишь как следствия преобразований Лоренца и не могут быть совмещены  с преобразованиями, получающимися  из допущения (k). Действительно, известно, что уравнения механики, опирающимися на преобразования Лоренца, являются уравнения Минковского, согласно которым масса увеличивается со скоростью по формуле

. Если же в качестве преобразований  координат выбрать  , то соответствующие уравнения Минковского дадут убывающую со скоростью массу m, что противоречит опыту.

      Итак, не обращаясь к постулату о  постоянстве скорости света в  пустоте, не ссылаясь на электродинамику  и не используя свойств световых сигналов для определения одновременности, мы вывели преобразования Лоренца, используя лишь представление об однородности и изотропности пространства и времени, принцип относительности и формулу зависимости массы от скорости.

      Обычно, следуя пути, намеченному еще в  первой работе Эйнштейна, вместо формулы зависимости массы от скорости используют постулат о постоянстве скорости света в пустоте. Согласно этому постулату при переходе от системы к системе должно оставаться инвариантным уравнение , описывающее фронт световой волны, распространяющейся из начала координатной системы . Легко убедиться в том, что уравнение после подстановки формул преобразования (k) не изменяет своего вида, т.е. это уравнение переходит в предыдущее, лишь в том случае, если .

      Мы  применили иной вывод, не использующий постулат о постоянстве скорости света, с тем, чтобы показать, что  преобразования Лоренца могут быть получены независимо от способа сигнализации, избранного для синхронизации часов, измеряющих время. Физики могли бы вообще ничего не знать о скорости света и о законах электродинамики, однако могли бы получить преобразования Лоренца, анализирую факт зависимости массы от скорости и исходя из механического принципа относительности.

      Таким образом, преобразования Лоренца выражают общие свойства пространства и времени  для любых физических процессов. Эти преобразования, как это выяснилось в процессе доказательства, составляют непрерывную группу, называемую группой Лоренца. В этом факте, в наиболее общем виде отображаются свойства пространства и времени, раскрытые теорией относительности.

Изображение преобразований Лоренца  на плоскости Минковского.

      Первыми наиболее поражающими следствиями преобразований Лоренца являются: сокращение движущихся масштабов в направлении движения и замедление хода движущихся часов. С точки зрения повседневных представлений о пространстве и времени эти следствия кажутся парадоксальными.

      Исчерпывающее, но всегда кажущееся несколько формальным, разъяснение этих кинематических явлений дается на плоскости x, ct, если в соответствии с правилами четырехмерной геометрии Минковского изобразить на ней сетку координат "неподвижной" и сетку координат "движущейся" системы.

      Преобразования  Лоренца оставляют инвариантным (неизменным) интервал между любыми двумя событиями, определяемый согласно (a), как в этом легко убедиться подстановкой в (l) в (b).

      Совмещая  первое событие с моментом t=0 и  началом отсчета системы и вводя симметричные обозначения координат и времени интервал между вторым и первым событием можно написать в виде (o) Четырехмерная геометрия, определяемая инвариантностью интервала этого уравнения, качественно отличается от обычной евклидовой геометрии, определяемой инвариантностью расстояния, т.е. (m) или от простого четырехмерного обобщения геометрии, где инвариантом считается (n) В евклидовых геометриях, определяемых (m) или (n), квадрат "расстояния" всегда положителен, и, следовательно, "расстояние" является действительной величиной. Но в четырехмерной геометрии, определяемой интервалом (о), являющимся аналогом "расстояния", квадрат интервала может быть положителен, отрицателен или равным нулю. Соответственно, в этой псевдоевклидовой геометрии интервал может быть действительной или мнимой величиной. В частном случае он может быть равен нулю для несовпадающих событий.

      Иногда  кажется, что качественное различие между четырехмерной евклидовой геометрией и четырехмерной псевдоевклидовой геометрией стирается, если, воспользовавшись предложением Минковского, считать время пропорциональным некоторой мнимой четвертой координате, т.е. положить

      В этом случае квадрат интервала запишется  как  т.е. с точностью до знака совпадает с (n). Однако в силу мнимости это выражение, так же как и (o), может иметь различные знаки и, таким образом, качественно отличается от (n).

      В силу инвариантности интервала качественное различие связи между событиями  не зависит от выбора системы отсчета, и действительный, или времениподобный, интервал ( ) остается действительным во всех системах отсчета, мнимый же, или пространственноподобный, интервал ( ) также остается мнимым во всех системах отсчета.

      Все эти особенности псевдоевклидовой геометрии могут наглядно проиллюстрированы  на плоскости Минковского  . 

Отрезками 0a и 0b на этой плоскости изображены соответственно единичные масштабы временной оси  и пространственной оси . Кривая, выходящая вправо из точки a, является гиперболой, описываемой уравнением а кривая, выходящая вверх из точки b, является гиперболой, описываемой уравнением

            Таким образом, точка начала координат и все точки, лежащие на гиперболе, выходящей из точки a, разделены единичным времениподобным интервалом. Точки же, лежащие на гиперболе, выходящей из точки b, отделены от начала координат пространственноподобным интервалом.

      Пунктирная  линия, выходящая параллельно оси  из точки a, изображает точки с координатами , а линия, выходящая из точки b параллельно оси , изображает точки с координатами .

      На  этой же плоскости нанесены линии  и , изображающие соответственно точки с координатами и , а также линии, проходящие через и

и соответственно изображающие точки с координатами . Эти линии изображают координатную сетку системы .

      Из  рисунка видно, что переход от системы S к системе соответствует переходу от прямоугольных координат к косоугольным на плоскости Минковского. Последнее следует также непосредственно из преобразований Лоренца, которые можно записать также в виде где или в виде (p) где и очевидно,

      Но  преобразования (p) тождественны преобразованиям  перехода от декартовых координат к  косоугольным. При этих преобразованиях  времениподобные векторы, т.е. векторы, направленные из начала отсчета в  точки, лежащие выше линии OO', в любой  системе координат также останутся времениподобными, т.к. концы векторов лежат на гиперболах. Следовательно, и пространственноподобные векторы во всех системах координат останутся пространственноподобными.